届高三数学人教A版全国通用一轮复习讲义13充分条件必要条件与命题的四种形式.docx
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届高三数学人教A版全国通用一轮复习讲义13充分条件必要条件与命题的四种形式
§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
最新考纲
考情考向分析
1.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为选择、填空题,低档难度.
1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)“如果p,则q”形式的命题为真时,记作p⇒q,称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件,q也是p的充要条件.
p是q的充要条件又常说成q当且仅当p,或p与q等价.
2.命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题不等价.
知识拓展
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;
(6)若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )
(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(3)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(4)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
题组二 教材改编
2.下列命题是真命题的是( )
A.矩形的对角线相等
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若整数a是素数,则a是奇数
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
答案 A
3.“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
题组三 易错自纠
4.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A.若x B.若x≤y,则x2≤y2 C.若x>y,则x2>y2 D.若x≥y,则x2≥y2 答案 B 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”. 5.“sinα>0”是“α是第一象限角”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由sinα>0,可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上;若α是第一象限角,则sinα>0, 所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件.故选B. 6.已知集合A= ,B={x|-1 答案 (2,+∞) 解析 A= ={x|-1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A, ∴AB,∴m+1>3,即m>2. 题型一 命题及其关系 1.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福 答案 D 2.(2018·青岛调研)下列命题: ①“若a2 ②“全等三角形的面积相等”的逆命题; ③“若a>1,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题; ④“若 x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是( ) A.③④B.①③ C.①②D.②④ 答案 A 解析 对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,为假命题;对于③,当a>1时,Δ=-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确.故选A. 3.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是____________. 答案 若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 题型二 充分必要条件的判定 典例 (1)(2017·浙江)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 方法一 ∵数列{an}是公差为d的等差数列, ∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d, ∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d. 若d>0,则21d>20d,10a1+21d>10a1+20d, 即S4+S6>2S5. 若S4+S6>2S5,则10a1+21d>10a1+20d, 即21d>20d, ∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件. 故选C. 方法二 ∵S4+S6>2S5⇔S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)⇔a6>a5⇔a5+d>a5⇔d>0, ∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件. 故选C. (2)已知条件p: x>1或x<-3,条件q: 5x-6>x2,则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由5x-6>x2,得2 即q: 2 所以q⇒p,p⇏q,所以綈p⇒綈q,綈q⇏綈p, 所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A. 思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法: 根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. 跟踪训练 (1)(2017·赣中南五校联考)已知α,β均为第一象限角,那么“α>β”是“sinα>sinβ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 取α= ,β= ,α>β成立,而sinα=sinβ,sinα>sinβ不成立. ∴充分性不成立; 取α= ,β= ,sinα>sinβ,但α<β,必要性不成立. 故“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件. (2)设向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),则“a∥b”是“tanθ= 成立”的______________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分 解析 a∥b⇔sin2θ=cos2θ⇔cosθ=0或2sinθ=cosθ⇔cosθ=0或tanθ= ,所以“a∥b”是“tanθ= 成立”的必要不充分条件. 题型三 充分必要条件的应用 典例已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 则 ∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]. 引申探究 若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ 方程组无解, 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 思维升华充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 跟踪训练 (1)设p: |2x+1| >0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为______________. 答案 (0,2] 解析 由|2x+1| ∴- . 由 >0,得x< 或x>1. ∵p是q的充分不必要条件,又m>0, ∴ ≤ ,∴0 (2)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 答案 3或4 解析 由Δ=16-4n≥0,得n≤4, 又n∈N+,则n=1,2,3,4. 当n=1,2时,方程没有整数根; 当n=3时,方程有整数根1,3, 当n=4时,方程有整数根2. 综上可知,n=3或4. 等价转化思想在充要条件中的应用 典例已知p: ≤2,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),綈p是綈q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________. 思想方法指导 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.本题中既有对题目中条件的化简,又有充分必要条件和集合间关系的转化. 解析 ∵綈p是綈q的必要不充分条件, ∴q是p的必要不充分条件. 即p是q的充分不必要条件, 由x2-2x+1-m2≤0(m>0), 得1-m≤x≤1+m(m>0). ∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0}. 设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0}. 又由 ≤2,得-2≤x≤10, ∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}. 设N={x|-2≤x≤10}. 由p是q的充分不必要条件知,NM, ∴ 或 解得m≥9. ∴实数m的取值范围为[9,+∞). 答案 [9,+∞) 1.命题“若函数f(x)=ex-mx在[0,+∞)上是减函数,则m>1”的否命题是( ) A.若函数f(x)=ex-mx在[0,+∞)上不是减函数,则m≤1 B.若函数f(x)=ex-mx在[0,+∞)上是减函数,则m≤1 C.若m>1,则函数f(x)=ex-mx在[0,+∞)上是减函数 D.若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在[0,+∞)上不是减函数 答案 A 解析 “若p,则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定,故选A. 2.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题. 3.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 4.已知命题p: 若a<1,则a2<1,则下列说法正确的是( ) A.命题p是真命题 B.命题p的逆命题是真命题 C.命题p的否命题是“若a<1,则a2≥1” D.命题p的逆否命题是“若a2≥1,则a<1” 答案 B 解析 若a=-2,则(-2)2>1,∴命题p为假命题, ∴A不正确; 命题p的逆命题是“若a2<1,则a<1”,为真命题, ∴B正确; 命题p的否命题是“若a≥1,则a2≥1”,∴C不正确; 命题p的逆否命题是“若a2≥1,则a≥1”,∴D不正确. 故选B. 5.“x>1”是“ <0”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由x>1,得x+2>3,即 <0, <0,即x+2>1,得x>-1,故“x>1”是“ <0”成立的充分不必要条件.故选B. 6.(2017·北京海淀区一模)若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“a+lna>b+lnb”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 设f(x)=x+lnx,显然f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵a>b,∴f(a)>f(b), ∴a+lna>b+lnb,故充分性成立; ∵a+lna>b+lnb, ∴f(a)>f(b),∴a>b,故必要性成立, 故“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要条件,故选C. 7.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A. 8.(2017·江西红色七校二模)在△ABC中,角A,B均为锐角,则“cosA>sinB”是“△ABC为钝角三角形”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 因为cosA>sinB,所以cosA>cos , 因为角A,B均为锐角,所以 -B为锐角, 又因为余弦函数y=cosx在(0,π)上单调递减, 所以A< -B,所以A+B< , 在△ABC中,A+B+C=π,所以C> , 所以△ABC为钝角三角形; 若△ABC为钝角三角形,角A,B均为锐角, 则C> ,所以A+B< , 所以A< -B,所以cosA>cos , 即cosA>sinB. 故“cosA>sinB”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件. 9.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 10.设p: 实数x,y满足x>1且y>1,q: 实数x,y满足x+y>2,则p是q的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q, 当x+y>2时,可令x=-1,y=4,即q⇏p, 故p是q的充分不必要条件. 11.已知命题p: a≤x≤a+1,命题q: x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________. 答案 (0,3) 解析 令M={x|a≤x≤a+1}, N={x|x2-4x<0}={x|0<x<4}. ∵p是q的充分不必要条件,∴MN, ∴ 解得0<a<3. 12.有下列几个命题: ①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 ①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误; ②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确; ③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,正确. 13.已知p: 函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q: 函数g(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C. 14.已知条件p: 2x2-3x+1≤0,条件q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 答案 解析 方法一 命题p为 , 命题q为{x|a≤x≤a+1}. 綈p对应的集合A= ,
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