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趣味数学解答
趣味数学答案
1.三子棋
(一)
对原题图1~图3中的每一种情况,解答都相同,见左下图.
在原题图4和图5中都无法再加棋子,在图6中则可以再加3个棋子,如右下图所示.
对4×4的方格来说,“最佳”的摆法通常都呈对称的形式.值得注意的是,对称的现象也发生在图4和图5中,不过这是“最糟”的形式.许多数学问题都有类似的现象.
2.单人三子棋
如图的答案再次表现出对称的形式.
本题与第1题的“三子棋”都是根据n×n的方格内,可以摆放2n个棋子,使得没有3个棋子成一直线而设计的游戏.
3.三子棋
(二)
这个游戏与上面两题关系密切,可作为两者的补充.玩这个游戏的策略是要找出能迫使对手无路可走的下法.
4~6.追逐曲线等
用许多小折线来逼近曲线,是数学中非常重要的基本观念,也是微积分与数值方法的重要基础.用这种方法可以创作出有趣的图形,你也可以用彩色的线在纸板或是钉有小钉子的木板上,编织出美丽的图案.在这种活动中,除非完成前一条直线,否则新的直线无法绘出.须注意的是,请勿把这种方法与以下两个图所示的,也就是标示出相同数目的点并连线的方法混淆.
7.合二为一
这是同类问题中比较简单的一个.可以把A分成两部分,每一部分由一个正方形与一个三角形组成,如图所示.用这两部分可组合出许多不同的形状.要拼出所有的形状,其中的一部分需要翻转.拼哪一种形状时不需要翻转?
8.骰子填数
如果你能不用模型就找出正确答案,就表明你的空间感不错.
9.火柴棒三角形
秘诀是搭出三维的四面体.
10.牧羊人的栅栏
虽然使用三角形的栅栏有些异乎寻常,但这是解决问题的方法.
11.折叠地图
在纸的两面都加上编号,然后如下图所示折叠.
12.渡河问题
卖艺人先带羊过河,再带狼过河,并把羊带回来,然后带包心菜过河,最后再回来接羊.
13~17.圆形的伸展等
这5题都讨论了作出椭圆的方法.第13题是要说明椭圆事实上是圆沿一个方向伸展的结果.第14题说明当从另一个角度观察圆时,看到的就是椭圆.其实我们很少“看到”正圆,可是我们会在看到椭圆时,自然而然就认识到那应该是个圆形的物体.第15题用折叠纸片的方法作出椭圆.第15与16题都是先定出两个焦点,再自动地画出椭圆.第17题举例说明椭圆可以是许多物体移动的轨迹.画椭圆还有许多其他有趣的作图方法,有兴趣的读者可以参考有关工程制图的书籍.在历史上,开普勒(JohannesKepler,1571~1630)在观测天体运行时发现,所有的行星都在以太阳为焦点的椭圆轨道上运转.今天大家都知道人造卫星是“绕着”地球运转的,不过可能有许多人并不知道它们运行的轨道是椭圆轨道,地球位于焦点的位置.
在第13题中,如果椭圆的长轴为a,短轴为b,则其面积为πab.因此,如果椭圆的a=2b,则其面积为2πb2,恰为半径为b的圆面积的两倍.同理,如果圆在一个方向伸展至原来的3倍,则椭圆面积就会是该圆面积的3倍.
椭圆的周长并不容易求出,也没有简单的精确公式.如果椭圆不是过于细长,则π(a+b)可合理地逼近其周长.比较好的近似公式是印度数学家拉曼努江(SrinivasaRamanujan)在1914年提出的,即:
18.网络的形成
这个游戏一定会在有限次的连接之后结束,因为可以认为一开始有9个“接头”(3个结点,每个结点都可接3条弧线),每一次连接要用掉2个接头,新增的结点则只能带来1个可用的接头,因此一次连接的结果,是使接头的总数减1,所以最多只能连接8次.如果某个接头与其他网络隔离,连接的次数会更少.这些网络也可以应用在不同的场合,例如三价的原子互相结合形成复杂的分子,情形就与这种网络连接的方式类似.
19.立方体块
A与D相同.
20.火柴棒正方形
21.方形、十字与圆形
22.火车司机的困扰
这个问题与第33题相当类似.关键是把C转至主线上,如图所示.
23.聪明的牛奶商
先把3升的瓶子装满,然后把瓶子中的牛奶倒入5升的瓶子;再把3升的瓶子装满,然后把瓶中的牛奶倒入5升的瓶子,直到装满为止.这时留在3升的瓶子内的牛奶正好是1升.用这种量出1升牛奶的方法,理论上可以量出任何升数为整数的牛奶.不过,显然这并不是最有效率的方法.5升与3升可以直接量出,其他如6=3+3,8=5+3,所以要量出6升与8升很容易.但要如何量出7升与4升呢?
24.士兵的遭遇
这题与第12题与第35题类似,这种问题早在本世纪初期就相当流行了.这个问题的关键是独木舟能载两个小孩,但只需要一个小孩就能划独木舟过河.一个小孩先划独木舟至左岸,然后一个士兵带着枪与装备划到右岸.
第二个小孩再把船划到左岸,把第一个小孩接回到右岸.重复此程序,直到每一位士兵都过河为止.
25.等宽曲线
石块向前移动2m.
虽然有许多形状都可作为滚轮的横切面,但只有圆形可作为轮子——除非你想有段颠簸的旅程!
要作最平滑的移动,轮轴必须位于轮子的中心.当然,也只有圆形的轮子,车轴至轮缘的距离都相等.
26.莫比乌斯带
过去没有接触过莫比乌斯带的人,对于这个活动的结果通常会感到非常惊讶.运用系统化的方法,可以找到纸带扭转次数与从中间剪开后的结果之间的关系.
这个活动非常好玩,但除了好玩之外,它同样具有值得探讨的意义.
27.内还是外
A与B在内部,C在外部.
每跨越围墙一次,不是由内至外,就是由外至内.
任何绕着环建成的圆形监狱,或是如同赤道一样的监狱,无内外之分.
28.滚箱子
只要包装箱是绕边缘旋转,所有路径都是呈圆弧形.
29.轮子往何处去
把A、B、C、D与轮子滚动瞬间的轴连线(图中的虚线),则,A、B、C、D的运动方向就是与所连直线垂直的箭头方向.
图1中的轮子绕中心O旋转.
图2中的轮子绕C点旋转,C点是与地面接触的点.
图3中的轮子绕与铁轨接触的点旋转.
在每一种情况中,A都是由左向右移动,但B与D的移动方向变化就相当大.由图3还可以看出火车往前走得愈快,C点向后移动的速度也会愈快.
30.齿轮系统
(1)逆时针方向,4圈.
(2)顺时针方向,1圈.
(3)逆时针方向,1圈.
(4)顺时针方向,1/2圈.
规则1:
轮轴的数目为偶数时,通常最后一个轮轴与第一个轮轴的旋转方向相反.
规则2:
在一个轮轴上如果只有一个齿轮,如图中
(1)、
(2)、(3)、(4)的情形,B的旋转圈数只与A和B的齿数有关:
在图中(5)、(6)、(7)的情形中,需要把齿轮系统分解成数个部分,则上述规则方能适用.
(5)A每转1圈,第二个轮轴要转3圈.第二个轮轴每转1圈,B要转4圈.所以A转1圈,会使B转12圈(3×4).由于轮轴数为奇数,B的旋转方向与A相同.
(6)A每转1圈,第二个轮轴要转1/3圈.第二个轮轴转1圈,会使第三个轮轴转2/3圈.第三个轮轴转1圈,会使B转1/2圈.所以只要A每转1圈,会使B转1/3×2/3×1/2=1/9圈.由于轮轴数为偶数,B的旋转方向与A相反.
(7)A转1圈,第二个轮轴要转3圈.第二个轮轴转1圈,B要转1.5圈.所以A转一圈,会使B转4.5圈(3×1.5).由于轮轴数为奇数,所以B的旋转方向与A相同.
下图是将60齿、36齿、12齿及24齿的齿轮设计成的齿轮系统.
有时可利用齿轮系统增加旋转速度,如手动的钻子或打蛋器;有时也可用来减速,如时钟、食物搅拌器或唱盘等等.
要改变输出轮轴的运动方向,可以在齿轮系统中再加一个只有单一齿轮的轮轴.这个多加的齿轮的齿数,并不会改变齿轮系统整体的转速大小.
32.马的舞蹈
至少需要移动16次.最好是想象4个马作集体移动,它们由角落移向中间的方格,再从中间移向角落,就像在绕着中央的方格作旋转.这个谜题历史悠久,在欧洲有文字记载的历史可追溯至1512年.
33.铁道支线
类似的谜题在本世纪初就相当风行.就像其他的类似谜题一样,这个问题初看并不困难,但实际去做又会觉得很棘手.可以用彩色的积木代表车厢与火车头以帮助思考.
34.彩色方块
把每一个边长1cm的立方体中相连且有一共同顶点的3个面涂上红色,其他3个相对的面涂上蓝色,这样,这8个立方体就能组合出边长2cm的红色立方体,也能组合成边长2cm的蓝色立方体.
组合边长3cm的立方体要困难得多,最好是能用实物帮助思考.27个边长1cm的立方体具有27×6个正方形的面,3个边长3cm的立方体有3×6个面,每个面由9个正方形组成.所以只要正确地着色,就能作出相应的正方形.
在一个边长3cm的红色立方体中,有4种不同形式的小立方体.
对蓝色及红色的立方体而言,情形也是一样,因此着色的方法如下:
6个立方体R2B2Y2
3个立方体R3B2Y1
3个立方体R3B1Y2
3个立方体R2B3Y1
3个立方体R1B3Y2
3个立方体R2B1Y3
3个立方体R1B2Y3
1个立方体R3B3B3Y3Y3R3(各一个)
R表示红色,B表示蓝色,Y表示黄色,数字则代表着该颜色的面的数目,而且颜色相同的2个或3个面均互相邻接.
使用符号描述不同的立方体是非常有用的方法.数学家通常也是使用字母与符号描述所面临的问题,而不是用长篇大论的文字叙述.
35.善妒的丈夫
和上一题一样,用一些符号来描述问题,对解题会很有帮助.现在用Aa,Bb,Cc表示3对夫妻,大写字母代表丈夫,小写字母代表妻子.
在3对夫妻的情况下,船需要来回5次.以下为一种解法:
首先3位妻子abc划到对岸,再由a妻子把船划回来;然后3位丈夫ABC安全地划过去,将a妻子留在旅馆中;最后,A丈夫回去拯救他勇敢的妻子!
在一些卡片上写上代表各人的符号,可以帮助你解题.
下列5对夫妻的解法能满足所有条件,但需要来回13次,也许你可以找到更好的方法.如果读者发现更好的解法,请告诉本书作者.
首先3位妻子abc先划到安全地带,再由a妻子把船划回去.然后A与他的妻子到对岸,妻子下船,A把船划回去(由于b和c的丈夫不在场,所以A不能下船).再由ABC划过去,Aa划回来,这时Bb与Cc已经到安全地带.现在由ADE划到对岸,他们的3位妻子则暂时留在旅馆中.A回来接他的妻子,然后再由D与E回来接各人的妻子.
36.延长电线
如果你把这个大厅想象成鞋盒,并展开成平面,则由A至B最短的路径,为横跨地板、一面墙以及天花板的路径,长度为40m.
37.聪明的园丁
38.周长与面积
你可能会发现,刚开始几乎都是“碰巧”找到形状,但不久就觉得有规律可循,使你的方法更具有系统性.
有一种方法是由一个3×3的正方形,或一个4×2的长方形开始,然后想象其边界可能的变化方式,如图1所示.
5×1的长方形只有一种解,4×2的长方形则有有限个解.大部分的形状由3×3的正方形变化而来.从这个活动中可以清楚地看出,周长相同的形状,面积不一定相同.边长为3、4与5单位的三角形为直角三角形,由此也可以找出其他周长为12单位的形状.一些可能的形状如图2所示.
周长为12单位的可能形状总数,视形状的种类而定.如果线能够交叉或重叠,则形状的数目会变得更多.如果是一组人一起进行这个活动,大家可以讨论什么形状是可以接受的,以及该如何精确地定义“可以在钉板上作出的周长为12单位的形状”.图3中的哪些形状是可以接受的?
39~40.镶嵌图案等
在人造的物体中经常可以见到镶嵌图案.例如墙上的砖、庭院中的石板路、地毯与壁纸等,都与镶嵌图案有关,因为这些都是一再重复基本单元所构成的图案.
事实上,任何四边形都可以作为镶嵌图案的基本单元.用卡片纸剪下一个四边形作为样板.由一个四边形(阴影部分)开始,轮流绕每一边的中点,将四边形旋转180°.
41.面积相同的形状
测量某种形状的面积与以单位面积的形状单元作镶嵌图案有关.基本的形状单元通常是取正方形.在这道题目中,主要的概念是在面积固定(2平方单位),以及顶点位置受到限制的情况下,看能找到多少不同的形状.找到新形状的关键是利用图1中的三角形.
这些三角形可以用许多不同的方式互相组合,而产生出2平方单位面积的形状.可以用下列两种方式来看任何一种形状的面积:
(1)较小形状的总和.
(2)从较大的形状切除几部分后所剩余的部分.
举例来说,图1中(4)所示的斜线部分的形状,可以视为一个单位正方形与两个面积为单位正方形一半的三角形的总和;或是视为四个单位正方形减去一个单位正方形与两个面积为单位正方形一半的三角形.
这个活动比一般教科书上以长乘宽计算长方形面积的方式更基本,而且也更重要.
在5×5的钉板上可以找到更多的形状,因为可以形成下列的三角形(图2).
42.钉板上的面积
在解答问题之前,你必须相信自己能够正确导出所作出的形状的面积.
所有内部只有1枚钉子的形状皆满足:
也就是说,面积恰为该形状边界上钉子数目的一半.
所有边界上有12枚钉子的形状皆满足:
A=i+5
也就是说,面积等于内部钉子的数目加上5.
以上的公式都是皮克特定理的特殊情况.皮克特定理为:
43.钉板上的路径
所有路径的长度都是24,因为要走过25枚钉子,所以必须走24步.一般而言,路径的长度为n2-1.可以找到旋转式对称的路径,试着同时由不同端点出发而在中点会合,就可以找到对称的路径(图1).
可以走对角线时,在3×3的钉板上有许多种走法.因为有9枚钉子,所以由A至B必须走8步.要找到最短的路径,需要交叉移动或上下移动,但要找到最长的路径,就需要尽可能地利用对角线.
最短的路径为8单位长(图2),其中1单位表示钉板上钉子与钉子之间的最短距离.
3×3的钉板上,只可能有两种对角线走法,如图3所示.PQ的长
这个结果可由勾股定理导出或用尺量出,但用尺量无法得到与用勾股定理计算同样精确的结果.当路径不得交叉时,最长的路径如图4
(1),其长度大约等于12.13.当路径可以交叉时,就可以运用如PQ的走法,因此最长的路径如图4
(2)所示,其长度大约为15.42.
请注意这两种解答的对称性.
有一种解法看起来比上两种解法都要好,因为其中并不包含任何较
45.你能作出多少三角形
解这题需要分两步.首先要决定能作出哪几种三角形,然后计算每一种的个数.下列图形是能在3×3钉板上形成的8种三角形.
第一种三角形有16个.每4枚钉子组成一个正方形,总共有4个正方形.
第二种三角形有16个,钉板边缘的每对钉子都有2个.
第三种三角形有8个,每一边有1个,以顶点为中心的有4个.
第四种三角形有16个,每一角落有2个,每一边的中点有2个.
第五种三角形有4个,钉板的每一角落有1个.
第六种三角形有4个,钉板的每一边有1个.
第七种三角形有4个,钉板的每一角落有1个.
第八种三角形有8个,钉板的每一边有2个.
因此总共可以作出76个不同的三角形.
46.你能看出多少三角形
把直线相交的所有交点用英文字母予以标示,然后用字母标示出三角形,应该会有所帮助.虽然这个问题与前一题有些类似,但所用的方法却不同.
例如,首先记录所有以AB为边的三角形,然后取AC,以此类推.
将三角形按字母顺序排列,可以很容易看出是否重复计算了某个三角形.
47.电动船
这是个很有趣的题目,最初看起来似乎不太可能有解.
不管船的路径如何,除非导航员把船引导至图中的C点,否则两船不可能相遇.在C点,AC的距离等于BC的距离,由B向C的方向也比由A向C的方向多90°.因此当船由A到达C时,另一艘船也会由B驶抵C.
48.四通八达
(1)A→C→E→B→D→A→B→C→D→E→A
还有许多其他可能的解,如:
A→B→C→D→A→C→E→B→D→E→A
(2)如果画此网络能使铅笔不离开纸面,或不必走任何线两次,则此网络就具有穿程性(traversability).在上一小题中,网络具有穿程性;但在这一小题中,网络只能分4个部分画出,故铅笔必须离开纸面3次.
最早研究穿程性网络的人是18世纪早期的数学家欧拉(Eu-ler),他所研究的就是著名的哥尼斯堡桥问题(K
nigsbergbridges).哥尼斯堡是德国的一个城市,普雷格尔河(RiverPregel)流经市区,河中有两座小岛,由7座桥把两岸和两座小岛连接起来,如图1所示.哥尼斯堡的居民长久以来一直想知道要如何才能走遍7座桥,而且每座桥只经过一次,最后又回到出发点,但他们找不到解决方法.当欧拉获知此问题时,他便证明此问题无解.他首先用网络代表上述的地图,将城市的每个区域简化成点,桥简化成弧.现在,该问题就简化成笔不离纸面就画不出网络的问题.
欧拉了解问题的关键是,A、B、C、D的弧线数目都是奇数——在B、C、D点有3条,在A点有5条(图2).
他证明有奇数条弧的网络结点(奇数结点),只能作为网络的起点或终点,所以有4个奇数结点的哥尼斯堡桥问题无解.
要知道为何奇数结点不能作为网络的中间点,可考虑如图3所示的3-结点P,及其分支1、2与3.对于包含P的网络,当铅笔沿着1来到P点,并经由2离开,然后在走过一些其他弧线之后,应该沿着3回去,但这时却没有可以离开P的其他路.对任何奇数结点皆可以类似地论证,因此奇数结点只能作为起点或终点.只有在“所有的结点都是偶数结点(即具有偶数条弧线)”,或“除了两个作为起点或终点的奇数结点外,所有结点都是偶数结点”这两种情形下,网络才具有穿程性.故哥尼斯堡人如果炸掉AB桥,或是在A与B之间增加第二座桥,就能解决这个问题了.
49.马的位置
如图是一种解法.请检查是否每一个方格都会被攻击.
也可以用5个王后,或9个王,或8个象得到相同的结果.请试一试!
50.倒转火车
为了能有效地解出这个谜题,需要设计一些记录各次移动的方法.如果能用一些标上号码的筹码代表火车,实际在铁路网上移动,将有助于思考.在此题的解答中共作了15次移动,如箭头所示.
50.倒转火车
为了能有效地解出这个谜题,需要设计一些记录各次移动的方法.如果能用一些标上号码的筹码代表火车,实际在铁路网上移动,将有助于思考.在此题的解答中共作了15次移动,如箭头所示.
51~55.一般性评论
这些活动的目的是希望使读者对于移动中的形状的互动关系能有更深入的了解.在传统的几何学教学中,大多只探讨静态的类似土地测量的问题,而很少提到有关运动的几何学.作者介绍这些活动的用意,是要使几何学与我们日常生活的关系更加密切.实际动手制作模型是从这些活动中学到更多知识的最好方法.
51.平行四边形连杆
通常我们会作“AB来回移动”的描述,A所形成的轨迹是以D为圆心、DA为半径的圆的一部分.AB上所有其他点的轨迹,也都是类似的部分圆,圆心也都在DC上.
BC转动的角度一定与AD相同,所以也是30°.
使用平行四边形雨刷,或许是因为它能扫出较理想的形状.但最可能的理由是因为一般车子的雨刷,大半的时间都是在把会再度滑下的水滴往上推,所以平行四边形的雨刷会比一般车子所用的雨刷更有效.
52~53.摇摇马等
事实上,今日的摇摇马与一些维多利亚时代的摇摇马,都是使用相同的连杆机制,这的确是件很有趣的事.现在有些跷跷板也使用这种机制,但与简单、常见的枢轴式翘翘板相比,看不出它有什么好处.
制作摇摇马与汽车方向盘模型是非常具有教育意义的活动.赶快动手制作吧!
54.直线运动
瓦特的平行运动连杆所形成的轨迹像是细长的数字8,契比雪夫连杆的轨迹则像是压扁的半圆形.最好是亲自制作模型,做个实验.
55.旋转
这与可以在许多玩具店中买到的比例绘图器非常类似,结合两个连杆而作出平移的过程是非常有趣的.
57.四胞胎
所分成的4个部分不仅完全相同,而且形状也与原图形一样.
58.组合正方形
目前市面上也有许多类似的塑料制品玩具,不过你可以用彩色的卡片纸做出你自己的作品.
59.硬币的旋转
A需旋转两圈.当A旋转至B的顶端时,A的人头朝下.当A旋转至B的右方时,A的人头朝上.当A在B的下面时,A的人头又朝下.当A回到起点时,A的人头又朝上.
60.猎人
一只北极熊!
从北极开始,如图1所示,就可以得出符合题目条件的解答.不过在南极也有无限多种可能.例如,猎人也可以从任何周长为3km的纬度线以北3km处开始,如图2所示,或是从任何周长为1.5km的纬度以北3km处开始,以此类推.
61.4点同在一平面
很难想象真的会有6种不同的排法.你是不是在翻看解答之前早就放弃了?
62.字母骰子
H的反面为S.字母的排列如图所示,从图中可以看出事实上有两个S.
63.拐折六边形
只要三角形的号码标示正确,而且能按指示折叠,应该不会难做.不要使用太厚的卡片纸,否则很难折.如果要做比较大的拐折六边形,可以用胶带纸把画在不同卡片纸上的三角形连接在一起,这样会比较容易一些.
64.培利加的证明
这是说明勾股定理非常好的方式,简洁有力地证明了两个较小正方形的面积和等于直角三角形斜边上的正方形的面积.试证明1、2、3与4这几个部分也可以组合成平行四边形.
65.做一个四面体考考你的朋友
对此前没有经验的人来说,这个问题并不容易.作者知道有些人能正确做出半四面体形状,但仍无法拼出完整的四面体.许多人在面对两个半四面体时,经常会“不由自主”地要保持长边互相平行.
67~68.用直尺与圆规作图等
现在一般学校都不大强调用直尺与圆规作图,其实对各年龄段的学生而言,这都是相当具有启发性与挑战性的问题.
第一项活动介绍使用圆规与直尺作图的一些基本方法,第二项活动则是介绍与三角形有关的一些圆形的作图法.
相关的活动还包括作出角平分线等.
用直尺的两边就可以得到两条固定距离的平行线.用这种方法可以不用圆规而画出许多图形.
69.海战棋
自己设计游戏,一定能令你获益匪浅.
70.王后保卫战
4×4棋盘的另外两种放法如下所示.
5×5的棋盘有许多种放法,每一种都需要3个王后.其中两种如下所示.你还能找到多少不同的放法?
6×6的棋盘也可以只用3个王后,但只有一种放法.7×7的棋盘则需要4个王后.
8×8的棋盘至少需要5个王后.下面的放法同时也能满足叶尼希提出的条件,即王后不会彼此攻击.
71.
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