届人教A版 平行关系 精品演练.docx
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届人教A版平行关系精品演练
[A组·基础达标练]
1.[2016·昆明模拟]若α,β是两个不同的平面,下列四个条件:
①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.那么可以是α∥β的充分条件有( )
A.4个B.3个
C.2个D.1个
答案 C
解析 ①可以;②α,β也有可能相交,所以不正确;③α,β也有可能相交,所以不正确;根据异面直线的性质可知④可以,所以α∥β的充分条件有2个,选C.
2.若平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥BD的充要条件是( )
A.AB∥CDB.AD∥CB
C.AB与CD相交D.A,B,C,D共面
答案 D
解析 当AC∥BD时,A1B1C1D1一定共面,当A,B,C,D共面时,平面ABCD∩α=AC,平面ABCD∩β=BD.由α∥β得,AC∥BD.故选D.
3.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在α、β内移动时,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论A、B如何移动都共面
答案 D
解析 作平面γ∥α,γ∥β,且平面γ到平面α的距离等于平面γ到平面β的距离,则不论A、B分别在平面α、β内如何移动,所有的动点C都在平面γ内,故选D.
4.设α,β是两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,命题p:
若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;命题q:
若l∥α,m⊥l,m⊂β,则α⊥β.下列命题为真命题的是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(綈p)∨qD.p∧(綈q)
答案 C
解析 分别在两个平行平面内的两条直线未必平行,故命题p是假命题;当m⊥l,l∥α时,m不一定与α垂直,α⊥β不一定成立,命题q也是假命题.(綈p)∨q为真命题,故选C.
5.[2015·北京西城模拟]下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.②③
C.①④D.②④
答案 C
解析 对于图形①,平面MNP∥平面ABC,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行,故选C.
6.下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
答案 C
解析 一个圆锥的两条母线与底面所成的角都相等,但它们不平行,A错;若l∥α,则l上任意点到平面α的距离相等,但过l的平面不一定与平面α平行,B错;观察正方体中共顶点的三个面可知垂直于同一平面的两平面也可能垂直,D错.
7.[2016·惠州调研]已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的有________.
①若m∥α,n∥α,则m∥n;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若m∥α,m∥β,则α∥β;
④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.
答案 ④
解析 若m∥α,n∥α,m,n可以平行,可以相交,也可以异面,故①不正确;若α⊥γ,β⊥γ,α,β可以相交,故②不正确;若m∥α,m∥β,α,β可以相交,故③不正确;若m⊥α,n⊥α,则m∥n,④正确.
8.[2015·南开模拟]如图所示,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
答案 平面ABC、平面ABD
解析
连接AM并延长交CD于E,连接BN,并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由
=
=
,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
9.[2015·济南模拟]在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件________时,有平面D1BQ∥平面PAO.
答案 Q为CC1的中点
解析
假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.
连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,
所以D1B∥PO,又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,
所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,
又D1B∩QB=B,
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q满足条件Q为CC1的中点时,
有平面D1BQ∥平面PAO.
10.已知平面α∥平面β,P是α、β外一点,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为______.
答案
或24
解析 分点P在一个平面的一侧或在两个平面之间两种情况,由两平面平行性质定理得AB∥CD,截面图如图所示,由相似比得BD=
或BD=24.
[B组·能力提升练]
1.若α、β是两个相交平面,点A不在α内,也不在β内,则过点A且与α、β都平行的直线( )
A.只有1条B.只有2条
C.只有4条D.有无数条
答案 A
解析
如图所示,要使过点A的直线m与平面α平行,则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行,同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行,则推出n∥k,由线面平行可进一步推出直线n和直线k与两平面α与β的交线平行,即满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可,显然这样的直线有且只有一条.故选A.
2.[2016·滨海模拟]
如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,且PQ∥AC,则下列命题中,错误的是( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
答案 C
解析 由题意可知QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确;由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确;由PN∥BD可知,异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,又四边形PQMN为正方形,所以∠MPN=45°,故D正确.故选C.
3.[2015·北京东城模拟]
如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论中不正确的是________.
①MC⊥AN
②GB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
答案 ③
解析
显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),作AN的中点H,连接HB,MH,GB,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以①正确;由题意易得GB∥MH,又GB⊄平面AMN,MH⊂平面AMN,所以GB∥平面AMN,所以②正确;因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,所以平面DCM∥平面ABN,所以④正确.
4.[2015·江苏高考]
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
证明
(1)由题意知,E为B1C的中点,
又D为AB1的中点,因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.
因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,
因此BC1⊥B1C.
因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.
5.
如图所示,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)证明:
BD⊥AA1;
(2)证明:
平面AB1C∥平面DA1C1;
(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?
解
(1)证明:
因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,
平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,
所以BD⊥平面AA1C1C,故BD⊥AA1.
(2)证明:
连接B1C,AB1,由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知AB1∥DC1,A1D∥B1C,又AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D.故平面AB1C∥平面DA1C1.
(3)存在这样的点P.因为A1B1綊AB綊DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1D∥B1C.
在C1C的延长线上取点P,
使C1C=CP,连接BP.
因为B1B綊CC1,
所以BB1綊CP,
所以四边形BB1CP为平行四边形,
则BP∥B1C,
所以BP∥A1D,
而BP⊄平面DA1C1,A1D⊂平面DA1C1,
所以BP∥平面DA1C1.
故在C1C的延长线上存在C1C=CP的点P符合题意.
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