平面向量教材分析及教学建议.docx
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平面向量教材分析及教学建议
第二章《平面向量》教材分析
天津市第二十中学高一数学备课组
地位与作用
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点。
所以向量的学习有助于学生体会数学与实际生活的联系,认识数学内容的内在联系,发展运算能力和推理能力。
二、内容与课程学习目标
本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.通过本章学习,应引导学生:
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示.
2.通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.3.通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.
4.了解向量的线性运算性质及其几何意义.
5.了解平面向量的基本定理及其意义.
6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
7.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
8.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
9.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
10.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
11.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
12.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
13.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.
三、教学内容与课时安排
本章共安排了5个小节及2个选学内容,大约需要12个课时,具体分配如下(仅
供参考):
2.1平面向量的实际背景及基本概念2课时
2.2向量的线性运算2课时
2.3平面向量的基本定理及坐标表示2课时
2.4平面向量的数量积2课时
2.5平面向量应用举例2课时
小结2课时
本章知识结构如下:
1.第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量.教科书首先从位移、力等物理量出发,抽象出既有大小、又有方向的量——向量,并说明向量与数量的区别.然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相等向量、相反向量等基本概念.
例1.给出下列命题:
1ab,则a一定不与b共线;
2若ABDC,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点;
3在平行四边形ABCD中,一定有ABDC;
4若向量a与任意向量b平行,则a0;⑤若ab,bc,则ac.其中所有正确命题的序号为.
例2.根据下列各小题的条件,分别判断四边形ABCD的形状
(1)ABDC;
(2)ABDC且
AC
BD
(3)ABDC且
AB
AD
2.第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容.
教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律;再用相反向量与向量的加法定义向量的减法,把向量的减法与加法统一起来,并给出向量减法的几何意义;然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的向量数乘运算的定义,给出了数乘运算的运算律;最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则.
例3.
化简:
(1)
DBCD
BC;
(2)
ABDF
CDBCFA
3)ABCDACBD.
例5.
如图,已知任意四边形ABCD,E为AD的中点,F为BC的中点,求证:
2EFABDC.
A
2
如图,已知△OBC中,点A是BC边的中点,OD2OB,OA与DC交于点E,
3
设OAa,OBb;
1)用a和b表示向量OC、DC.
2)若OEOA,求实数λ的值.
3.第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示.
平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础.教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理,同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念;然后在平面向量基本定理的基础上,给出了平面向量的正交分解及坐标表示,向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念,最后给出平面向量共线的坐标表示.坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系,这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.例6.如图,在□ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,
已知AMc,ANd,试以c,d为基底表示AB和AD.
例7.向量OuuAur(k,12),OuuBur(4,5),uOuCur(10,k),当k为何值时,A、B、C三点共线.
例8.
(1)求点A(3,5)关于坐标原点O的对称点A的坐标.
(2)求点A(3,5)关于点P(1,2)的对称点A的坐标.
4.第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
教科书从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.
bc
1)a∥b;
2)ab;
3)a与b的夹角为30o
例11.已知a、b都是非零向量,且a3b与7a5b垂直,a4b与7a2b垂直,
例12.平面内有向量OA1,7,OB5,1,OP2,1,点M为直线OP上的一个动点.
(1)当MAMB取最小值时,求OM的坐标;
(2)当点M满足(Ⅰ)的条件和结论时,求cosAMB的值.
例13.已知向量a(2cos2x,tan(2x4)),b(2sin(2x4),tan(x24)),令f(x)ab.求函数f(x)的最大值,最小正周期,并写出f(x)在[0,π]上的单调区间.
例14.设向量m(cosx,sinx),n(22sinx,22cosx).若f(x)mn.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若θ(32π,π),且f(θ)1,求sin(θ152π)的值.
5.第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用.本节通过几个具体的例子说明了它的应用.
6.为了拓展学生的知识面,使学生了解向量及向量符号的由来,向量的运算(运算律)与几何图形形式的关系,本章安排了两个“阅读与思考”:
向量几向量符号的由来,向量的运算(运算律)与图形性质.
四、教学建议
1.引导学生用数学模型的观点看待向量内容
在向量概念的教学中,要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识,创设丰富
的情景,例如物理中的力、速度、加速度,力的合成与分解,物体受力做功等,通过
这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景,引导学生认识向量作为描述现实问
题的数学模型的作用.同时还要通过解决一些实际问题或几何问题,使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法.
2.加强向量与相关知识的联系性,使学生明确研究向量的基本思路
向量既是代数的对象,又是几何的对象.作为代数对象,向量可以运算,而且正是因为有了运算,向量的威力才得到充分的发挥;作为几何对象,向量可以刻画几何元素(点、线、面),利用向量的方向可以与三角函数发生联系,通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系(例如直线的垂直、平行等),另外,利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题.教学中,教师应当充分关注到向量的这些特点,引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识.
值得特别注意的是,在本章的教学之初,应引导学生通过与数及其运算的类比,体会研究向量的基本思路,在学完本章内容后,还要引导学生反思,重新概括研究思路,这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法,提升学生的数学思维水平.
3.引导学生认真体会向量法的思想实质
向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合,因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具.教学中应当通过实例,引导学生认真体会通过建立向量及其运算(运算律)与几何图形之间的关系,利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想,掌握向量法的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
其中,由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量于一身,因而它在解决几何问题中的作用更大,应当通过适当的问题引起学生的注意.
五、备选练习
1.下列说法中,正确的个数有()
①零向量可以与任何向量平行,也可以与任何向量垂直;
22
7.设a,b,c为非零向量,下列等恒成立的个数有()
②若向量e的模等于1,则e为单位向量;
A.
0个
B
.1个
C
.2个D.3个
2.
设O是正六边形ABCDEF的中心,则与向量
uuurOA
相等的向量的个数有()
A.
4个
B.
3个
C
.2个
D
.1个
3.
已知
2,
1,则
ab
的取值范围是(
)
A.
[1,2]
B.
[1,3]
C.
[1,2]
D.
[1,3]
4.
下列等式错误的是()
A.
aa
0B.
aa0C.
0a0
D.
0a0
5.
已知向量a
(1,2),b
(2,3),c(3,4),
则用
a,b表示c为()
A.
ca
b
B.c
a
2bC
.c
a2bD.ca2b
6.
已知向量a
(1,2),b
(x,1),ua
2b,
v2ab,且uPv,则x(
③所有的单位向量都相等;
11A.1B.1C.D.
①(ab)c(ca)b
②[(bc)a(ca)b]c0
③a2b2(ab)(ab)
④a3b3(ab)(a2abb2)
A.
1个
.2个C
.4个
8.
如图,在等腰△ABC中,AB=AC=,1
o
30,则向量
A.
9.
A.
10.
11.
则实数
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
uuruuuur
AB在向量AC上的投影等于()
在等腰Rt△ABC中,
(0,4)或(2,0)
如图,向量ab等于
uuur
90o,AB
.1
.2
uuur
(1,2),AC
.(0,4)或(2,0)C
已知向量a,b不共线,且kab与akb共线,
若ab(1,3),ab(3,5),则a
;b
uuur
(m,n),则BC
()
已知在梯形ABCD中,AB∥DC,且A、B、D三点的坐标分别为(0,0)、(2,0)、
(1,1),则顶点C的横坐标的取值范围是
若向量a,b满足a2,b
1,且a
(ab)
1,则向量a,b的夹角的大小为
设向量a,b,c满足abc0,(a
点A(2,0),B(3,0),动点
b)c,uuuruuurP(x,y)满足PAPB
ab,a1,则
2
x,则点P的轨迹方程为
已知a
a
已知
则tan
(2,1),b(1,)
(cos,sin),b
tan
,若a与b的夹角为锐角,则
的取值范围是
(cos
sin
)(,
(0,2))
,且
ab
uuur
如图,在平行四边形ABCD,AD
a,
uuur
AB
,M
uuuruuur为AB的中点,点N在DB上,且DNtNB.
A
B
M
(1)当t2时,证明:
M、N、C三点共线;
(2)若M、N、C三点共线,求实数t的值.
20.已知两个向量a,b满足a2,b1,a,b的夹角为60o,m2xa7b,naxb,xR.
(1)若m,n的夹角为钝角,求x的取值范围;
(2)设函数f(x)mn,求f(x)在[1,1]上的最大值与最小值.
21.已知三点A(2,1)、B(3,2)、D(1,4).
(1)证明:
ABAD;
(2)若点C使得四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值.
22.如图,菱形ABCD的边长为1,有D120,点E、F分别是AD、DC的中点,BE、BF分别与AC交于点M、N.
(1)求AC的值;
(2)求MN的值.
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