基于CAPM模型的零β资产组合与有效集的界定问题.docx
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基于CAPM模型的零β资产组合与有效集的界定问题
南京理工大学理学院
研究生课程研讨
课程名称:
组合投资学
任课教师:
赵培标
研讨题目:
基于CAPM模型的零β资产组合与有效集的界定问题
小组名:
张春雷
成绩:
目录
绪论………………………………………………………………………3
一、Markowitz模型简述……………………………………………4
1、Markowitz模型的提出…………………………………………………4
2、Markowitz模型的假设…………………………………………………4
3、投资组合有效集…………………………………………………………44、Markowitz模型的意义与缺陷…………………………………………6
二、CAPM模型简述……………………………………………………7
1、CAPM模型的改进之处…………………………………………………7
2、资本市场线………………………………………………………………7
3、证券市场线……………………………………………………………84、CAPM模型的不足………………………………………………………8
三、零β模型………………………………………………………10
1、不含无风险资产的CAPM模型:
零β模型……………………………10
2、零β资产组合是否有效………………………………………………103、无风险借贷的其他假设………………………………………………11
参考文献………………………………………………………………11
绪论:
问题的提出
证券及其它风险资产的投资曾经有两个核心问题需要解决:
即预期收益与风险。
那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。
正是在这样的背景下,在50年代和60年代初,马科维茨理论应运而生。
20世纪60年代,夏普、林特和莫森在Markowitz模型的基础上加以改进,分别于1964、1965和1966年提出了资本资产定价模型(CAPM)。
之后,罗斯在1976年提出了套利定价模型,认为资本资产的收益率是各种因素综合作用的结果,并不仅仅只受证券组合内部风险因素的影响。
套利定价理论用套利概念定义均衡,不需要市场组合的存在性,而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。
本文主要有两个目的。
首先是对Markowitz、CAPM模型做一个简单的介绍,讨论其优缺点及脉络发展进程。
其次是讨论基于CAPM模型的零β证券组合是否在有效集内。
一、Markowitz模型简述
1、Markowitz模型的提出
马科维茨之前,投资顾问和基金经理们尽管也会顾及风险因素,但由于不能对风险加以有效的衡量,也就只能将注意力放在投资的收益方面。
马科维茨首先提出要综合考虑风险和收益。
他的理论包含两个重要内容:
均值—方差分析方法和投资组合有效边界模型。
马科威茨用投资回报的期望值(均值)表示投资收益(率),用方差(或标准差)表示收益的风险,解决了对资产的风险衡量问题,并认为典型的投资者是风险回避者,他们在追求高预期收益的同时会尽量回避风险。
2、Markowitz模型的假设
经济学中最基础的两个假设是资源稀缺型以及理性人。
理论假设是研究社会科学时提取问题变量的一种方法,用来帮助剔除理论模型中不必要的变量,简化模型,保留问题的本质和研究重点,方便人们对事物进行研究。
为了分析投资组合风险和收益的关系,马科维茨同样也做了一些必要的假设。
Markowitz模型的主要假设:
(1)市场有效,每个投资者都充分掌握信息,了解所有的期望收益率及方差;
(2)每种证券的收益率都服从正态分布;
(3)各种证券收益率之间是关联的,且服从联合状态分布;
(4)投资者是风险厌恶型的;
(5)投资者以期望收益率和方差作为依据选择投资方案,且期望收益率和方差之间存在正相关关系;
(6)资本市场没有摩擦;
(7)个人资本无限可分;
(8)投资者可以以无风险利率借入和贷出任何款项。
马科威茨模型的假设表明:
第一,投资者是理性的,他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化,或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化;第二,资本市场是完全有效的市场,没有任何磨擦阻碍投资。
3、投资组合有效集
设证券组合P的权数向量为X=(x1,x2,……,xn)T,收益率向量为R=(R1,R2,……,Rn)T,
是第i种资产的预期收益率;
是n种资产间的协方差矩阵;
和
分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
经典马柯维茨均值-方差模型为:
为了简化问题,我们先讨论两种证券的Markowitz模型。
假设证券A和证券B构成组合P,投资比重分别为xA和xB,xA+xB=1,ρAB是两个证券之间的相关系数,根据均值—方差模型有:
E(rp)=xAE(rA)+xBE(rB)
(1)当ρAB=1时,E(rp)=
+
,由函数可知,E(rp)和
构成一条正斜率(由风险和收益成正比可知)直线。
(2)当ρAB=0时,
,这是一条双曲线。
(3)当ρAB=-1时,
,证券A和证券B完全反向变化,在坐标系中是一条直线。
此时,若使得
,
,可得
,即证券A和证券B正好形成一个无风险组合。
图1不同相关系数的投资组合线
因为相关系数的变化范围在[-1,1]之间,所以可预见投资组合线是一条经过A、B两点的双曲线。
ρAB越小,弯曲程度越大;随着ρAB的增大,弯曲程度降低。
即证券间的相关性越小,证券组合创造的潜在收益越大,风险越小。
推广到多种证券,每增加一个证券,新的投资组合线就会左移。
可以这样解释,在同样的收益下,若是新增一个证券,投资组合的风险反倒增加了,那么我又为什么要增加这一个证券呢。
即新增证券是为了让我收益增大或是风险减小。
图2多种证券的可行域
上图中,最左侧的曲线是投资组合线,阴影部分是投资组合的可行域,也叫机会集。
图3投资组合有效边界
作一平行于纵轴,且与投资组合线相切的切线,其切点就是全局最小方差组合(英文缩写是MVP)。
投资组合线在最小方差点以上的部分就是著名的Markowitz投资组合有效边界,对应的投资组合称为有效投资组合。
投资组合有效边界是一条单调递增的凹曲线。
4、Markowitz模型的意义与缺陷
马科维茨的风险定价思想和模型具有开创意义,不仅揭示了组合资产风险的决定因素,而且更为重要的是还揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论。
它奠定了现代金融学、投资学乃至财务管理学的理论基础。
不过这种理论也有缺点,就是他的数学模型较为复杂,要求计算所有资产的协方差矩阵,不便于实际操作。
数据误差带来的解的不可靠性,以及解的不稳定性限制了马考威茨模型在实际制定资产配置政策方面的应用。
另外,Markowitz模型没有考虑无风险资产和现金。
二、CAPM模型简述
1、CAPM模型的改进之处
资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel简称CAPM)是由美国学者夏普、林特尔、特里诺和莫辛等人在Markowitz理论的基础上发展起来的。
夏普的CAPM模型的进步之处在于:
一是提出了系统风险和非系统风险的区别。
系统风险是市场中无法通过分散投资来消除的风险。
非系统风险也被称做为特殊风险,是属于证券的自有风险,投资者可以通过变更证券投资组合来消除。
二是用β系数替代了方差,作为度量资产风险的指标,大大简化了Markowitz模型中风险值的计算工作。
β系数表示了资产的回报率对市场变动的敏感程度,可以衡量该资产的不可分散风险。
2、资本市场线
设证券组合P中,A是所有风险证券的组合(根据Markowitz模型可知其图形是一个曲线),f是无风险证券,:
E(rp)=xAE(rA)+(1-xA)Rf
所以
结合无风险借贷和Markowitz模型,从Rf引出一条线与投资组合线A连接。
为了追求最佳收益,射线移动直至与投资组合线A相切。
所有合乎理性的投资组合都是市场组合M和无风险证券f的一个线性组合,而所有这样的线性组合构成了资本市场线,即射线RfMP。
图4资本市场线
资本市场线:
资本市场线认为期望收益率由两部分构成:
一部分是无风险利率,它是由时间创造的,是对放弃即期消费的补偿;另一部分是
,是对承担风险的补偿,其中的系数
代表了对单位风险的补偿,通常称之为风险的价格。
3、证券市场线
夏普以β系数代替标准差,证券市场线方程如下:
其中:
E(ri)是资产i的预期回报率,rf是无风险利率,βim是资产i的系统风险系数,E(rm)是市场m的预期市场回报率,E(rm)−rf是市场风险溢价。
图5证券市场线
证券市场线表明:
(1)风险资产的收益高于无风险资产的收益率;
(2)只有系统性风险需要补偿,非系统性风险可以通过投资多样化减少甚至消除,因而不需要补偿;(3)风险资产实际获得的市场风险溢价收益取决于βi的大小,βi值越大,则风险贴水
就越大。
βi系数值小于1证券组合称为防御性证券组合;βi系数值大于1的证券组合称为进取性证券组合。
4、CAPM模型的不足
模型限制首先是模型的假设方面有很多与实际不符,这是为人诟病的一个方面。
比如说假设交易没有摩擦,但实际状况中有交易成本,资讯成本及税等;假设借贷利率相等,但实际情况为借钱利率大于贷款利率。
在CAPM里,最难以计算的就是Beta的值。
法玛和弗兰奇经过实际调查发现:
在长时期里Beta值并不能充分解释股票的表现。
单个股票的Beta和回报率之间的线性关系在短时间内也不存在。
CAPM不是一个完美的模型,但它在投资界仍然被广泛的利用。
虽然用Beta预测单个股票的变动是很困难,但是投资者仍然相信Beta值比较大的股票组合会比市场价格波动性大,不论市场价格是上升还是下降;而Beta值较小的股票组合的变化则会比市场的波动小。
对于投资者尤其是基金经理来说,这点是很重要的。
1976年,针对CAPM模型所存在的不可检验性的缺陷,罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型,即APT模型。
该模型直接导致了多指数投资组合分析方法在投资实践上的广泛应用。
三、零β模型
1、不含无风险资产的CAPM模型:
零β模型
假设没有无风险证券,有效边界上M点表示市场组合,在点M处作有效边界的切线,与纵轴相交,再由此交点作水平线与最小方差曲线交与Z点,该点期望收益率为E(RZ)。
Z点就是零β证券组合。
图6不含无风险资产的CAPM模型
零贝塔模型的核心是假设无风险资产不存在,任意一种资产组合可以由两个有效前沿上的资产组合表示,而对于市场组合M,总存在与之协方差为0的资产组合Z,那么就可以用E(RZ)来代替无风险资产。
零贝塔证券组合的协方差与市场证券组合的协方差完全不相关,从而它们之间的协方差也等于零。
2、零β资产组合是否有效
如图,我们用s表示全局最小方差组合,M表示市场组合,假设Z点在有效集内,则最小方差组合可以用Z点和M点表示:
由于这两个资产的协方差为0,所以没有协方差项。
由于s是全局最小方差组合,所以对
求导,令其导数为0可求得s的资产权重。
所以
解得:
从上述结果可知,零β资产组合和市场组合的权重必然都是正数。
因为
,所以最小方差组合的期望收益率必然大于RZ,小于RM。
图7零β资产组合
如图可知,最小方差组合的期望收益比Z高,方差比Z小,因此Z不可能位于全局最小方差组合上方的有效集内。
结论就是零β资产组合不可能是有效的。
3、无风险借贷的其他假设
如果对CAPM模型的假设条件进行修改或放宽,会有很多值得我们研究的方向。
单纯无风险借贷一项就有几种不同的情况。
比如上面介绍的是不含有无风险借贷的情况。
在现实生活中存在的一种情况是借款利率大于贷款利率。
此时,我们得到的资本市场线可能是一段三截组成的折线。
此外还可以假设存在无风险贷出,但没有无风险借入,这种情况也是相对符合实际的一种情形。
还可以考虑当无风险借贷是以不同利率进行时,投资者面临的有效边界是否还会一样。
而我们需要做的就是选择一个自己感兴趣的方向,阅读文献,不断钻研,最终做出一些自己的成果。
参考文献:
[1]曹志广、韩其恒著.《证券投资组合》.上海:
上海财经大学出版社,2005.8;
[2](美)埃尔顿(Elton,E.J.)等著,余维彬译.北京:
机械工业出版社,2008.1;
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- 关 键 词:
- 基于 CAPM 模型 资产 组合 有效 界定 问题