等腰三角形典型例题练习含答案.docx
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等腰三角形典型例题练习含答案
等腰三角形典型例题练习
.选择题(共2小题)
1.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()
2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:
1AE=BD
2CN=CM
3
MN∥AB其中正确结论的个数是()
二.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与
三.解答题(共15小题)
4.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证
O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+E.C
6.>已知:
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形并说明理由.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
1)∠E等于多少度
2)△DBE是什么三角形为什么
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:
AB=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
11.(2012?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=C.H证明过程如下:
如图①,连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=AB?
PE,S△ACP=AC?
PF,S△ABC=AB?
CH.
△ABP△ACP△ABC
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,
∴AB?
PE+AC?
PF=AB?
CH.
∵AB=AC,
∴PE+PF=C.H
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=.点P到AB边的距离PE=.
12.数学课上,李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,
并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AEDB(填“>”,
“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AEDB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点
E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
3)拓展结论,设计新题
13.已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,
请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系试证明你的结论.
(2)求∠BFD的度数.
15.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,求证:
AE=CF.
16.已知:
如图,在△OAB中,∠AOB=9°0,OA=O,B在△EOF中,∠EOF=90°,OE=O,F连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系请说明理由.
17.(2006?
郴州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,
CG是AB边上的高.
1)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明;
2)若D在底边的延长线上,
(1)中的结论还成立吗若不成立,又存在怎样的关系请说明理由.
18.如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高)即PD+PE=C,F若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系写出你的猜想并加以证明.
等腰三角形典型例题练习
参考答案与试题解析
.选择题(共2小题)
1.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为(
考点:
角平分线的性质.
分析:
由已知条件进行思考,结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的
长,问题可解.
解答:
解:
∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C.
2.如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边
△BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论:
①AE=BD②CN=C③MMN∥AB其中正确结论的个数是()
考点:
平行线分线段成比例;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
分析:
由△ACD和△BCE是等边三角形,根据SAS易证得△ACE≌△DCB,即可得①正确;由△ACE≌△DCB,可得∠EAC=∠NDC,又由∠ACD=∠MCN=6°0,利用ASA,可证得△ACM≌△DCN,即可得②正确;又可证得△CMN是等边三角形,即可证得③正确.
解答:
解:
∵△ACD和△BCE是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=60°,AC=DC,EC=BC,
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB,即∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,故①正确;
∴∠EAC=∠NDC,∵∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCE=6°0,∴∠ACD=∠MCN=6°0,∵AC=D,C∴△ACM≌△DCN(ASA),∴CM=C,N故②正确;又∠MCN=18°0﹣∠MCA﹣∠NCB=18°0﹣60°﹣60°=60°,∴△CMN是等边三角形,∴∠NMC∠=ACD=6°0,∴MN∥AB,故③正确.故选D.
.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与
∴△DEF是正三角形,∴BD:
DF=1:
①,BD:
AB=1:
3②,△DEF∽△ABC,
故答案为:
1:
3.
三.解答题(共15小题)
4.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°,求证
考点:
全等三角形的判定与性质;角平分线的定义.
即∠EMD∠=FND=90°,
分析:
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,根据角平分线性质求出DN=DM,根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD,根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可.
解答:
证明:
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=D(N角平分线性质),∠DME∠=DNF=90°,
∵∠EAF+∠EDF=180°,∴∠MED∠+AFD=360°﹣180°=180°,
∵∠AFD+∠NFD=18°0,∴∠MED∠=NFD,在△EMD和△FND中
,∴△EMD≌△FND,∴DE=D.F
5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点
O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+E.C
考点:
等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
分析:
根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,和DE∥BC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,求证出DB=DO,OE=EC.然后即可得出答案.
解答:
解:
∵在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠DBO∠=OBC,∠ECO∠=OCB,
∵DE∥BC,∴∠DOB∠=OBC∠=DBO,∠EOC∠=OCB∠=ECO,
∴DB=D,OOE=EC,∵DE=DO+O,E∴DE=BD+E.C
6.>已知:
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形并说明理由.
考点:
等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.
分析:
用(HL)证明△EBD≌△FCD,从而得出∠EBD=∠FCD,即可证明△ABC是等腰三角形.
解答:
△ABC是等腰三角形.
证明:
连接AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,且DE=DF,
∵D是△ABC的BC边上的中点,∴BD=D,C
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴∠EBD=∠FCD,∴△ABC是等腰三角形.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使CE=CD.连接DE.
(1)∠E等于多少度
(2)△DBE是什么三角形为什么
考点:
等边三角形的性质;等腰三角形的判定.
分析:
(1)由题意可推出∠ACB=60°,∠E=∠CDE,然后根据三角形外角的性质可知:
∠ACB=∠E+∠CDE,
即可推出∠E的度数;
2)根据等边三角形的性质可知,BD不但为AC边上的高,也是∠ABC的角平分线,即得:
∠DBC=3°0,
解答:
然后再结合
(1)中求得的结论,即可推出△DBE是等腰三角形.
解:
(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,
∵CD=C,E∴∠E=∠CDE,∵∠ACB=∠E+∠CDE,
2)∵△ABC是等边三角形,BD⊥AC,∴∠ABC=60°,
∵∠E=30°,∴∠DBC=∠E,∴△DBE是等腰三角形.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:
AB=4BD.
考点:
含30度角的直角三角形.
分析:
由△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°可以推出AB=2BC,同理可得
解答:
解:
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°.
又∵CD⊥AB,∴∠DCB=3°0,∴BC=2BD.∴AB=2BC=4B.D
BC=2BD,则结论即可证明.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延长线上,且BD=CE,DE与BC相交于点F.求证:
DF=EF.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
分析:
过D点作DG∥AE交BC于G点,由平行线的性质得∠1=∠2,∠4=∠3,再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2,则∠B=∠1,于是有DB=DG,根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC,即可得到结论.
解答:
证明:
过D点作DG∥AE交BC于G点,如图,
∴∠1=∠2,∠4=∠3,
∵AB=AC,∴∠B=∠2,∴∠B=∠1,∴DB=D,G而BD=CE,∴DG=C,E
在△DFG和△EFC中
,∴△DFG≌△EFC,∴DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
考点:
全等三角形的判定与性质.
分析:
延长CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全≌△BEC,所以FE=EC,即CF=2CE,再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD,所以BD=2CE.
解答:
证明:
如图,分别延长CE,BA交于一点F.
∵BE⊥EC,∴∠FEB=∠CEB=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠FBE=∠CBE,又∵BE=BE,∴△BFE≌△BCE(ASA).∴FE=CE.∴CF=2CE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∠ABD+∠ADB=90°,∠ADB=∠EDC,∴∠ABD+∠EDC=9°0.又∵∠DEC=9°0,∠EDC+∠ECD=9°0,∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.
∴△ADB≌△AFC.∴FC=DB,∴BD=2EC.
11.(2012?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、
H.易证PE+PF=C.H证明过程如下:
如图①,连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB?
PE,S△ACP=AC?
PF,S△ABC=AB?
CH.
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,∴AB?
PE+AC?
PF=AB?
CH.
△△△
∵AB=AC,∴PE+PF=C.H
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想,并加以
证明:
2)填空:
若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB
考点:
等腰三角形的性质;三角形的面积.
分析:
(1)连接AP.先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP,S△ACP,S△ABC,再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可
得出PE=PF+PH;
(2)先根据直角三角形的性质得出AC=2CH,再由△ABC的面积为49,求出CH=7,由于CH>PF,则
可分两种情况进行讨论:
①P为底边BC上一点,运用结论PE+PF=CH;②P为BC延长线上的点时,运用结论PE=PF+CH.
解答:
解:
(1)如图②,PE=PF+CH.证明如下:
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB?
PE,S△ACP=AC?
PF,S△ABC=AB?
CH,
△ABP△ACP△ABC
∵S△ABP=S△ACP+S△ABC,∴AB?
PE=AC?
PF+AB?
CH,又∵AB=AC,∴PE=PF+C;H△ABP△ACP△ABC
(2)∵在△ACH中,∠A=30°,∴AC=2C.H
∵S△ABC=AB?
CH,AB=AC,∴×2CH?
CH=49,∴CH=7.
分两种情况:
①P为底边BC上一点,如图①.
∵PE+PF=C,H∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4;
②P为BC延长线上的点时,如图②.
12.数学课上,李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE=DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AE=DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
3)拓展结论,设计新题
考点:
等边三角形的判定与性质;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
分析:
1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°,求出∠DEB=30°,求出
BD=BE
即可;
(2)过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证△DEB和△ECF全等,求出BD=EF即可;
(3)当D在CB的延长线上,E在AB的延长线式时,由
(2)求出CD=3,当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时,求出CD=1.
解答:
解:
(1)故答案为:
=.
(2)过E作EF∥BC交AC于F,
∵等边三角形ABC,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=B,C∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=A,F
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=6°0,∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中
,∴△DEB≌△ECF,∴BD=EF=A,E即AE=BD,故答案为:
=.
3)解:
CD=1或3,
理由是:
分为两种情况:
①如图过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,则AM∥EM,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=,1
∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=C,EEN⊥BC,∴CD=2C,N
=,∴
=
=
,
=,∴
,
∵AM∥EN,∴△AMB∽△ENB,
∴BN=,∴CN=1+=,∴CD=2CN=;3
②如图2,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EM,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=,1
∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=C,EEN⊥BC,∴CD=2C,N
∵AM∥EN,∴=,∴=,∴MN=1,∴CN=1﹣=,∴CD=2CN=1
13.已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连接PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
分析:
根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=C,D推出∠CDA=∠CAD=∠CPM,求
出∠MPF=∠CDM,∠PMF=∠BMA∠=CMD,在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可.
解答:
解:
∠F=∠MCD,
理由是:
∵AF平分∠BAC,BC⊥AF,∴∠CAE=∠BAE,∠AEC=∠AEB=90°,
在△ACE和△ABE中
,∴△ACE≌△ABE(ASA)∴AB=AC,
∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线,∴CM=B,MCE=BE,∴∠CMA∠=BMA,
∵AE=ED,CE⊥AD,∴AC=C,D∴∠CAD=∠CDA,
∵∠BAC=2∠MPC,又∵∠BAC=2∠CAD,
∴∠MPC∠=CAD,∴∠MPC∠=CDA,∴∠MPF=∠CDM,
∴∠MPF=∠CDM(等角的补角相等),
∵∠DCM∠+CMD∠+CDM=18°0,∠F+∠MPF+∠PMF=18°0,
又∵∠PMF=∠BMA∠=CMD,∴∠MCD∠=F.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系试证明你的结论.
(2)求∠BFD的度数.
考点:
等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.
分析:
(1)根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°,AB=CA,结合AE=CD,可证明△ABE≌△CAD,从
而证得结论;
(2)根据∠BFD=∠ABE+∠BAD,∠ABE=∠CAD,可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
解答:
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,
∴△ABE≌△CAD∴AD=BE.
(2)解:
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
又∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
15.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF,
求证:
AE=CF.
考点:
全等三角形的判定与性质.
分析:
根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF,根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF.
解答:
证明:
∵∠ABC=90°,∴∠ABE=∠CBF=90°,又∵AB=BC,BE=BF,∴△ABE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.
16.已知:
如图,在△OAB中,∠AOB=9°0,OA=O,B在△EOF中,∠EOF=90°,OE=O,F连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系请说明理由.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
分析:
可以把要证明相等的线段AE,CF放到△AEO,△BFO中考虑全等的条件,由两个等腰直角三角形得
AO=BO,OE=OF,再找夹角相等,这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果,当然相等了,由此可以证明△AEO≌△BFO;延长BF交AE于D,交OA于C,可证明∠BDA=∠AOB=9°0,则AE⊥BF.
解答:
解:
AE与BF相等且垂直,
理由:
在△AEO与△BFO中,
∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形,∴AO=O,BOE=OF,∠AOE=9°0﹣∠BOE=∠BOF,∴△AEO≌△BFO,∴AE=BF.
延长BF交
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