柳卡图解行程问题.docx
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柳卡图解行程问题.docx
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柳卡图解行程问题
柳卡图解行程问题
数学竞赛讲义之行程问题
多车相遇
例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,自隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟,有一个人从乙站出发沿着电车线路骑车前往甲站。
他出发的时侯,恰好有一辆电车到达乙站。
在路上他又遇到到了10辆迎面开来的电车,到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟?
解:
一辆车走完全程需要15分钟,所以一辆车刚发出时,途中有
15÷3-1=2辆车。
所以当人骑车出发时,而甲站车时,在中途有两辆车子,可以相遇,所以共相遇10辆车,于是又发车8辆相遇,恰到达时,又发车,于是发车9辆时,甲到达,即有8个时间间隔,时间为5×8=40分钟。
所以骑车行完全程的时间为40分钟。
例73、某人沿电车路线行走,每隔12分钟有一辆电车从后面追上,每
中途13艘,首尾2艘,共15艘。
从图上可以看山,在某轮船开出的前7天,纽约港已有7艘轮船驶入航程,加上当天的一艘,共计8艘。
之后,纽约港每天还有1艘轮船驶入航程,共计7艘。
这样从勒阿弗尔港驶出的轮船在整个运行过程中,将要和本公司的15艘轮船相遇。
从图上看,当中一列(蓝色〉共有16行相交,除去勒阿弗尔港当天自己开出得一列(红色),相交数也是15。
例75、一条双向铁路上有11个车站。
相邻两站都相距7千米,从早晨7时开始,有18列货车由第11站顺次发出,每隔5分钟发出一列,都驶向第一站,速度都为每小时60千米。
早晨8时,由第1站发出一列客车,向第11站驶去,时速是100千米,在到达终点站前,货车与客车都不停靠任何一个站,问在哪两个相邻站之间,货车能与3列客车先后相遇?
图像法:
画出示意图,利用示意图求解,但是要求图像一定的精确度。
所以,一般采用图像法与分析法结合使用,对有可能的情况进行分析。
由上图可知,客车在5、6两站遇见三辆客车。
分析法:
客车从一个站到下一个站所需的时间为
分钟
所以客车到第一站的时间为
第一站8时0分第二站8时
分第三站8时
分
第四站8时
分…………第十一站8时42分
而客车出发时,第一辆货车距它
千米
所以客车与第一辆车相遇为8时
分
相邻两货车相距为
千米
所以,客车经过两辆货车的时间间隔为
分钟
则客车与18辆货车相遇时间顺次为
第一辆:
8时
分,即8时
分
第二辆:
,即8时
分
第三站:
,即8时
分
第四站:
,即8时
分
第五辆:
,即8时
分
……
所以,客车在8时
分到达第五站,8时21分到达第六站。
在此期间,它于8时……,8时……,8时
分三次与货车相遇。
所以在第5、6两站之间,客车与货车三次相遇。
例76、长途汽车有甲、乙两个终点站,汽车要用4小时才能驶完全程。
从上午6点开始,每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车,最后一班车在下午4点发出。
问从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车?
最少能看到到几辆?
解:
最多9辆,最少5辆
例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。
不管前半程怎样,当他们从折返点返回跑后半程时,每人的速度都是固定不变的。
他们三位朋友X、Y、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。
最先拍的是X,然后是Y,最后按快门的是Z。
照片洗出后他们分别这样说:
X:
“我是在他们返回跑了10分钟后照的,当时五人的顺序是B、E、C、A、D,而且他们的间隔相等,都是30m”。
Z:
“我是在他们返回跑了30分钟后照的,当时五人的顺序是A、B、C、D、E,而且他们的间隔相等,都是20m”。
Y:
“我是什么时侯照的,自己也没记住,不过我照的时候他们的间隔也相等。
”
问:
Y是在他们返回跑了几分钟时照的?
解:
先用图表示5个人的顺序变化。
从上图可以看出,A、C、E经常处于间隔相同的状态,当A正好在B和C中间时,E也正好在C和D的正中间,因此5人中的间隔是相同的。
为便于分析这个时间,在两侧B和C的正中间画上一条线来表示,如右图当此线和A线相交时,A就在B和C的正中间,所以可以求出这个时刻。
这时,图中的两个阴影部分的三角形是相似三角形。
因此,两个三角形的对应边的比(相似比)是30:
60=1:
2,所以m:
n=1:
2。
5人的间隔相同,
,即6分40秒
也就是说,Y在他们返回来回跑了16分40秒后照的。
【巩固练习】某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/小时的速度步行,每7.2分钟有一辆电车迎面开过,每12分钟有一辆电车从后面追过。
如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行,那么电车的速度是多少?
电车之间的时间间隔是多少?
优化设计
★例78、甲乙两班学生到离校24千米的飞机场参观,但只有一辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生。
为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生,如果甲乙两班学生步行速度相同,汽车速度是他们步行速度的7倍,那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生,才能使两班同时到达飞机场?
假设甲坐车时间为“1”,甲班行驶了1×7速度时,乙班行驶了1×1速度时,然后甲下车,汽车往回行驶,于是汽车与乙相遇,他们的路程差为7-1=6速度时,速度和8速度时,所需时间为
时,于是乙步行
时,换车;甲坐车1时,步行。
因为甲乙速度一样,同时到达,所以甲、乙坐车、步行时间一样,于是甲乙坐车1时,甲乙步行时间1.75时。
所以,坐车与步行路程比为
于是步行路程为
千米
所以汽车停在距机场4.8千米处。
例79、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园,甲班步行的速度是每小时4千米,乙班步行的速度是每小时3千米。
学校有一辆汽车,它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生,为了使两班学生在最短时间内到达公园,那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少?
解:
为了使两班最短时间到达,汽车从一班换车地点至另一班换车地点时间尽量减小,所以先让速度快得甲班先走,这样乙班换车地点与甲班行至地点距离小,就节省了时间。
假设甲班先行走时间为“1”,则甲班行程4,乙班因为坐车行程48。
现在行程差为48-4=44,乙班下车,甲班坐车,但车、甲行程差为44。
车、甲速度和为4+48=52,于是需
时,车、甲相遇。
此时,甲行走
,乙行走
。
所以,甲乙行程差为
乙、车速度差为48-3=45,车追上乙时间为
,于是乙行走了
,甲行走了
,所以他们的步行距离比为:
所以甲乙两班步行的距离比为15:
11
方法二:
甲班步行走了AC,汽车载着乙班从A出发;当汽车到达D时,放下乙班步行,返回到C与甲班相遇。
最后,汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B。
在汽车与甲班在C相遇之间,甲班走了AC,汽车走了AD+DC。
由于在这一过程中,车和甲班始终在走,所以路程比等于速度比,即
因此,
,
由此,
例80、甲乙两地相距35千米,小张、小李都要从甲地去乙地,他们只有一辆自行车,小张先步行,小李先骑车,同时出发。
小张步行的速度是每小时5千米,小李步行的速度是每小时4千米。
两人骑车的速度都是每小时20千米。
那么两人从甲地到乙地最短需要多少小时?
解:
小李骑车到达甲乙之间的丙地,改为步行,小张到丙地后骑车,两人同时到达乙地。
此时两人到达乙地需要时间最少。
方法一方程法设甲丙距离为x,则小李需要时间
,小张需要时间
因为同时出发,同时到达,所以小李、小张所需时间相等。
于是,
,所以
千米
于是所需时间为
小时,即4小时45分钟。
方法二比例法求出甲丙:
丙乙的路程比。
知道骑车“1”距离时间为
,小李步行“1”距离时间为
,小张步行“1”距离时间为
。
小李因走路程“1”耽搁的时间与小张因走路程“1”耽搁的时间之比为
,因为所需时间相等,所以路程比为3:
4。
因为小李与小张的步行、骑车距离正好相反,所以小李步行路程为
千米,所以甲丙路程为35-15=20千米。
小李步行时间为
小时,即4小时45分钟。
例81、一条环形道路,周长为2千米,甲、乙、丙3人从同一点同时出发,每人环行2周。
现有自行车2辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行,中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑。
已知甲步行的速度为每小时5千米,乙和丙步行的速度是每小时4千米,3人骑车的速度都是每小时20千米。
请你设计一种走法,使3个人2辆车同时到达终点。
那么环行2周最少要用多少分钟?
解:
求出甲乙步行的路程比。
假设甲乙均始终骑车,则甲乙同时到达。
在一个单位路程“1”内,甲乙骑车所用时间:
,甲步行所用时间:
,乙步行所用时间:
现在因步行耽搁的时间比为:
,于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比,即4:
3。
又因为乙、丙速度相同,所以步行距离相等。
于是甲乙丙步行距离比为:
甲:
乙:
丙=4:
3:
3。
因为有3人2辆自行车,所以始终有人在步行,一圈的距离等于甲乙丙步行距离和。
(注意到车子放在一周的不同地方,所以总有一人从一停车处走到另一停车处)。
于是甲步行的距离为?
千米。
于是骑车距离为2×2-0.8=3.2千米;所以甲需要时间为?
=0.32小时。
即0.32×60=19.2分钟。
环形两周的最短时间为19.2千米。
例82、下图为某邮递员负责的邮区街道图,图中交叉点为邮户,每个小长方形的长为180米,宽为150米。
如果邮递员每分钟行200米,在每个邮户停留半分钟,那么从邮局出发走遍所以邮户,再回到邮局,最少要用多少分钟?
解:
此题的关键是求出最佳路径,显然不满足一笔画,我们也要走到个个交点。
观察上图,前两种路线有重复部分,而第三个路线比第四个路线长。
所以第四种路线最短。
至少要走3900米,有6×4-1=23个邮户。
所以需3900÷200+(6×4-1)×0.5=19.5+11.5=31分钟。
例83、有一个沙漠地带,汽车每天行驶200千米,每辆汽车载运可行驶24天的汽油。
现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发,并在完成任务后,沿原路返回。
为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车在行驶一段路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他得油给甲车。
求甲车所能开行的最远距离。
解:
我们知道,甲车尽可能远,则乙车离开甲车时,保证甲车行驶24天得汽油,则还有24天的汽油,是甲乙到达乙车离开的地点,然后,乙车原路返回,所以24天得汽油,3车次到达乙车离开的地点,于是24÷3=8天。
又甲车单独行驶的24天汽油,分成3部分,向前前进,返回至乙车离开地点,返回出发点。
由于向前前进部分=返回至乙车离开地点,返回出发点=8天
所以向前前进部分=(24-8)÷2=8
所以,甲最远跑到8+8=18天得距离。
16×200=3200千米。
巩固练习
习题14、一条“☆”形道路,周长为7千米,甲乙丙3人从同一地点出发,每人环形3周,现有自行车2辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行出发,中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑。
已知甲步行的速度为每小时5千米,乙和丙步行的速度是每小时6千米,3人骑车的速度都是每小时30千米。
请你设计一种走法,使3个人2辆自行车同时到达终点。
那么环形3周最少要用多少分钟?
习题15、猴子爬窗吴尽的手风琴已经走了调,可他依旧弹奏不休,图中的那些人被他吵得要死。
如果不打发一点钱,他是不会走的。
现在,他的听众准备投降了。
请你说出。
他的那只叫乔科的猴子,将采取怎样一条最短的路线,带着一只锡碗从一个窗子爬到另一个窗子去向人家收钱?
注意,猴子必须从现在的位置出发,最后回到它主人的肩膀上。
如果每通过一个窗子需2分钟,等待别人的付钱1分钟,则需要时间为多少?
习题16、在百慕大三角洲内,轮船每天行驶50海里,每辆轮船带有可供50天的淡水;现在有“探索号”与“试验号”两艘轮船同时从同一码头出发,并在完成任务后,沿原路返回。
为了让“探索号”尽可能开出远的距离,“试验号”在行驶一段路程后,仅留下自己返回码头所需的淡水,把其他的淡水给“探索号”。
求“探索号”所能到达的最远航程?
其他问题
例84、龟兔赛跑,全程5.2千米,兔子每小时跑20千米,乌龟每小时跑3千米,乌龟不停的跑;但兔子却边跑边玩,它先跑了1分钟然后玩15分钟,又跑了2分钟然后玩15分钟,再跑3分钟然后玩15分钟,……,那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?
解:
乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟。
兔子如果不休息,则需要时间5.2÷20×60=15.6分钟。
注意到兔子休息的规律是跑1、2、3、……分钟后,休息15分钟。
15.6=1+2+3+4+5+0.6有5个间隔,所以休息5×15=75分钟,于是,兔子跑到终点所需时间为15.6+75=90.6分钟。
显然,兔子先到达,先乌龟104-90.6=14.6分钟。
例85、如下图,8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点。
甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。
丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇;丁由D向C走去,8时30分在F点被乙追上。
问三角形BEF的面积为多少平方米?
例86、某出租车的计价方式为:
起价是2千米5元,往后每增加1千米(最后不足1千米按1千米计算)增加2元。
现从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元,如果从甲地到乙地先步行800米,然后再乘也要35元。
问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱?
解:
35-5=30元,所以起价后付了30元,我们以起价后2元为1段。
又先走800米,付的车费不变,所以,最后的一段路程为800-1000米之间,于是全程为2+30÷2-1+~=16+~
所以半程为
,
为400-500米之间
所以需支付5+(8-2)×2=19元。
例87、如果在游泳池中用水拍打水面,就会有水波从拍打处向四周扩散,这时水波的速度仅仅和水的深度有关,如果游泳池的水深都一样的话,那么不管是站立打水还是边走边打水、轻轻打水、水波的扩散速度都将是一样的,水波真是奇怪的东西。
在一个游泳池(水深都一样)里,放了一台10秒钟可以打出6个水波的机器。
这台机器带有轮子,所以也可以一定的速度前进。
水波是以每10秒钟12米的速度扩散。
水波的最高处叫波峰,最低处叫波谷,请问:
这台机器静止不动打水,从一个波峰到另一个相邻的波峰的距离是多少米?
太郎以每10秒钟4米的速度面向正在静止站立打水的机器走去,太郎在10秒钟内可以碰上几次波峰?
(时间的计算是一个波谷正好到太郎的面前开始的)。
这回是机器以每10秒钟4米的速度朝着站立不动的太郎边走边打水,太郎在10秒钟内可以碰上几个波峰?
(时间的计算同上)
太郎和机器分别以每10秒钟4米的速度面对面地走,太郎在10秒内可以碰上几个波峰?
(时间的计算同上)
解:
1、一瞬间产生的波以每10秒钟12米的速度扩散,在10秒内可产生6个水波。
12÷6=2米
2、10秒钟内,开始计数时的波谷从太郎原先的位置前进了12米,太郎前进了4米,其距离是12+4=16米,在这16米之间,宽度是2米的波有16÷2=8(个),这8个波太郎都能遇上。
3、波的速度不变,注意到相邻两个波之间宽度比原来小,就容易解决了。
10秒后机器前进了4米,初始的波,10秒后距机器现在的位置为12-4=8米,由于波产生的速度没变,所以在10秒钟内产生的波都应在这个8米的距离之内。
因此,从运动着的机器那里产生的波的宽度是
,因为这个波是太郎原位未动时计数的。
波的前进速度不变,10秒12米,所以
(个)。
4、同3,机器在动,所以波的宽度是
。
同2一样,太郎也在动,所以他在16米之间可能碰到的波的数量是
(个)。
非典型问题
1、数论类
例88、在一条环形公路上,n个车站被n段公路连接起来,车站所在地的高度有海拔50米和100米两种。
相邻两车站若海拔高度相同,则它们之间的一段公路是水平的。
否则是上坡路或下坡路。
有一个乘客汽车在这条环形公路上逆时针方向兜了一圈,发现有坡公路的段数与水平公路的段数一样多。
求证:
4|n。
解:
记50米高站位L,记100米高站为H,水平公路的连接方式为line(L,L),line(H,H),有坡公路为line(L,H)。
平路与有坡公路段相等,则line(L,H)=line(L,L)+line(H,H)
又因为每1站车站都连接2条公路,所以每条公路完全占有两个
车站。
设line(L,L)有x条,line(H,H)有y条,则line(L,H)有x+y条。
所以在line(L,L)中有
个L车站,在line(H,H)中有
个H车站,共有
个H车站。
因为不管L、H都是整数,所以(x+y)为偶数,总车站数为L+H=2(x+y)=n
所以4|[n=2(x+y)]
例89、下图中有两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米,小圆直径30厘米。
两只甲虫同时从A点出发,按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。
问:
当小圆上甲虫爬了几圈时,两只甲虫首次相距最远?
解:
大小圆只有一个公共点(内切),而在圆上最远的两点为直径两端,所以当一只甲虫在A点,另一只在过A的直径另一端点B。
所以在小圆甲虫跑了n圈,在大圆甲虫跑了
圈,相距最远。
于是小圆甲虫跑了30n,大圆甲虫跑了
。
因为速度相同,所以相同时间内路程相同,起点相同,所以
,即
,利用不定方程知识,解出n=4,m=4
所以小圆甲虫跑了2圈后,大小甲虫相距最远。
益智类
例91、一条公共汽车线路,包括首尾两站共10站。
首尾两站同时每隔3分钟相向发车一辆,每辆汽车行驶一个单程需要27分钟。
要保证首尾两站随时都有车,至少需要多少辆汽车?
解:
从首站发向尾站的车,第1辆到达时第10辆正准备发车,该方向共10辆车;同理,相反方向也有10辆。
所以共需要20辆车。
例92、某路电车每隔5分钟从甲站发一辆电车到乙站,全程要走20分钟。
有一个人从乙站出发沿电车线路前往甲站,他出发时恰有一辆电车到达乙站,在路上他又迎面遇到了10辆电车,到达甲站时恰有一辆电车从甲站开出。
问:
他从乙站到甲站用了多长时间?
解:
他一共看到12辆电车,他从乙站出发时第5辆电车正从甲站出发,他到达甲站时第12辆电车正从甲站出发,这中间共35分钟。
例93、长途汽车在甲乙两地间运行,每天从甲乙两地同时相对开出一辆客车,单程需要三天时间,到达终点后,休整两天再按原路返回。
为了保证这条线路上客运任务能正常进行,这条线路上至少应配备几辆车?
解:
一辆车两次从甲站出发间隔10天,所以需10辆车。
例94、AB两地相距54千米,有18人共同骑7匹马由A地到B地去,每匹马每次只能驮1人,为了轮换休息,大家决定每人骑马行1千米轮换休息一次。
问:
每人骑马、步行各多少千米?
解:
7匹马共行54×7=378千米,即18人共骑马行378÷18=21千米,步行54-21=33千米。
所以每人骑马21千米,步行33千米。
例95、四只甲虫A、B、C和D处于一个边长10厘米的正方形的四端。
A对准B,B对准C,C对准D,D对准A同时直接超前爬。
如果所有的甲虫的爬行速度都一样,那么,它们的爬行轨迹将是四条一样的螺旋曲线,最终相交与这个正方形的中心。
现在的问题是,当四只甲虫相距时,它们各自爬了多长的距离?
解:
因为四只甲虫的爬行速度是一样的,所以在爬行的过程中,不管它们彼此间的距离如何变化,这四只甲虫始终处于一个正方形的四个端点,随着甲虫距离的缩短,这个正方形不断地旋转和缩小。
因此,在任何时候,追赶得甲虫,例如甲虫A的运动方向,总是垂直于被追赶的甲虫B的运动方向。
也就是说,被追赶的甲虫B的运动中,不包含离开或接近它的追赶者甲虫A的运动。
换句话说,在上述相互追赶的过程中,甲虫B对于它的追赶者甲虫A来说,始终处于相对静止状态。
因此,甲虫A在上述旋转的路线上追上甲虫B所需的时间,等于甲虫B处于静止状态时,甲虫A沿直线赶上甲虫B所需的时间。
所以不难得出结论,当四只甲虫相聚时,它们各自爬过的螺旋形路线的距离,等于原正方形的边长,即10厘米。
例96、有若干长短、粗细相同的绳子,如果从一端点点火,每根绳子正好8分钟燃尽。
现在用这些绳子计量时间,比如:
在一根绳子的两端同时点火,绳子燃尽用4分钟;在一根绳子的一端点火,燃尽的同时点燃第二根绳子的一端,可计时16分钟。
根据下列规则可否分别计量6分钟、7分钟、9分钟、10分钟、11分钟、12分钟?
请在下列表中回答,可以计量的划“○”,不可以计量的划“×”。
6分钟
7分钟
9分钟
10分钟
11分钟
12分钟
规则:
计量一个时间,最多使用3条绳子。
只能在绳子的端部点火。
可同时在几个端部点火。
点的火中途不灭。
不许剪断绳子,或将绳子折起。
解:
先确定三个绳子,如下图:
(1)、6分钟的方法是:
在A、a、B处同时点火,第一根绳子燃尽用4分钟,燃尽的同时在b处点火,两个绳子都燃尽的时间就是6分钟。
(2)、7分钟的方法是:
在A、a、B、C处同时点火,第一根绳子燃尽用4分钟,燃尽的同时在b处点火,两个绳子燃尽用6分钟,燃尽的同时在C处点火,三根绳子燃尽的时间就是7分钟。
(3)、9分钟的方法是:
在A、a、B处同时点火,第一根绳子燃尽用4分钟,燃尽的同时在b、C处点火,到第二根绳子燃尽时间共用6分钟,燃尽的同时,在c处点火,三根绳子燃尽的时间就是9分钟。
(4)、10分钟的方法是:
在A、a、B处同时点火,第一根绳子燃尽用4分钟,燃尽的同时在C处点火,到第二根绳子燃尽时共用8分钟,燃尽同时,再在c处点火,三根绳子燃尽的时间就是10分钟。
(5)、在A、a处同时点火,第一根绳子燃尽用4分钟,燃尽的同时在B处点火,这两根绳子燃尽的时间就是12分钟。
这样的话,就可以分别计量出6分钟、7分钟、9分钟、10分钟、12分钟的时间,但是计量不出11分钟。
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