湖北省宜昌市届高三调研考试数学理试题Word版含答案.docx
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湖北省宜昌市届高三调研考试数学理试题Word版含答案
宜昌市2018届高三4月调研考试
数学(理工农医类)
第Ⅰ卷选择题(60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的答案填涂在答题卡上.
1.设全集
,集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.若复数
是纯虚数,其中
是实数,则
()
A.
B.
C.
D.
3.下列命题正确的是()
A.命题“
”为假命题,则命题
与命题
都是假命题;
B.命题“若
,则
”的逆否命题为真命题;
C.“
”是“
”成立的必要不充分条件;
D.命题“存在
,使得
”的否定是:
“对任意
,均有
”.
4.已知随机变量
,其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形
中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()
注:
,
.
A.6038B.6587C.7028D.7539
5.已知数列
满足
,且
,则
()
A.-3B.3C.
D.
6.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”
的所有顶点都在球
的球面上,且
,若球
的表面积为
,则这个三棱柱的体积是()
A.
B.
C.
D.1
7.偶函数
和奇函数
的图象如图所示,若关于
的方程
,
的实根个数分别为
、
,则
()
A.16B.14C.12D.10
8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()
A.14B.15C.16D.17
9.已知
,若
,则
()
A.-5B.-20C.15D.35
10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()
A.
B.
C.
D.12
11.已知双曲线
:
的左、右焦点分别为
、
,
为坐标原点,以
为直径的圆
与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为
、
,点
为圆
与
轴正半轴的交点,若
,则双曲线
的离心率为()
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
与函数
的图象上存在关于
轴对称的点,则实数
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷非选择题(90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷的横线上.
13.平面向量
,
,若向量
与
共线,则
.
14.设椭圆
的右焦点与抛物线
的焦点相同,离心率为
,则此椭圆的方程为.
15.已知
,
满足不等式组
,若不等式
恒成立,则实数
的取值范围是.
16.设数列
满足
,
,若使得
,则正整数
.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知向量
,
,若
,且函数
的图象关于直线
对称.
(Ⅰ)求函数
的解析式,并求
的单调递减区间;
(Ⅱ)在
中,角
、
、
的对边分别为
、
、
,若
,且
,
,求
外接圆的面积.
18.如图,在直三棱柱
中,
,
,点
为棱
的中点,点
为线段
上一动点.
(Ⅰ)求证:
当点
为线段
的中点时,
平面
;
(Ⅱ)设
,试问:
是否存在实数
,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?
若存在,求出这个实数
;若不存在,请说明理由.
19.手机
中的“
运动”具有这样的功能,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的
朋友圈里有大量好友参与了“
运动”,他随机选取了其中30名,其中男女各15名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如下表所示:
男
0
2
4
7
2
女
1
3
7
3
1
(Ⅰ)以样本估计总体,视样本频率为概率,在小明
朋友圈里的男性好友中任意选取3名,其中走路步数低于7500步的有
名,求
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)如果某人一天的走路步数超过7500步,此人将被“
运动”评定为“积极型”,否则为“消极型”.根据题意完成下面的
列联表,并据此判断能否有
以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型
消极型
总计
男
女
总计
附:
.
0.10
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
20.已知倾斜角为
的直线经过抛物线
:
的焦点
,与抛物线
相交于
、
两点,且
.
(Ⅰ)求抛物线
的方程;
(Ⅱ)过点
的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
,线段
和
的中点分别为
、
.如果直线
与
的倾斜角互余,求证:
直线
经过一定点.
21.已知函数
.
(Ⅰ)讨论
的单调性;
(Ⅱ)若
,求证:
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在极坐标系中,已知圆
的圆心为
,半径为
.以极点为原点,极轴方向为
轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数,
且
).
(Ⅰ)写出圆
的极坐标方程和直线
的普通方程;
(Ⅱ)若直线
与圆
交于
、
两点,求
的最小值.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
设不等式
的解集为
.
(Ⅰ)求集合
;
(Ⅱ)若
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
宜昌市2018届高三4月调研考试
数学(理科)参考答案
一、选择题
1-5:
CBBBA6-10:
CDCAC11、12:
DC
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)
,
∵函数
的图象关于直线
对称,∴
,
,
∴
,
,又
,∴
.
∴
.
∵函数
的单调递减区间为
,
.
令
,∴
.
∴
的单调递减区间为
,
.
(Ⅱ)∵
,∴
.
∵
,∴
,∴
,∴
.
在
中,由余弦定理得
,
∴
.
由正弦定理得
,∴
,∴
.
18.(Ⅰ)证明:
法1:
连接
、
,显然
、
、
三点共线.
∵点
、
分别为
和
的中点,∴
;
在直三棱柱
中,
,∴
平面
,∴
,
又
,∴四边形
为正方形,∴
,
∵
、
平面
,∴
平面
,
而
,∴
平面
.
法2:
(用向量法同等给分).
(Ⅱ)解:
以
为原点,分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,
连接
、
,设
,
∵
,∴
,∴
,∴
.
当点
在线段
上运动时,∴平面
的法向量即为平面
的法向量,
设平面
的法向量为
,由
得
,
令
得
,
设平面
的法向量为
,由
得
,
令
得
,取
,
∵
,
∴
,∴
或
.
19.解:
(Ⅰ)在小明的男性好友中任意选取1名,其中走路步数低于7500的概率为
.
可能取值分别为0,1,2,3,
∴
,
,
,
,
积极型
消极型
总计
男
9
6
15
女
4
11
15
总计
13
17
30
的分布列为
0
1
2
3
则
.
(Ⅱ)完成
列联表
的观测值
.
据此判断没有
以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
20.解:
(Ⅰ)由题意可设直线
的方程为
,令
,
.
联立
得
,∴
,
根据抛物线的定义得,又
,又
,∴
,∴
.
则此抛物线的方程为
.
(Ⅱ)设直线
、
的倾斜角分别为
、
,直线
的斜率为
,则
.
由于直线
与
的倾斜角互余,则
,
则直线
的斜率为
.
于是直线
的方程为
,即
,
联立
得
,∴
,
则
,∴
,
同理将
换成
得:
,
∴
.
则直线
的方程为
,
即
,显然当
,
.
所以直线
经过定点
.
21.解:
(Ⅰ)
,
∵
,
在
上恒成立,即
在
上单调递减.
当
时,由
,得
;由
,得
;
综上:
当
时,
在
上单调递减;
当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)令
,
则
,
由于
,设
,
,
由
,所以
在
上单调递增;
由
,所以
在
上单调递减.
∴
(因为
),从而
.
则
在
上单调递减;在
上单调递增,∴
,
设
,
,
,
在
上递减,∴
;
∴
,故
.
说明:
判断
的符号时,还可以用以下方法判断:
由
得到
,设
,
,
当
时,
;当
时,
.
从而
在
上递减,在
上递增.∴
.
当
时,
,即
.
22.解:
(Ⅰ)法一:
在极坐标系中,令
,
,
在
中,
为直径,
,
∵
消去参数
得直线
的普通方程为:
.
法二:
在直角坐标系中,圆
的圆心为
,则方程为
.
即
,∴
,
即
.
(Ⅱ)法一:
直线过圆
内一定点
,当
时,
有最小值,
∴
.
法二:
点
到直线
的距离
,
∴
.
当
时,
有最小值
.
23.解:
(Ⅰ)由已知,令
,
由
得
.
(Ⅱ)将不等式
整理成
,
令
,要使
,
则
,
∴
,∴
,∴
.
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