高中数学直线与圆精选题目附答案.docx
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高中数学直线与圆精选题目附答案
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
一、两直线的位置关系
1求直线斜率的基本方法
(1)定义法:
已知直线的倾斜角为a,且a工90°,贝U斜率k=tana.
y2—yi
⑵公式法:
已知直线过两点Pi(xi,yi),P2(X2,y2),且XiMX2,则斜率k=.
X2一Xi
2.判断两直线平行的方法
(1)若不重合的直线11与12的斜率都存在,且分别为ki,k2,贝Uki=k2?
11
//I2.
(2)若不重合的直线Ii与I2的斜率都不存在,其倾斜角都为90°,则Ii//l2.
3.判断两直线垂直的方法
(1)若直线Ii与丨2的斜率都存在,且分别为ki,k2,贝Uki•k2=—i?
Ii±12.
(2)已知直线Ii与12,若其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为
0,则Ii丄I2.
i.已知两条直线Ii:
ax—by+4=0和12:
(a—i)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)Ii丄12且Ii过点(—3,—i);
(2)Ii/I2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
[解]⑴•••Ii丄I2,
a(a—i)—b=0,①
又丨i过点(一3,—i),
—3a+b+4=0.②
a=2,
解①②组成的方程组得.c
b=2.
(2)I2的斜率存在,Ii/I2,
.直线Ii的斜率存在.
a
--ki=k2,即二=i—a.③
b
又•••坐标原点到这两条直线的距离相等,Ii//I2,
.11,12在y轴上的截距互为相反数,
由③④联立,解得:
=2,
b=—2
a=_
3,
b=2.
即b=—(一b).④
经检验此时的l1与丨2不重合,故所求值为
a=2,
b=—2
2
a=-
或3
b=2.
注:
已知两直线11:
AiX+By+C=0和12:
Ax+By+C2=0
(1)对于I1//I2的问题,先由AB—ABi=0解出其中的字母值,然后代回原方程检验这时的Il和I2是否重合,若重合,舍去.
⑵对于丨1丄12的问题,由AiA+0解出字母的值即可.
2.直线ax+2y—1=0与直线2x—3y—1=0垂直,则a的值为()
4
A•-3B.-3
C.2D.3
解析:
选D由2a—6=0得a=3.故选D.
3.已知直线x+2ay—1=0与直线(a—1)x+ay+1=0平行,则a的值为
()
或0
C.0D.—2
解析:
选A当a=0时,两直线的方程化为x=1和x=1,显然重合,不符
a1a3
合题意;当a^O时,^厂=,解得a=-.故选A.
12a2
、直线方程
1.直线方程的五种形式
名称
方程
常数的几何意义
适用条件
占
八、、
一般
y—y°=k(x—
(X。
,y°)是直线上的一个定点,
直线不垂直于x轴
斜式
情况
Xo)
k是斜率
斜截式
y=kx+b
k是斜率,b是直线在y轴上的
截距
直线不垂直于x轴
两
占八、、
式
一般
情况
y—y1x—X1y2-y1=X2—X1
(X1,y”,(X2,讨2是直线上的
两个定点
直线不垂直于x轴
和y轴
截距式
xy
-+-=1
ab
a,b分别是直线在x轴,y轴上的两个非零截距
直线不垂直于X轴和y轴,且不过原占
八、、
一般式
Ax+By+C=0
A,B不同时为0
A,B,C为系数
任何情况
2.常见的直线系方程
(1)经过两条直线I仁AiX+By+Ci=0,12:
Ax+By+G=0父点的直线系方程为Aix+Biy+Ci+入(A2X+By+Q)=0,其中入是待定系数.在这个方程中,无论入取什么实数,都不能得到Ax+By+C2=0,因此它不能表示直线丨2.
⑵平行直线系方程:
与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程是Ax+By+入=0(入工C).
(3)垂直直线系方程:
与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx—Ay+入=0.
4.过点A(3,-1)作直线I交x轴于点B,交直线I仁y二2x于点C,若|Bq二2|AB,求直线I的方程.
[解]当直线I的斜率不存在时,直线I:
x=3,
•••B(3,0),C(3,6).
此时|Bq=6,IAB=1,|Bq工2|AB,
•••直线I的斜率存在.
设直线I的方程为y+1=k(x-3),
显然kM0且k工2.
•••B3+10,
y=2x,
y+1=kx—3
得点C的横坐标Xc=
3k+1k—2.
k,
-|Bq=2|AB|,…|Xb—Xc|=2|Xa—Xb|,
3k+111
•-口—k—3=2k,
3k+1123k+112
■k^—k—3=k或T—2—k—3=—k,
31
解得k=—㊁或k=4.
•••所求直线I的方程为3x+2y—7=0或x—4y—7=0.
注:
求直线方程时,要根据给定条件,选择恰当的方程,常用以下两种方法求解:
(1)直接法:
直接选取适当的直线方程的形式,写出结果;⑵待定系数法:
先以
直线满足的某个条件为基础设出直线方程,再由直线满足的另一个条件求出待定
系数,从而求得方程.
5.已知直线I仁3x—2y—1=0和丨2:
3x—2y—13=0,直线I与I1,12的距离分别是d1,d2,若d1:
d2=2:
1,求直线I的方程.
解:
由直线丨1,I2的方程知I1//I2,又由题意知,直线I与丨1,丨2均平行(否则d1=0或d2=0,不符合题意).
设直线I:
3x—2y+m=0(mr^—1且m^—13),由两平行直线间的距离公式,
=—25或m=—9.
故所求直线I的方程为3x—2y—25=0或3x—2y—9=0.
6.已知直线I:
3x—y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于I的对称点;
⑵直线x—y—2=0关于直线I对称的直线方程.
解:
设P(x,y)关于直线I:
3x—y+3=0的对称点为P'(x',y').
y—y
•••kpp•ki二―1即x^—xx3二—1.①
又PP'的中点在直线3x—y+3=0上,
—4x+3y—9
—,
由①②得
=3x+4y+3
—4x+3y—93x+4y+3
—2=0,
化简得7x+y+22=0.
三、圆的方程
(1)圆的标准方程:
(x—a)2+(y—b)2=r2
(2)圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点,求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解:
1过两圆Ci:
x2+y2+Dx+Eiy+Fi=0,G:
x2+y2+D2x+&y+F?
=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Eiy+Fi+入(x2+y2+Dx+Ey+F2)=0(X为参数,入工—1),该方程不包括圆G;
2过圆C:
x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线I:
Ax+By+C=0交点的圆系方程
22
为x+y+Dx+Ey+F+X(Ax+By+C)=0(X为参数,X€R).
7.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A—3,0),
B(2,0),C(0,—4),经过这三个点的圆记为M
(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程;
⑵求圆M的方程.
[解]⑴法一:
由B(2,0),C(0,—4),知BC的中点D的坐标为(1,—2).
即中线AD所在直线的一般式方程为x+2y+3=0.
法二:
由题意,得|AB=|Aq=5,
则厶ABC是等腰三角形,
所以ADLBC
因为直线BC的斜率kBc=2,
1
所以直线AD的斜率kAD=—2,
1
由直线的点斜式方程,得y—0=—2(x+3),
所以直线AD的一般式方程为x+2y+3=0.
⑵设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
9—3D+F=0,
4+2D+F=0,
16—4E+F=0,
—1,
5
解得E=2,
F=—6.
将A—3,0),B(2,0),C(0,—4)三点的坐标分别代入方程,得
5
所以圆M的方程是x+y+x+qy—6=0.
注:
利用待定系数法求圆的方程
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,可选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,从而求出D,E,F的值.
8.以线段ABx+y—2=0(0 A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x—1)2+(y—1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 D.(x—1)2+(y—1)2=8 解析: 选B直径的两端点分别为(0,2),(2,0),二圆心为(1,1),半径为2故圆的方程为(x—1)2+(y—1)2=2. 9.已知圆C经过点A(2,—3),B(—2,—5),且圆心在直线I: x—2y—3=0上,求圆C的方程. 解: 设圆C的方程为(x—a)2+(y—b)2=r2. 2一a+—3一b=r,a=—1, 由题意,得一2—a2+—5—b2=r2,解得b=—2, a—2b—3=0,r2=10. 所以圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 10.求以圆C: x2+y2—12x—2y—13=0和圆Q: x2+y2+12x+16y—25=0的公共弦为直径的圆C的方程. 解: 联立两圆的方程得方程组 22 x+y—12x—2y—13=0, 22 x+y+12x+16y—25=0, 相减得公共弦所在直线的方程为4x+3y—2=0. 解得两圆交点坐标为(一1,2),(5,—6). 4x+3y—2=0,再由22 x+y—12x—2y—13=0 1 •••所求圆以公共弦为直径,•••圆心C是公共弦的中点(2,—2),半径长为2 厂5+厂2+一-6—2一2=5. 22 •••圆C的方程为(x—2)+(y+2)=25. 四、直线与圆的位置关系 1.直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法: 设圆心到直线的距离为d,圆的半径长为r.若dvr,则直线和圆相交;若d=r,则直线和圆相切;若d>r,则直线和圆相离. (2)代数法: 联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二 次方程,其判别式为△.△=0? 直线与圆相切;△>0? 直线与圆相交;△<0? 直线与圆相离. 2.过圆外一点(Xo,yo)与圆相切的切线方程的求法 1当切线斜率存在时,设切线方程为y—yo=k(x—X。 ),化成一般式kx—y+ y°—kx°=0,利用圆心到直线的距离等于半径长,解出k; 2当切线斜率存在时,设切线方程为y—yo=k(x—Xo),与圆的方程(x—a)2 +(y—b)2=r2联立,化为关于x的一元二次方程,利用判别式为0,求出k. 当切线斜率不存在时,可通过数形结合思想,在平面直角坐标系中作出其图象,求出切线的方程. 3•圆中弦长的求法 (1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标,再利用两点间的距离公式求解. (2)利用圆的弦长公式I=: 1+k2|Xi—X2I=: 1+k2•;'X1+X22—4xg(其中Xi,X2为两交点的横坐标)• (3)利用垂径定理: 分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半j为 线段长的三条线段构成直角三角形,故有I=2/r2—d2. 4•圆与圆的位置关系: (1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系. (2)若圆Ci: x+y+D1X+Ey+F1=0与圆C2: x+y+Dx+Ey+F2=0相父. 则两圆方程相减后得到的新方程: (D—D)x+(E1—E2)y+(F1—F2)=0表示的是两圆公共弦所在直线的方程. 11. (1)直线x+y—2=0与圆(x—1)2+(y—2)2=1相交于A,B两点,则|AB=() (2)若直线x—m什1=0与圆x2+y2—2x=0相切,贝Um的值为() A.1B.±1 C.±■.3 (3)已知圆C: (x—3)2+(y—4)2=4,直线I过定点A(1,0). 1若I与圆C相切,求I的方程; 2若I与圆C相交于P,Q两点,且|PQ=2.2,求此时直线I的方程. [解析] (1): 圆心(1,2)到直线x+y—2=0的距离d=今,二|AB= =V2故选d. ⑵由x2+y2-2x=0,得圆心坐标为(1,0),半径为1,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即11-0+J二1,解得m^±{3. yl+m答案: (1)D (2)C (3)解: ①若直线I的斜率不存在,则直线I: x=1,符合题意.若直线I的斜率存在,设直线I的方程为y=k(x—1),即kx—y—k=0. 由题意知,圆心(3,4)至U直线I的距离等于2,即|3k―4—k|=2,解得k=3,寸k+14 此时直线I的方程为3x—4y—3=0. 综上可得,所求直线I的方程是x=1或3x—4y—3=0. ②由直线I与圆C相交可知,直线I的斜率必定存在,且不为0,设直线I的方程为kox—y—ko=0,圆心(3,4)到直线I的距离为d, 因为|PQ=24—d2=2.2,所以d=2, 即|3k0—24-k°|=2,解得k0=1或k0=7, 寸k0+1v 所以所求直线I的方程为x—y—1=0或7x—y—7=0. 注: 研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形,要注意作 出图形进行判断• 12.由直线y=x+1上的一点向圆x2—6x+y2+8=0引切线,则切线长的最 小值为() A.1B.22 D.3 解析: 选C切线长的最小值在直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为d=|3需11=2亚圆的半径为1,故切线长的最小值为,d2—r2=8—1=7. 13.P是直线I: 3x—4y+11=0上的动点,PAPB是圆x2+y2—2x—2y+1 =0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是() B.22 D.23 解析: 选C圆的标准方程为(x-1)+(y—1)2=1,圆心qi,1),半径r= 1 为圆心C到直线I: 3x—4y+11=0的距离d= 1.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2Saapc=2X2X|PAXr=|PA|= 解得n=1或m=—4. 所以存在直线l,其方程为x—y+1=0和x—y—4=0,并可以检验,这时l 所以9—2X m-12 |0N= 3+m2 m+12 解方程组 y=x+m y+2=—x+1 与圆是相交于两点的.
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