北京市大兴区学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案.docx
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北京市大兴区学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
北京市大兴区2018-2019学年上学期期中考试
高二数学试题
一、选择题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,把答案填在答题纸上的表格内.
1.下列说法正确的是()
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
2.已知命题p:
“∀a>0,有ea≥1成立”,则¬p为()
A.∃a≤0,有ea≤1成立B.∃a≤0,有ea≥1成立
C.∃a>0,有ea<1成立D.∃a>0,有ea≤1成立
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在的直线中,与直线AB垂直的异面直线共有()
A.1条B.2条C.4条D.8条
4.命题p:
∀x∈R,x2+ax+a2≥0;命题q:
若一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行,则下列命题中为真命题的是()
A.p∨qB.p∧qC.(¬p)∨qD.(¬p)∧(¬q)
5.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
6.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是()
A.若AC与BD共面,则AD与BC共面
B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
8.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,E、F分别是BC1、BD的中点,则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为()
A.3个B.4个C.5个D.6个
二、填空题:
本大题共6小题,每小题4分,共24分
9.高为2的圆柱侧面积为4π,此圆柱的体积为__________.
10.已知直线b∥平面α,平面α∥平面β,则直线b与β的位置关系为
__________.
11.命题“如果直线l垂直于平面α内的两条相交直线,则直线l垂直于平面α”的否命题是
__________;该否命题是__________命题.(填“真”或“假”)
12.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是__________.
13.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥四个面的面积中最大值是__________.
14.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SB⊥底面ABCD.底面ABCD为梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=1,AD=3,CD=2.若点E是线段AD上的动点,则满足∠SEC=90°的点E的个数是__________.
三、解答题:
本大题共4小题,共44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知命题p:
m2+2m﹣3≤0成立.命题q:
方程x2﹣2mx+1=0有实数根.若¬p为假命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
16.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P、Q分别是棱DD1、CC1的中点.
(1)画出面D1BQ与面ABCD的交线,简述画法及确定交线的依据.
(2)求证:
平面D1BQ∥平面PAO.
17.如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C是菱形,平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(Ⅰ)求证:
BC∥平面AB1C1;
(Ⅱ)求证:
B1C⊥AC1.
18.(14分)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,又AD∥BC,AD⊥DC,且PD=BC=3AD=3.
(Ⅰ)画出四棱准P﹣ABCD的正视图;
(Ⅱ)求证:
平面PAD⊥平面PCD;
(Ⅲ)求证:
棱PB上存在一点E,使得AE∥平面PCD,并求
的值.
北京市大兴区2018-2019学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案
一、选择题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,把答案填在答题纸上的表格内.
1.下列说法正确的是()
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
【考点】平面的基本性质及推论.
【专题】常规题型.
【分析】不共线的三点确定一个平面,两条平行线确定一个平面,得到A,B,C三个选项的正误,根据两个平面如果相交一定有一条交线,确定D选项是错误的,得到结果.
【解答】解:
A.不共线的三点确定一个平面,故A不正确,
B.四边形有时是指空间四边形,故B不正确,
C.梯形的上底和下底平行,可以确定一个平面,故C正确,
D.两个平面如果相交一定有一条交线,所有的两个平面的公共点都在这条交线上,故D不正确.
故选C.
【点评】本题考查平面的基本性质即推论,考查确定平面的条件,考查两个平面相交的性质,是一个基础题,越是简单的题目,越是不容易说明白,同学们要注意这个题目.
2.已知命题p:
“∀a>0,有ea≥1成立”,则¬p为()
A.∃a≤0,有ea≤1成立B.∃a≤0,有ea≥1成立
C.∃a>0,有ea<1成立D.∃a>0,有ea≤1成立
【考点】命题的否定.
【专题】简易逻辑.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
【解答】解:
全称命题的否定是特称命题,则¬p:
∃a>0,有ea<1成立,
故选:
C.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在的直线中,与直线AB垂直的异面直线共有()
A.1条B.2条C.4条D.8条
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】由已知条件利用垂直和异面直线的概念,结合正方体的结构特征直接求解.
【解答】解:
如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在的直线中,
与直线AB垂直的异面直线有:
DD1、CC1、A1D1,B1C1,共四条,
故选:
C.
【点评】本题考查异面直线的条数的求法,是基础题,解题时要注意列举法的合理运用.
4.命题p:
∀x∈R,x2+ax+a2≥0;命题q:
若一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行,则下列命题中为真命题的是()
A.p∨qB.p∧qC.(¬p)∨qD.(¬p)∧(¬q)
【考点】复合命题的真假.
【专题】简易逻辑.
【分析】对于命题p:
由△≤0,即可判断出p的真假;对于命题q:
若一条直线不在平面内,则这条直线与这个平面平行或相交,即可判断出q的真假.再利用复合命题真假的判定方法即可得出.
【解答】解:
对于命题p:
∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0,∴∀x∈R,x2+ax+a2≥0,因此p是真命题;
对于命题q:
若一条直线不在平面内,则这条直线与这个平面平行或相交,因此q是假命题.
则下列命题中为真命题的是p∨q,而p∧q,(¬p)∨q,(¬p)∨(¬q)都是假命题.
故选:
A.
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、空间线面位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
5.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;
B.运用线面垂直的性质,即可判断;
C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;
D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断.
【解答】解:
A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;
D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.
故选B.
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型.
6.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与平面垂直的性质.
【专题】阅读型.
【分析】由题意可知:
l⊥α时,由线面垂直性质定理知,l⊥m且l⊥n.但反之不能成立,由充分必要条件概念可获解.
【解答】解:
l,m,n均为直线,m,n在平面α内,l⊥α⇒l⊥m且l⊥n(由线面垂直性质定理).
反之,如果l⊥m且l⊥n推不出l⊥α,也即m∥n时,l也可能平行于α.
由充分必要条件概念可知,命题中前者是后者成立的充分非必要条件.
故选:
A.
【点评】本题主要考查线面垂直和充分必要条件的有关知识.主要注意两点:
(1)线面垂直判定及性质定理.
(2)充分必要条件的判定,要注意方向性,即谁是谁的.
7.设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是()
A.若AC与BD共面,则AD与BC共面
B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
【考点】空间点、线、面的位置.
【专题】压轴题;阅读型.
【分析】逐一检验答案,A、B的正确性一致,C、D结合图形进行判断.
【解答】解:
A显然正确;B也正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面与条件矛盾
C不正确,如图所示:
D正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明.
故选C.
【点评】结合图形,通过仔细分析及举出反例,判断各答案是否正确
8.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,E、F分别是BC1、BD的中点,则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为()
A.3个B.4个C.5个D.6个
【考点】平面与平面之间的位置关系.
【专题】阅读型.
【分析】由已知条件中E、F分别是BC1、BD的中点,则我们易得EF∥C1D,则经过直线C1D不经过直线EF的平面均与EF平行,逐一分析其它各个顶点,即可得到答案.
【解答】解:
由已知中,E、F分别是BC1、BD的中点
∴EF∥C1D
则过正方体3个顶点的截面中
平面ABB1A1,平面CC1D1D,平面AC1D,平面A1C1D与EF平行
故选B.
【点评】本题考查的知识眯是空间直线与平面之间的位置关系,根据线面平行的判定定理分析出经过直线C1D不经过直线EF的平面均与EF平行,是解答本题的关键.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题4分,共24分
9.高为2的圆柱侧面积为4π,此圆柱的体积为2π.
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】根据已知求出圆锥的底面半径,代入圆柱体积公式,可得答案.
【解答】解:
设圆柱的底面半径为r,
∵圆柱侧面积为4π=2πr×2,
∴r=1,
故圆柱的体积V=π•12•2=2π,
故答案为:
2π.
【点评】本题考查的知识点是圆柱的表面积和体积,其中根据已知条件,求出圆柱的底面半径,是解答本题的关键.
10.已知直线b∥平面α,平面α∥平面β,则直线b与β的位置关系为
平行或在平面内.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】阅读型.
【分析】根据平面与平面平行的性质进行判定,以及直线与平面位置关系的定义进行判定即可.
【解答】解:
因为平面α∥平面β,而直线b∥平面α
则当b在平面β内,原命题成立,
若b不在平面β内,则b一定与平面β平行;
故答案为:
平行或在平面内
【点评】本题主要考查了面面平行的性质,以及空间中直线与平面之间的位置关系,同时考查了空间想象能力,属于基础题.
11.命题“如果直线l垂直于平面α内的两条相交直线,则直线l垂直于平面α”的否命题是
否命题:
如果直线l不垂直于平面α内的两条相交直线,则直线l不垂直于平面α;;该否命题是真命题.(填“真”或“假”)
【考点】四种命题.
【专题】简易逻辑.
【分析】利用否命题的定义写出结果,然后判断命题的真假.
【解答】解:
命题“如果直线l垂直于平面α内的两条相交直线,则直线l垂直于平面α”的否命题是:
如果直线l不垂直于平面α内的两条相交直线,则直线l不垂直于平面α;
直线与平面垂直的充要条件是直线与平面内的所有直线都垂直,所以命题的否命题是真命题.
故答案为:
否命题:
如果直线l不垂直于平面α内的两条相交直线,则直线l不垂直于平面α;真.
【点评】本题考查四种命题的关系,否命题的真假的判断..
12.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是②④.
【考点】平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】证明题.
【分析】用空间中线与线、面与面、线与面的相关定义与定理进行判断,相关定理与定义较多,要根据每一个命题进行合理选择.①用面面平行的判定定理进行验证,②用面面垂直的判定定理进行验证;③用空间两条直线的位置关系验证;④用面面垂直的性质定理验证.
【解答】解:
当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;
由平面与平面垂直的判定定理可知②正确;
空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,相交也可以异面,故③不对;
若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.
故应填②④
【点评】考查空间中面面的位置关系的判定,属于检查基础知识是否掌握熟练的题型.
13.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥四个面的面积中最大值是2
.
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】由题意和三视图知,需要从对应的长方体中确定三棱锥,根据三视图的数据和几何体的垂直关系,求出四面体四个面的面积,再确定出它们的最大值.
【解答】解:
将该几何体放入在长方体中,且长、宽、高为4、3、4,
由三视图可知该三棱锥为B﹣A1D1C1,
由三视图可得,A1D1=CC1=4、D1C1=3,
所以BA1=A1C1=5,BC1=
=4
,
则三角形BA1C1的面积S=
×BC1×h=
×4
×
=2
,
因为A1D1⊥平面ABA1B1,所以A1D1⊥A1B,
则三角形BA1D1的面积S=
×BA1×A1D1=
×4×5=10,
同理可得,三角形BD1C1的面积S=
×BC1×D1C1=
×3×4
=6
,
又三角形A1D1C1的面积S=
×D1C1×A1D1=
×4×3=6,
所以最大的面为A1BC1,且面积为2
,
故答案为:
2
.
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系,几何体的表面积以及体积的求法,考查计算能力
14.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SB⊥底面ABCD.底面ABCD为梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=1,AD=3,CD=2.若点E是线段AD上的动点,则满足∠SEC=90°的点E的个数是2.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的性质.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】连接BE,则问题转化为在梯形ABCD中,点E是线段AD上的动点,求满足BE⊥CE的点E的个数.
【解答】解:
连接BE,则
∵SB⊥底面ABCD,∠SEC=90°,
∴BE⊥CE.
故问题转化为在梯形ABCD中,点E是线段AD上的动点,求满足BE⊥CE的点E的个数.
设AE=x,则DE=3﹣x,
∵AB⊥AD,AB∥CD,AB=1,AD=3,CD=2,
∴10=1+x2+4+(3﹣x)2,
∴x2﹣3x+2=0,
∴x=1或2,
∴满足BE⊥CE的点E的个数为2,
∴满足∠SEC=90°的点E的个数是2.
故答案为:
2.
【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,考查学生的计算能力,问题转化为在梯形ABCD中,点E是线段AD上的动点,求满足BE⊥CE的点E的个数是关键.
三、解答题:
本大题共4小题,共44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知命题p:
m2+2m﹣3≤0成立.命题q:
方程x2﹣2mx+1=0有实数根.若¬p为假命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【专题】简易逻辑.
【分析】由于¬p为假命题,p∧q为假命题,可得:
命题p为真命题,命题q为假命题.对于命题p:
m2+2m﹣3≤0成立,利用一元二次不等式的解法可得m范围.对于命题q:
方程x2﹣2mx+1=0有实数根,可得△≥0,解得m范围,即可得出.
【解答】解:
∵¬p为假命题,p∧q为假命题,
∴命题p为真命题,命题q为假命题.
对于命题p:
m2+2m﹣3≤0成立,可得m∈[﹣3,1],
对于命题q:
方程x2﹣2mx+1=0有实数根,可得△=4m2﹣4≥0,解得m≥1或m≤﹣1.
由于q为假,则m∈(﹣1,1).
综上可得:
,解得﹣1<m<1.
∴实数m的取值范围是﹣1<m<1.
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、一元二次方程由实数根与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P、Q分别是棱DD1、CC1的中点.
(1)画出面D1BQ与面ABCD的交线,简述画法及确定交线的依据.
(2)求证:
平面D1BQ∥平面PAO.
【考点】平面的基本性质及推论;平面与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】
(1)延长D1Q与DC,交于点M,连接BM.得BM即为面D1BQ与面ABCD的交线.由已知能推导出M在面D1BQ与面ABCD的交线上,B也在面D1BQ与面ABCD的交线上,从而得到BM即为面D1BQ与面ABCD的交线.
(2)连接PQ、BD,四边形PABQ为平行四边形,从而AP∥BQ,进而BQ∥面AOP,同理可证D1B∥面AOP,由此能证明面BQD1∥面AOP.
【解答】
(1)解:
作法:
延长D1Q与DC,交于点M,连接BM.得BM即为面D1BQ与面ABCD的交线…
理由如下:
由作法可知,M∈直线D1Q,
又∵直线D1Q⊂面D1BQ,∴M∈面D1BQ,
同理可证M∈面ABCD,
则M在面D1BQ与面ABCD的交线上,
又∵B∈面D1BQ,且B∈面ABCD,
则B也在面D1BQ与面ABCD的交线上,…
且面D1BQ与面ABCD有且只有一条交线,
则BM即为面D1BQ与面ABCD的交线.…
(2)证明:
连接PQ、BD,由已知得四边形PABQ为平行四边形
∴AP∥BQ,∵AP⊂面AOP,BQ⊄面AOP,
∴BQ∥面AOP,…
同理可证D1B∥面AOP,
又∵BQ∩D1B=B,BQ⊂面BQD1,BD1⊂面BQD1,
∴面BQD1∥面AOP.…
【点评】本题考查两平面交线的作法及证明,考查两平面平行的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
17.如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C是菱形,平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(Ⅰ)求证:
BC∥平面AB1C1;
(Ⅱ)求证:
B1C⊥AC1.
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理即可证明BC∥平面AB1C1;
(Ⅱ)先证明AB⊥平面BB1C1C,得AB⊥B1C,再证明B1C⊥平面ABC1,得出B1C⊥AC1;
【解答】证明:
(Ⅰ)因为ABC﹣A1B1C1是三棱柱,
所以BC∥B1C1,
因为BC⊄∥平面AB1C1,
B1C1⊂平面AB1C1,
所以BC∥平面AB1C1;
(Ⅱ)连接BC1,在正方形ABB1A1中,AB⊥BB1,
因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C,
平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,
AB⊂平面ABB1A1,
所以AB⊥平面BB1C1C;
又因为B1C⊂平面BB1C1C,
所以AB⊥B1C;
在菱形BB1C1C中,BC1⊥B1C;
因为BC1⊂平面ABC1,AB⊂平面ABC1,且BC1∩AB=B,
所以B1C⊥平面ABC1;
因为AC1⊂平面ABC1,
所以B1C⊥AC1.
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题,也考查了判断空间中的四点是否共面问题,是综合性题目.
18.(14分)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,又AD∥BC,AD⊥DC,且PD=BC=3AD=3.
(Ⅰ)画出四棱准P﹣ABCD的正视图;
(Ⅱ)求证:
平面PAD⊥平面PCD;
(Ⅲ)求证:
棱PB上存在一点E,使得AE∥平面PCD,并求
的值.
【考点】平面与平面垂直的判定;简单空间图形的三视图;直线与平面平行的性质.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)画出正视图即可;(Ⅱ)根据面面垂直的判定定理证明即可;(Ⅲ)根据线面垂直的判定定理进行证明即可.
【解答】(Ⅰ)解:
四棱准P﹣ABCD的正视图如图所示.
;
(Ⅱ)证明:
因为PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
所以PD⊥AD.
因为AD⊥DC,PD∩CD=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,
所以AD⊥平面PCD,
因为AD⊂平面PAD,
所以平面PAD⊥平面PCD.
(Ⅲ)分别延长CD,BA交于点O,连接PO,在棱PB上取一点E,使得
,
下证AE∥平面PCD,
因为AD∥BC,BC=3AD,
所以
,即
,
所以
.
所以AE∥OP,
因为OP⊂平面PCD,AE⊄平面PCD,
所以AE∥平面PCD.
【点评】本题考查了三视图问题,考查面面垂直、线面垂直的判断定理,是一道中档题.
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