数学建模国赛A题论文Word版.docx
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数学建模国赛A题论文Word版
太阳影子定位
摘要
太阳影子定位技术[1]是解决拍摄视频的地点和时间的重要手段,因此对太阳影子定位技术进行定性与定量的研究具有重要的理论和实际价值。
我们建立了直杆的影子长度,北京时间,日期等变量之间的关系模型,并应用模型解决了题目所列的四个问题。
对于问题一我们利用空间几何学建立数学模型,确定了(太阳光线与直杆之间的)夹角、直杆和太阳直射点位置之间的关系。
进一步地,我们得到了直杆影子长度与直杆、太阳直射点[2]位置(经纬度)之间的关系方程。
我们分两种情况进行讨论,一种情况是太阳直射点与直杆同处于南、北半球,另一种情况是太阳直射点与直杆分别处于南、北半球。
最后我们由方程和matlab软件作图得到2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二我们根据附件一给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组,利用基于matlab的遗传算法[3]求解非线性方程组[4],得到杆子的几个可能的位置。
对于问题三我们根据附件二和三给出的数据建立了多个关于直杆经度、纬度和日期的非线性方程组,利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组,得到若干个可能的地点和日期。
对于问题四我们首先利用图像模拟方法,测得杆子在一些特定时刻的影子的实际长度值,再利用视频给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组,利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组,得到杆子的几个可能的位置。
【关键字】:
直杆影子长度,经纬度,非线性方程
一、问题重述
太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
本题就是利用物体影子随时间的变化规律来求解拍摄地点与拍摄日期。
1.建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知,你能否根据视频确定出拍摄地点与日期?
二、问题分析
2.1、问题一的分析
针对问题一,题目给出直杆高度,北京时间,日期,直杆位置
等数据,求解影子长度随时间变化趋势。
我们知道,北京时间以及日期跟太阳直射点的位置密切相关,而我们知道了太阳直射点与杆子的相对位置就能得到形成影子的光线与直杆的夹角,从而求得影子长度,这样就把影子长度与北京时间联系起来。
因此,我们建立空间几何数学模型,得到影子长度与直杆、太阳之间相对位置的关系函数,即直杆的影子长度与北京时间的关系函数。
最后,我们利用MATLAB软件作图得到3米直杆太阳影子长度的变化曲线,通过对曲线的观察,发现模型与现实情况基本是吻合的,验证了我们所做模型的合理性。
2.2、问题二的分析
问题二属于给定多组动态相关数据进行求解的问题。
解决这类问题一般要分析相关变量之间的关系,建立它们满足的方程,由已知的动态数据求解未知的变量。
针对问题二,我们首先利用问题一中得到的关系方程,这个方程联系着北京时间,日期(太阳直射点的经纬度)、直杆位置(直杆经纬度)、直杆影长等几个变量,也就是说如果有一个或多个变量的一组值,通过关系方程能得到另外几个变量的可能值。
问题二已经给出了北京时间,日期以及直杆影长求直杆的几个可能位置,我们利用附件一给出的数据创建几个非线性方程组,运用基于matlab的遗传算法解方程组可以得到直杆的几个可能位置。
2.3、问题三的分析
问题三与问题二一样都是给定一组或者多组动态相关变量求解的问题。
解决这类问题一般要分析相关变量之间的关系,建立关系方程,由已知的变量求解未知的变量。
问题三与问题二的不同之处在于问题三多了一组未知的变量
,我们知道想要解出n个未知数,需要n个方程。
所以,问题三只需新建一个比问题二中方程组的方程数量多一个的方程组就可以了。
将相关数据代入方程组并利用matlab进行求解得到若干个可能的地点与日期。
2.4、问题四的分析
问题四与问题二一样也是给定一组或者多组动态相关数据求解的问题。
但是问题四中杆子的影子长度需要我们自己测量。
我们运用图像模拟法并进行比例换算得到一组直杆影子长度真实值。
随后,我们将北京时间,日期,影子长度变化值等已知量代入问题三中的方程组,利用matlab解多元非线性方程组得到几个可能的拍摄地点。
模型假设
1、在一天之内,太阳直射点的纬度线基本不变。
2、太阳直射点在南北回归线之间往复,每天所扫过的纬度值是相等的。
3、一年时间按照365天计算,不考虑闰年情况。
4、春分、秋分,太阳直射赤道;夏至,太阳直射北回归线;冬至,太阳直射南回归线[5]。
5、太阳到达地面的光线互相平行。
6、太阳光线在大气中不产生折射。
四、定义与符号说明
时间代数:
将分钟化为小时,用小数表示某一时刻的时间点
太阳直射点:
地球表面太阳光射入角度(即太阳高度角)为90度的地点,它是地心与日心连线和地球球面的交点。
太阳直射点所在的经线的地方时为正午12时。
符号
说明
α
太阳直射点经度与直杆所在地经度的经度差
β
直杆所在直线与赤道平面的夹角(即直杆所在地的纬度)
γ
过太阳直射点的光线与赤道平面的夹角(即太阳直射点所在的纬度)
θ
太阳光线与直杆的夹角
L
直杆的影子长度
h
直杆的高度
O
地心
B
直杆所在点
C
直杆所在经线与赤道的交点
D
太阳直射点所在经线与赤道的交点
E
太阳在地球表面的直射点
五、模型建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
该问目的在于求出题目所给直杆的影子长度与时间变化间的关系。
我们知道,当太阳光线与直杆夹角为θ时,直杆影子长度
L=h*tanθ
所以,该问的关键在于找到太阳光线与直杆的夹角θ,并将θ用含时间t的代数式表示出来。
为了求出θ的表达式,我们做出以下模型图来帮助分析:
图5.1-1、太阳光线直射点与直杆在赤道同侧
图5.1-2、太阳光线直射点与直杆在赤道异侧
连接地心O与直杆位置B,OB即为直杆所在直线,连地心O与太阳在地球表面直射点
E,OE即为过太阳直射点的光线。
由以上说明易知,面OBC⊥面OCD,面ODE⊥面OCD(经度面垂直于纬度面)。
在直线OB上取一点M,作MN⊥OC于点N,直线OD上找一点P,使得ON=OP,连NP,再过点P作PQ⊥OD,交OE于Q,连MQ。
因为MN⊥ON且面OMN⊥面ONP,所以MN⊥面ONP,同理PQ⊥面ONP,所以MN∥PQ。
下面分直杆、太阳直射点在赤道同侧和异侧两种情况分析:
1当太阳直射点与直杆位于赤道同一侧时,过Q作QH⊥MN于H。
设ON=OP=1,则
OM=1/cosβ,OQ=1/cosγ,MN=tanβ,PQ=tanγ,NP=
=
则在Rt△MQH中,
MH²=(MN-HN)²=(MN-PQ)²=(tanβ-tanγ)²
QH=NP,
所以
MQ²=MH²+QH²=(tanβ-tanγ)²+2-2cosα
在△AMQ中,由余弦定理可得
cosθ=cos∠MOQ
=
=cosαcosβcosγ+sinβsinγ
2当太阳直射点与直杆在赤道两侧时,过Q作QH⊥MN于H。
设ON=OP=1
,与①同理可以得到
cosθ=cosαcosβcosγ-sinβsinγ
综合得:
cosθ=
(5.1-1)
L=h*tanθ=h*
(5.1-2)
在第一问中,直杆所在地为北纬39度54分26秒(39.9072°),东经116度23分29秒(116.3914°),日期为10月22日,在t(北京时间)时刻,太阳直射点的位置是纬度为南纬7.7040°,经度为东经120°+15°*(12-t)(8 由于所求时间区间为北京时间9: 00-15: 00,则 α=[120°+15°*(12-t)]-116.3914°=183.6086°-15*t(t∈[9,15]) β=39.9072° 以一年(365天)为一周期,太阳直射点在南北回归线之间往复运动,建立太阳直射点纬度值与时间的线性关系,太阳直射点在一年的时间里扫过的维度值约为93.75°,假设一年365天(闰年情况不作考虑),则每一天太阳直射点扫过的维度值约是93.75°/365=0.2568° 设1月1日是第一天,即这一天d=1;在1<=d<=365(一年范围内)的任意一天,太阳直射点的纬度值为: 南纬20.862° d*0.2568°(1<=d<=80)(5.1-3) 北纬(d 80)*0.2568°(80 北纬23.43° (d 172)*0.2568°(172 南纬(d 265)*0.2568°(265 南纬23.43° (d 356)*0.2568°(356 因此,在10月22日d=295,可以推得太阳直射点为南纬7.7040°所以 γ=7.7040° 并且在该情况下天安门的直杆与阳光直射点位于赤道异侧,所以 cosθ=cosαcosβcosγ-sinβsinγ 最终得到 L=h* =3* t∈[0,6] 在9: 00-15: 00也即t∈[9,15]区间内,用MATLAB得到直杆影子的变化曲线如下图(代码见附录1): 影子长度L/m 时间t 5.2、问题二的模型建立与求解 对附件一的数据进行整理,得到以下表格(表5.2-1): 北京时间 时间代数 x坐标(米) y坐标(米) 影子长度2(米) 14: 42 14.7 1.0365 0.4973 1.32164 14: 45 14.75 1.0699 0.5029 1.397594 14: 48 14.8 1.1038 0.5085 1.476947 14: 51 14.85 1.1383 0.5142 1.560129 14: 54 14.9 1.1732 0.5198 1.64659 14: 57 14.95 1.2087 0.5255 1.737106 15: 00 15 1.2448 0.5311 1.831594 15: 03 15.05 1.2815 0.5368 1.930396 15: 06 15.1 1.3189 0.5426 2.033912 15: 09 15.15 1.3568 0.5483 2.141539 15: 12 15.2 1.3955 0.5541 2.254447 15: 15 15.25 1.4349 0.5598 2.372314 15: 18 15.3 1.4751 0.5657 2.495937 15: 21 15.35 1.516 0.5715 2.624868 15: 24 15.4 1.5577 0.5774 2.75982 15: 27 15.45 1.6003 0.5833 2.901199 15: 30 15.5 1.6438 0.5892 3.049235 15: 33 15.55 1.6882 0.5952 3.204282 15: 36 15.6 1.7337 0.6013 3.367277 15: 39 15.65 1.7801 0.6074 3.537691 15: 42 15.7 1.8277 0.6135 3.71687 表5.2-1附件一数据整理表 由测量日期2015年4月18日可得太阳直射点的纬度为北纬7.1904°,即 γ=7.1904° 设直杆所在地经度为东经m,纬度为β。 仍旧以北京时间00: 00为时间起点0,则经度差为 α=300-m-15t 下面分直杆与阳光直射点在赤道同侧、直杆与阳光直射点在赤道异侧两种情况讨论: ①直杆与阳光直射点在赤道同侧,则 Cosθ=cosαcosβcosγ+sinβsinγ 将α、β、γ代入上式得到 cosθ=0.9921*cos(300-m-15t)cosβ+0.1252sinβ(5.2-1) 将式5.2-1代入式5.1-2可得到: L²=h²* (5.2-2) 任取表中三组数据代入式5.2-2,得到一个三元方程组,按照这种方法可以得到多个不同的三元方程组,利用MATLAB求解每个方程组,最终可以得到多组m、β值,对这些值求平均就可得到直杆所在的经度和纬度。 所求数据见下表(表5.2-2): (运行代码见附录二) 同侧 1 2 3 平均值 m 3.0750 -1.5085 1.5172 1.0279 β 4.2656 2.9715 1.9954 3.0775 表5.2-2 所以: m=1.0279°(东经) β=3.0775°(北纬) ②直杆与阳光直射点在赤道异侧,则 cosθ=cosαcosβcosγ-sinβsinγ 同理将α、β、γ代入上式得到 cosθ=0.9921*cos(300-m-15t)cosβ-0.1252sinβ 进一步求得: L²=h²* (5.2-3) 同情况①,可以得到下表(表5.2-3): (运行代码见附录三) 异侧 1 2 3 平均值 m 4.3582 3.4627 5.5303 4.4504 β 1.2590 1.1893 1.7061 1.3848 表5.-3 所以: m=4.4504°(东经) β=1.3848°(南纬) 综合①、②可知,直杆所在地可能为: 东经1.0279°,北纬3.0775°或东经4.4504°,南纬1.3848° 5.3、问题三的模型建立与求解 设太阳直射点纬度为γ,直杆纬度为β,直杆经度为东经m,因为附件二和附件三的时间区间均在北京时间8: 00到20: 00内,所以α=300-m-15t。 整理附件二和附件三分别得到表5.3-1和表5.3-2. 北京时间 x坐标(米) y坐标(米) 时间代数 影子长度 影子长度² 12: 41 -1.2352 0.173 12.68333333 1.247256 1.555648 12: 44 -1.2081 0.189 12.73333333 1.222795 1.495227 12: 47 -1.1813 0.2048 12.78333333 1.198921 1.437413 12: 50 -1.1546 0.2203 12.83333333 1.175429 1.381633 12: 53 -1.1281 0.2356 12.88333333 1.15244 1.328117 12: 56 -1.1018 0.2505 12.93333333 1.129917 1.276713 12: 59 -1.0756 0.2653 12.98333333 1.107835 1.227299 13: 02 -1.0496 0.2798 13.03333333 1.086254 1.179948 13: 05 -1.0237 0.294 13.08333333 1.065081 1.134398 13: 08 -0.998 0.308 13.13333333 1.044446 1.090868 13: 11 -0.9724 0.3218 13.18333333 1.024264 1.049117 13: 14 -0.947 0.3354 13.23333333 1.00464 1.009302 13: 17 -0.9217 0.3488 13.28333333 0.985491 0.971192 13: 20 -0.8965 0.3619 13.33333333 0.96679 0.934684 13: 23 -0.8714 0.3748 13.38333333 0.948585 0.899813 13: 26 -0.8464 0.3876 13.43333333 0.930928 0.866627 13: 29 -0.8215 0.4001 13.48333333 0.913752 0.834942 13: 32 -0.7967 0.4124 13.53333333 0.897109 0.804805 13: 35 -0.7719 0.4246 13.58333333 0.880974 0.776115 13: 38 -0.7473 0.4366 13.63333333 0.865492 0.749077 13: 41 -0.7227 0.4484 13.68333333 0.850504 0.723358 表5.3-1 北京时间 x坐标(米) y坐标(米) 时间代数 影子长度 影子长度² 13: 09 1.1637 3.336 13.15 3.533142 12.48309 13: 12 1.2212 3.3299 13.2 3.546768 12.57956 13: 15 1.2791 3.3242 13.25 3.561798 12.6864 13: 18 1.3373 3.3188 13.3 3.578101 12.8028 13: 21 1.396 3.3137 13.35 3.595751 12.92942 13: 24 1.4552 3.3091 13.4 3.614934 13.06775 13: 27 1.5148 3.3048 13.45 3.635426 13.21632 13: 30 1.575 3.3007 13.5 3.657218 13.37525 13: 33 1.6357 3.2971 13.55 3.680541 13.54638 13: 36 1.697 3.2937 13.6 3.705168 13.72827 13: 39 1.7589 3.2907 13.65 3.731278 13.92244 13: 42 1.8215 3.2881 13.7 3.758918 14.12946 13: 45 1.8848 3.2859 13.75 3.788088 14.34961 13: 48 1.9488 3.284 13.8 3.818701 14.58248 13: 51 2.0136 3.2824 13.85 3.85081 14.82873 13: 54 2.0792 3.2813 13.9 3.884585 15.09 13: 57 2.1457 3.2805 13.95 3.919912 15.36571 14: 00 2.2131 3.2801 14 3.956876 15.65687 14: 03 2.2815 3.2801 14.05 3.995535 15.9643 14: 06 2.3508 3.2804 14.1 4.035751 16.28728 14: 09 2.4213 3.2812 14.15 4.077863 16.62897 表5.3-2 ①、当直杆与太阳直射点在赤道同侧时,由式5.1-1知 cosθ=cosαcosβcosγ+sinβsinγ=cos(300-m-15t)cosβcosγ+sinβsinγ L²=h²* (5.3-1) 同样分别取表5.3-1和表5.3-2中数据利用MATLAB求解多个非线性方程组得到多组m、β、γ值,并分别求得m、β、γ的平均值(代码见附录四)。 对附件二中直杆,求得: m=0.4275β=1.4001γ=5.7657 将γ分别代入式5.1-3到式5.1-6中,得到天数的可行解 所以对附件二中直杆,位置和拍摄日期分别可能为: 1.位置: 东经0.4275°,南纬1.4001°,拍摄日期: 2月27日 2.位置: 东经0.4275°,北纬1.4001°,拍摄日期: 4月13日 3.位置: 东经0.4275°,北纬1.4001°,拍摄日期: 8月 28日 4.位置: 东经0.4275°,南纬1.4001°,拍摄日期: 10月14日 对附件三中直杆,求得: m=4.9023β=1.1195γ=1.0797 同理得到天数可行解为 所以对附件三中直杆,位置和拍摄日期分别可能为: 1.位置: 东经4.9023°,南纬1.0797°,拍摄日期: 月18日 2.位置: 东经4.9023°,北纬1.0797°,拍摄日期: 3月25日 3.位置: 东经4.9023°,北纬1.0797°,拍摄日期: 9月16日 4.位置: 东经4.9023°,南纬1.0797°,拍摄日期: 9月26日 ②、当直杆与太阳直射点在赤道异侧时,同样由式5.1-1知 cosθ=cosαcosβcosγ-sinβsinγ =cos(300-m-15t)cosβcosγ-sinβsinγ L²=h²* 同样分别取表5.3-1和表5.3-2中数据利用MATLAB求解多个非线性方程组得到多组m、β、γ值,并分别求得m、β、γ的平均值(代码见附录四) 所以对附件二中直杆 m=0.0861°β=0.6625°γ=1.0871° 同样可以得到 所以对附件二中直杆,位置和拍摄日期分别可能为: 1.位置: 东经0.0861°,北纬0.6625°,拍摄日期: 月18日 2.位置: 东经0.0861°,南纬0.6625°,拍摄日期: 3月25日 3.位置: 东经0.0861°,南纬0.6625°,拍摄日期: 9月16日 4.位置: 东经0.0861°,北纬0.6625°,拍摄日期: 9月26日 对附件三中直杆 m=0.3588°β=2.8955°γ=4.2077° 并且得到 所以对附件三中直杆,位置和拍摄日期分别可能为: 1.位置: 东经0.3588°,北纬2.8955°,拍摄日期: 3月5日 2.位置: 东经0.3588°,南纬2.8955°,拍摄日期: 4月6日 3.
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