金融数学引论第三章北大.docx
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金融数学引论第三章北大
第三章习题答案
1已知某投资的内部回报率为r,且在该投资中C0=3000元,C1=1000元,
R2=2000元和R3=4000元。
计算r。
解:
令v=1
1+r
,由P(r)=0有
C0+C1v−R2v2−R3v3=0
代入数据,解得:
v≈0.8453
∴r=18.30%
2十年期投资项目的初期投入100,000元,随后每年年初需要一笔维持费用:
第
一年3000元,以后各年以6%的速度增长。
计划收入为:
第一年末30,000元,
以后逐年递减4%,计算R6。
解:
由i=6%,j=4%
R6=30000(1−j)5−3000(1+i)5
=30000×0.965−3000×1.065
=20446.60元
3已知以下投资方式:
当前投入7000元,第二年底投入1000元;回报为:
第一
年底4000元,第三年底5500元。
计算:
P(0.09)和P(0.10)。
解:
净现值P(i)为:
P(i)=−7000+4000(1+i)−1
−1000(1+i)−2+5500(1+i)−3
P(0.09)=75.05元
P(0.10)=−57.85元
北京大学数学科学学院金融数学系第1页
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4计算满足以下条件的两种收益率的差:
当前的100元加上两年后的108.15元,
可以在第一年底收回208元。
解:
设收益率为i,其满足:
−100+208v−108.15v2=0
解得
i=2.03%或6.03%
两种收益率的差为4.00%
5每年初存款,第10年底余额为1000元,存款利率4%,每年的利息收入以4%
的利率进行再投资。
给出每年存款金额的表达式。
解:
以第10年底为比较日,有以下的方程
10R+4%R(Is)10p3%¬=1000
解得
R=
1000
10+4%(Is)10p3%¬
6现在10000元贷款计划在20年内分年度还清,每年还款1000元。
如果贷款方
可以将每年的还款以年利率5%进行投资。
计算贷款方的实际年收益率。
解:
设年收益率为i,有
1000a20p5%¬v20=10000
解得
i≈6.16%
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7某投资者购买了如下的五年期金融产品:
(1)每年底得到1000元;
(2)每年的收入可以按年利率4%投资且当年收回利息。
如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资,实际年收益率为4%。
计算购买价格。
解:
设购买价格为P,有
P(1+i)5=1000×5+1000i(Is)4p3%¬
P×1.045=5000+40(Is)4p3%¬
P=4448.42元
8某投资者连续五年每年期末向基金存款1000元,年利率5%。
同时,利息收
入可以以年利率4%投资。
给出第十年底的累积余额表达式。
解:
对现金流进行拆分,第10年底的余额为:
P=1000×5+5%×1000(Is)10p4%¬−5%×1000(Is)5p4%¬
=5000+50・s1¬1p−11
4%
−50・s6p¬−6
4%
=5000+50×62.159−50×15.824
=7316.73元
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9甲将2000元投资10年,年利率17%,利息每年支付,利息的再投资利率为
11%,第10年底的累积利息为5685.48元;乙在20年内,每年底投资150元,
年利率14%,而且利息以11%的年利率再投资。
计算乙在20年底的累积利
息收入。
解:
PA=2000×17%×s9p11%¬
PB=150×14%×(Is)19p11%¬
由PA=5685.48
解得(1+11%)10=2.83942
带入PB计算得PB=8438.71元
另解:
PB=150×14%×(Is)19p11%¬
直接计算得PB=8438.71元
10某人以100000元购得一块土地,每年需交资产税1500元。
十年后以260000
元卖出,同时交纳8%的销售税。
计算年收益率。
解:
由净现值公式有
P(i)=−100000−1500a10pi¬+260000×(1−8%)×(1+i)−10=0
解得:
i≈8.075%
1150000元投资,可以在今后六年内每年得税后收入18000元。
计算:
1)15%的净现值;2)收益率。
解:
由净现值公式有
P(i)=−50000+18000a6p15%¬
(1)P(15%)=18120.69元
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(2)P(i)=0
解得:
i≈27.698%
12某人拥有10000元按月以i(12)=6%支付利息的债券,其在得到每月的利息
后,立即以i(12)=12%存入银行,计算其账户在第12次、24次和36次存款
后的余额。
并对以上三种情况计算其每年平均的i(12)。
解:
第n次存款后的余额为
P(n)=10000+10000×i(12)
12
×s(12)
np¬
每年的平均i(12)满足
10000×(1+
i(12)
12
)n=P(n)
把n=12,24,36代入得到
P(12)=10634.16,i(12)=6.16%
P(24)=11348.67,i(24)=6.34%
P(36)=12153.84,i(36)=6.52%
13某基金的年初金额为500000元,年底余额为680000元。
投资收入为60000
元,投资成本为5000元。
用资本加权法计算年实际收益率。
解:
由题意,A=500000,B=680000
所以,I=60000−5000=55000
i=
2I
A+B−I
=9.78%
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14某基金的年利率4%,年初余额1000元,如果在第三个月底存入200元,
第9个月底取款300元。
假定利率按单利计算,计算年底的余额。
解:
P=1000×(1+i)+200×(1+
3
4
i)−300×(1+
1
4
i)
=1000×1.04+200×1.03−300×1.01
=943元
15
(1)假定:
1−tit=(1−t)i,给出1−ti0的表达式;2)假定:
1−ti0=ti,给出1−tit
的表达式。
解:
在考虑福利的前提下有
(1+ti0)(1+1−tit)=1+i
(1)由1−tit=(1−t)i得
it0=
(1+i)−1−(1−t)i
1+(1−t)i
=
ti
1+(1−t)i
(2)由it0=ti得
1−tit=
(1+i)−1−(1−t)i
1+ti
=
(1−t)i
1+ti
16在初始时刻和第1年底分别向基金投入1000元,已知基金在第1年底的余
额为1200元,第2年底的余额为2200元。
分别用资本加权法和时间加权法
计算年收益率。
解:
资本加权法
1000(1+i)2+1000(1+i)=2200
解得
i≈6.52%
时间加权法
(1+i)2=
1200
1000
×2200
1200+1000
解得
i≈9.54%
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17基金在元旦的余额为A,6月底的余额为B,年底的余额为C。
(1)若一年中没有任何资本的注入,证明:
投资额加权法和资本加权法计算
的年收益率都是C−A
A
;
(2)如果在6月底计算余额后立即投入资本D,试分别给出投资额加权法和
时间加权法计算收益率的表达式。
(3)如果
(2)中的投资是在余额计算之前投入的,重新计算
(2)中的两种收益
率。
(4)说明
(2)和(3)中投资额加权法的结果相同的原因。
(5)试说明
(2)中时间加权法的结果大于(3)的结果。
解:
(1)资本加权法
A(1+i)=C
i=
C−A
A
时间加权法
1+i=
B
A
・C
B
i=
C−A
A
(2)资本加权法
A(1+i)+D(1+
i
2
)=C
C=
C−A−D
A+1
2D
时间加权法
1+i=
B
A
・C
B+D
i=
BC
A(B+D)
−1
(3)资本加权法
A(1+i)+D(1+
i
2
)=C
C=
C−A−D
A+1
2D
时间加权法
1+i=
B−D
A
・C
B
i=
(B−D)C
AB
−1
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(4)资本加权法主要以资本量为衡量标准,所以在6月底余额计算前投入还
是后投入,对收益率没有影响。
(5)
(2)中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时,认为这部
分资本在下半年产生了利息,而在计算余额前投入,相比较而言,若这部分资本
D是在上半年投入的,则没有产生利息,所以收益率偏大。
18已知:
当t=1,2,3,4,5且y=1,2,・・・10时,有
1+iy
t=(1.08+0.005t)1+0.01y
如果在y=5时投资1000元,持续3年。
计算等价的均衡利率。
解:
设等价的均衡利率为i,利用投资年方法的计算公式有
(1+i51
)(1+i52
)(1+i53
)=(1+i)3
代入数据得到
i≈9.469%
19基金X在1991年元旦的单位价值为1.0元,在1991年7月1日的单位价值
为0.8元,在1992年元旦的单位价值为1.0元,如果某投资者在1991年元旦
和7月1日分别投入10元。
分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者
在1991年的收益。
解:
资本加权法,
A=10,C=10,B=10+10×1
0.8
=22.5
得到I=2.5
i=
2.5
10+1
2
×10
=16.67%
时间加权法
i=
0.8
1
×1
0.8
−1=0
20某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车:
马上付款5000元;或者,现
付2400元,然后每年底付款1500元,两年付清。
若某购车者的最小可接
受的年收益率为10%,问其选择哪个方式购买?
解:
以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为:
2400+1500(1+i)−1+1500(1+i)−2=5003.31元>5000
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所以应该选择第一种方式付款。
21如果投资者的可接受利率为12%,说明第3题的项目是否可以接受。
解:
用Excel规划求解内部收益率得
r≈9.56%<12%
所以可以接受这个项目。
22如果例子3.19的项目回报率为15%,计算相应的项目融资利率f。
解:
利用r,f之间的关系式:
1+r=
10000
1600
(1−1
1+f
)
把r=15%代入
解得:
f=22.55%
23已知某项目前五年的现金流如表3-13所示。
若r=15%,f=10%,计算B5。
表3-13
t012345
Ct10002000-40003000-40005000
解:
B0=C0=1000
B1=B0(1+r)+C1=3150
B2=B1(1+r)+C2=−377.5
B3=B2(1+f)+C3=2584.75
B4=B3(1+r)+C4=−1027.54
B5=B4(1+f)+C5=3869.71
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24现有某一种投资,若利息收入要扣除25%的收入税。
估计在今后20年内可
以达到年利率8%注:
税前,计算在20年底,利息累积额下降的比例。
解:
税后的等价利率为8%×3/4=6%,从而利息累积额下降比例为
1.0820−1.0620
1.0820−1
=39.7%
25某人需要800元借款,有以下两种方式偿还:
(1)只借800元,然后期末一次偿还900元;
(2)先借1000元,期末偿还1120元。
如果最小可接受的利率为10%,分析其选择。
解:
对于第一种方式,期末的现值为:
800(1+10%)−900=−20元
对于第二种方式,期末现值为:
1000(1+10%)−1100=−20元
所以两种方式是等价的。
此题有待讨论。
26保险公司将寿险保费的收入建立基金,年底计息。
受益人可以在今后10年
的每年底从基金中取款,若保单的最低年利率为3%时,每年的取款金额为
1000元。
然而,保险公司的基金投资利率为:
前四年4%,后六年5%。
因而,
实际取款金额为:
Wt=
Ft
¨a11−tp3%¬,t=1,2,...,10
其中Ft表示基金在时刻t(t=0去掉,1,2,...,10)的余额。
计算W10。
解:
由递推公式
Wt=
Ft
¨a11−tp3%¬,Fn+1=Fn−Wn
整理得
Ft+1=Ft・1.03+・・・+1.0310−t
1+1.03+・・・+1.0310−t,t=1...9
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F10=F1×1.039
1+1.03+・・・+1.039
=1000רa10p3%¬×1.039
¨a10p3%¬
=1000×1.039
=1304.77
W10=
F10
¨a1p3%¬=1304.77元
与原答案有出入。
27某基金在1月1日的余额为273000元,在12月31日的余额为372000元。
该
基金一年的利息收入为18000元,收益率6%。
计算平均的存取款日期。
解:
由题意有
A=273,000B=372,000I=18,000
C=B−A−I=81000
i=
I
A+C(1−t)
=6%
∴t=
2
3
所以平均的存取款日期是9月1日。
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28某基金的投入为连续方式,起始余额为1,t时刻的投入为1+t,利息力函数
为(1+t)−1。
计算n年末的终值。
解:
期初的现值为:
a(n)=a(0)+
∫n
0
(1+x)exp{−
∫n
0
(1+t)−1dt}dx
=1+
∫n
0
(1+x)・1
1+x
dx
=1+n
n年末的终值为
AV=a(n)・exp{
∫n
0
(1+t)−1dt}
=(1+n)・(1+n)
=(1+n)2
29某基金在1991年和1992年间的运作情况如表3-14所示。
用时间加权法计
算这两年的收益率。
表3-14
日期1/1/911/7/911/1/921/7/921/1/93
基金价值/元1000000131********00015400001420000
投入/元250000250000
取出/元150000150000
解:
根据题意,所求收益率为:
(
131−25
100
×126.5+15
131
×154−25
126.5
×142+15
154
)
1
2−1=9.10247%
应注明投资和支取是在计算余额前投入的!
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30某互助基金的初始单位价值为10000,在随后的5年底的价值为:
11710元,
12694元,14661元,14148元和16836元,有三个投资者A、B和C,投资
情况如表3-15所示。
(1)用时间加权法计算该基金在5年中的年平均收益率;
(2)用资本加权法计算每个投资者在5年中的年平均回报率。
表3-15
时间第1年底第2年底第3年底第4年底第5年底
A10002000300040005000
B30003000300030003000
C50004000300020001000
解:
(1)有资本加权法有:
(1+i)5=
11710
10000
×12694
11710
×14661
12694
×14148
14661
×16836
14148
∴i=10.99%
(2)对于投资者A,
B0=0
B1=C1=1000
B2=B1×12694
11710
+C2=3084.03
B3=B2×14661
12694
+C3=6561.92
B4=B3×14148
14661
+C4=10332.31
B5=B4×16836
14148
+C5=17295.36
C1(1+r)4+C2(1+r)3+C3(1+r)2+C4(1+r)+C5=17295.36
解得:
r≈10.60%
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对于投资者B,
B0=0
B1=C1=3000
B2=B1×12694
11710
+C2=6252.09
B3=B2×14661
12694
+C3=10220.89
B4=B3×14148
14661
+C4=12863.25
B5=B4×16836
14148
+C5=18307.16
C1(1+r)4+C2(1+r)3+C3(1+r)2+C4(1+r)+C5=18307.16
解得:
r≈9.98%
对于投资者C,
B0=0
B1=C1=5000
B2=B1×12694
11710
+C2=9420.15
B3=B2×14661
12694
+C3=13879.86
B4=B3×14148
14661
+C4=15394.19
B5=B4×16836
14148
+C5=19318.96
C1(1+r)4+C2(1+r)3+C3(1+r)2+C4(1+r)+C5=19318.96
解得:
r≈9.68%
北京大学数学科学学院金融数学系第14页_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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