概率论和数理统计浙大四版习题答案解析.docx
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概率论和数理统计浙大四版习题答案解析
第三章多维随机变量及其分布
1.[一]在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次
取一只。
考虑两种试验:
(1)放回抽样,
(2)不放回抽样。
我们定义随机变量X,Y如
下:
0,若第一次取出的是正品,
X
1,若第一次取出的是次品
0,若第二次取出的是正品,
Y
1,若第二次取出的是次品
试分别就
(1)
(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律。
解:
(1)放回抽样情况
由于每次取物是独立的。
由独立性定义知。
P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)
或写成
(2)不放回抽样的情况
p{x=0,y=0戶卷
45
66
P{X=0,Y=1}=
10
12
10
66
或写成
2
10
10
12
11
66
2
丄
丄
12
11
66
P{X=1,Y=0}=
P{X=1,Y=1}=
4只球,以X表示
为
3.[二]
P{X=0,Y=2}=喘2
C4
35
c3c;c;
6
c4
35
c3cfc2
6
C;
35
C;c;
3
c;
35
c;c;c;
12
C;
35
1
P{X=1,Y=1}=
P{X=1,Y=2}=
P{X=2,Y=0}=
P{X=2,Y=1}=
P{X=3,Y=1}=
c;c;
3
C;
35
c;c2
2
c4
35
cfc2
2
P{X=2,Y=2}=
P{X=3,Y=0}=
35
C7
P{X=3,Y=2}=0
5.[三]设随机变量
X,Y)
k(6xy),0x2,2y4
概率密度为f(x,y)
0,其它
(1)确定常数k。
求P{X<1,Y<3}
(3)求P(X<}
(4)
求P(X+Y<4}
分析:
利用
P{(X,Y)€G}=
G
f(x,y)dxdy
f(x,y)dxdy再化为累次积分,其中
Do
Do(x,y)
2,
f(x,y)dxdy
1
k(6
⑵
P(X
1,Y3)dx(6
丿028
xy)dy
1.5
(3)
P(X
1.5)P(X1.5,Y
)0
24X1
(4)
P(X
Y4)dx丄(6
xy)dy
0
1题中的随机变量(X、
6.
(1)求第
Y)
13
2
dx
41
—(6
28
2
3
xy)dyI7
32
2题中的随机变量(X、
(2)求第
Y)
36
36
的边缘分布律。
的边缘分布律。
5
36
1
36
边缘分布为
x
4.8y(2x)dy
2
2.4x2(2
x)
0x1
解:
fx(x)
f(x,y)dy
0
0
其它
fv(y)
f(x,y)dx
1
y4.8y(2x)dx
2.4y(3
4y
y2)0y1
0
其它
8.[六]设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
边缘分布律为
X
0
1
Y
0
1
Pi.
5
1
PJ
5
1
百
6
~6
②不放回抽样(第
1题)
0
1
0
45
10
66
66
1
10
1
66
66
X
0
1
Y
0
0,其它
15.第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。
解:
放回抽样的情况
P{X=0,Y=0}=P{X=0}•P{Y=0}=-||
P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{丫=1}=吕
36
P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=£
36
P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=丄
36
在放回抽样的情况下,X和Y是独立的
不放回抽样的情况:
P{X=0,Y=0}=^°945
121166
P{X=0}=10
12
1092105
P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=
121111116
5525
Pg"P{Y=0}=6636
P{X=0,Y=0}工P{X=0}P{Y=0}
X和Y不独立
16.
X在(0,1)上服从均匀分布。
Y
[十四]设X,Y是两个相互独立的随机变量,
概率。
解:
(1)
X的概率密度为fX(x)
1,x(0,1)
0,其它
Y的概率密度为
fy(y)
y
2,y0且知X,Y相互独立,
1e
2
0,y0.
是(X,Y)
的联合密度为
f(x,y)
fx(x)fY(y)
1罷
_e
2
0
x1,y
其它
(2)由于
a有实跟根,从而判别式
4X2
4Y
P(YX2)
即:
YX2
1
f(x,y)dxdy0
{(x,y)|0x
1,0
x2
1
e2dx
1
dxe2dy
02'
x2
1
dx
0
x2
de
0
10x2
120eTdx12(
(1)
(2))12(0.84130.5)
V20
12.50663120.341310.85550.1445
19.[十八]设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为
te七,tof(t)
0t0
并设各周的需要量是相互独立的,试求
(1)两周
(2)三周的需要量的概率密度。
解:
(1)设第一周需要量为X,它是随机变量
设第二周需要量为丫,它是随机变量
且为同分布,其分布密度为
tet,t0
f(t)
0t0
xycc
f(x,y)
xeyex0,y0
0其它
z>0
当z<0时,fz(z)=0
当z>0时,由和的概率公式知
3
z
fz(z)6e
0
设E表示第三周需要量,其概率密度为:
xe
fE(X)
0X0
z与E相互独立
fn(U)=0
n=z+E表示前三周需要量
则:
0,•••当u<0,
当u>0时
fn(U)
f(uy)fE(y)dy
u1
(uy)06
5
—eu
120
所以n的概率密度为
3e
(uy)y,
yedy
5
——e
fn(u)120
0
22.[二十二]设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从分布。
随机地选取4只求其中没有一只寿命小于
2
N(160,20)
180小时的概率。
解:
设X1,X2,X3,X4为4只电子管的寿命,
为:
它们相互独立,同分布,其概率密度
1e
2n20
(t160)2
2202
f{X180}
Fx(180)
11
20
2
180(t160)dt厂dt2202
令t160
20
Tdu
18060
(h)
查表0.8413
设N=min{X1,X,X3,X4}
P{N>180}=P{X1>180,X2>180,X3>180,X4>180}
=P{冷180}4={1—p[X<180]}4=4=
27•[二十八]设随机变量(X,Y)的分布律为
(2)求V=max(X,Y)的分布律
(3)求U=min(X,Y)的分布律
由条件概率公式
P{X2,Y2}
P{X=2|Y=2}=
P{Y2}
同理
显然V是
P{Y=3|X=0}=*变量V=max{XY}
P{V=0}=P{X=0
Y=0}=0
P{V=1}=P{X=1,
Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=1}
随机变量,其取值为
V:
0123
=++=
P{V=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}
+P{Y=2,X=0}+P{Y=2,X=1}
=++++=
P{V=3}=P{X=3,Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}
+P{Y=3,X=0}+P{Y=3,X=1}+P{Y=3,X=2}
=++++++=
P{V=4}=P{X=4,Y=0}+P{X=4,Y=1}+P{X=4,Y=2}+P{X=4,Y=3}=+++=
P{V=5}=P{X=5,Y=0}+……+P{X=5,Y=3}
=+++=
3)显然U的取值为0,1,2,3
P{U=0}=P{X=0,Y=0}+……+P{X=0,Y=3}+P{Y=0,X=1}
+……+P{Y=0,X=5}=
同理P{U=1}=
P{U=2}=
P{U=3}=
或缩写成表格形式
(2)
V
0
1
2
34
5
Pk
0
(3)
U
0
1
2
3
Pk
(4)W=V+U显然W的取值为0,1,……8
P{W=0}=P{V=0U=0}=0
P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1U=0}
V=max{X,Y}=0又U=min{X,Y}=1不可能上式中的P{V=0,U=1}=0,又P{V=1U=0}=P{X=1Y=0}+P{X=0Y=1}=
故P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1,U=0}=
P{W=2}=P{V+U=2}=P{V=2,U=0}+P{V=1,U=1}
=P{X=2Y=0}+P{X=0Y=2}+P{X=1Y=1}
=++=
P{W=3}=P{V+U=3}=P{V=3,U=0}+P{V=2,U=1}
=P{X=3Y=0}+P{X=0,Y=3}+P{X=2,Y=1}+P{X=1,Y=2}=+++=
P{W=4}=P{V=4,U=0}+P{V=3,U=1}+P{V=2,U=2}
=P{X=4Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X=1,Y=3}
+P{X=2,Y=2}=
P{W=5}=P{V+U=5}=P{V=5,U=0}+P{V=5,U=1}
+P{V=3,U=2}=P{X=5Y=0}+P{X=5,Y=1}
+P{X=3,Y=2}+P{X=2,Y=3}=
P{W=6}=P{V+U=6}=P{V=5,U=1}+P{V=4,U=2}
+P{V=3,U=3}=P{X=5,Y=1}+P{X=4,Y=2}
+P{X=3,Y=3}=
P{W=7}=P{V+U=7}=P{V=5,U=2}+P{V=4,U=3}
=P{V=5,U=2}+P{X=4,Y=3}=+=
P{W=8}=P{V+U=8}=P{V=5,U=3}+P{X=5,Y=3}=
或列表为
W012345678
P0
[二^一]设随机变量(X,Y)的概率密度为
be(xy),0x1,0y
f(x,y)
0
其它
(1)试确定常数
b;
(2)求边缘概率密度fx(x),fY(y)
(3)求函数U=max(X,Y)的分布函数。
解:
(1)1
1
f(x,y)dydxbe(xy)dydxb[1e1]
00
b
1
1e1
(2)fx(x)f(x,y)dy
0x0或x1
x
be(xy)dy—?
0x1
01e1
fY(y)f(x,y)dx
0,
y
0
1be(xy)dxey
0
y
0
(3)Fu(3)=P{U毛}=P{max(X,Y)u)=P{X
=F(u,u)=
f(x,y)dxdy
u<0,Fu(u)=0
0u1,Fu(u)
u
be
0
(x
y)dxdy
(1eu)2
1e1
u1,Fu(u)
1
be
(x
y)dxdy1e
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