三角形中线等分面积的应用.docx
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三角形中线等分面积的应用
(用含占的代数式表示〉,并写出理由;
例说三角形中线等分面积的应用
如图1,线段AD是ZkABC的中线,过点A作AEXBC,垂足为E,则Sa.«o=-BD•AE>
2
Sa.wc=-DC•AE,因为BD=DC,所以S△卿=SZUDC。
因此.三角形的中线把2
AABC分成两个面积相等的三角形•利用这一性质,可以解决许多有关面
积的问题。
求图形的面积
例1.如图2.长方形ABCD的长为a.宽为b,E、F分别是BC和CD的中点,DE、BE交于点G,求四边形ABGD的面积.
分析:
因为E、F分别是BC和CD的中点,则连接CG后,可知GF、
GE分别是△DGC、△BGC的中线,而由Sabcf=Sadce=—,可得Sabeg
4
=Sadpg.所以△DGF.ACFG.△CEG、ZkBEG的面积相等,问題得解。
从而得SabBG
M:
连接CG,由E、F分别是BC和CD的中点.所以Sabcf=Sadce=—
4
可得△DGF、△叽△曲△BEG的面积相等且等于存讐巻,因此“和
ablab
8GD=ab—4X—=o
123
例2、在如图3至图5中,△血r的面积为占.
(1)如图2,延长△朋C的边BC到点D,镇CXBC、连结场.若△彳仞的面积为S,则S二(用含占的代数式表示);
(2)如图3,延长△/应的边BC到点D,延长边以到点£使锯血力住6X连结DE.若△磁的面积为乩则Sr
(3)在图4的基础上延长川?
到点斤使.B阿B,连结血FE、得到△财(如图6).若阴彩部分的面积为则®乞.(用含目的代数式表示).
发现:
像上面那样•将各边均顺次延长一倍,连结所得端点,得到△财(如图6),
此时,我们称△川滋向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△奶的面积是原来面积的.倍.
应用:
去年在面积为Win'的△儿%'空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,把△川滋向外进行两次扩展,第一次由△月滋扩展成第二次由△DEF扩展戍△MG打(如图5).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少
分析:
从第1个图可以发现AC就是△川妙的中线,第2个图通过连接DA,可得到△ECD的中线DA,后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三漳形的中线,从而求出扩展部分的面积,发现规律。
解:
(1)由CD=BC,可知AC就是△/L妙的中线,中线机将△彳切的分成两个三角形△ABC、△ACD,这两个三角形等底等高,所以它们的面积相等;所以S产目;
(2)若连接DA,则DA就是△ECD的中线,中线AD将ZiECD分成△CDA、AEDA,它们的面积相等;所以£=2呂;
(3)根据以上分析,可知△BFD、△CED、△EAF面积都为
2日;所以$吒占:
发现:
由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是Sadef=
$+Saa沪6护沪7@;即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍。
应用:
由以上分析可知
扩展一次后S爲|=7自,
扩展二次后S轧皆S感i=7'c?
»
扩展三次后S加曲建2=7咕,
拓展区域的面积:
(严一])X10=480Cm-)
说明:
本题是从一个简单的图形入手,逐步向复杂的图形演变,引导我们逐步进行探索,探索出有关复杂图形的相关结论,一种思想方法:
从特殊到一般的思想。
所以我们在平时的学习中,法,使自己的思维不断升华。
二、巧分三角形
这是我们研究数学问题的要注意领会数学思想和方
例3、如图7,已知△ABC,请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:
2:
3的三个三角形.
分析:
可以把三角形先两等份,再把其中一个再两等份,所以联想到作三角形的中线。
韓方和取BC的中点E,然后在旺上取点D,使BD目E,则AD、AE把△就分成面积之比为1:
2:
3的三个三角形(如图8)•
方法2:
在BC边上截取DJBC,连结心然后取AB的中点P,连结BP3则△吨
△PAB、△PBC的面积之比为1:
2:
3(如图9)•
想一想:
方法2中.这三个三角形的面积之比为什么是1:
2:
3
二、巧算式子的值
例2在数学活动中,小明为了求丄+吕+-^+4»+…+三的2,22
值(绪果用n表示),设计了如图10所示的几何图形•请你利用这个几何图形求尹尹尹尹...+刁的值.
分析:
由数据的特征:
后面的数为前面一个数的一,联想到将
2
三角形的面积不断的平分,所以可以构造如图10的图形进行求解。
解:
如图10,设大三角形的面积为1,然后不断的按顺序作出各个三角形的中线,根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知,图中三角形除了最后一个小三角形.其余部分的面积为-+去+尹+尹+…+尹+刁「
因此刁+去+去+去+…一
说明:
此题运用“数形结合思想",借助三角形的面积来求数的运算,简捷.巧妙.
三角形内角和定理及外角性质的应用
三角形三个内角的和等于180°,这是三角形內角和定理.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内窟的和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个內角,这是三角形外命性质.
下面以例说明.
三角形内角和定理及外角性质应用广泛,
一、求三角形的内角
ZU80°,则Z力的度数为()
60。
例2(08太原)在△旳%'中,Z伕40。
A.30°B.40"C.50°D.
答案选D.
解:
由三角形内角和定理,得Z朋180°-Z沪ZU18Cr-40°-80°=60。
例3(08东营)如图1,已知ZriOCr,Z2-140",那么Z3二•
解:
Z4-180"-Z1二180°-100°=80°,
Z5二180°-Z2=l80°-140°=40",
由三角形内角和定理,得L
Z3二180°-Z4-Z5=18Cr-80°-40"=60°,答案选D.®I
说明:
在求出Z4=80"后,也可根据三角形外角性质,得Z2二Z4+Z3,所以Z3=Z2-Z4二140°-80°二60°•
二、判断三角形的形状
例1(08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:
3:
7,这个三命形一定是()
A.直角三垢形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
解:
设三个内角分别为2R,3匕5A,由三角形内角和定理,得
2A+3/5A=180°.解得,所以2A=30",3扫45°,7A=105°■所以这个三角形是钝角三角形,答案选C.
三、求角平分线的夹角
例4(08沈阳)已知△川%中,Z朋60°,ZABC、Z应3的平分线交于点Q则上宓
的度数为—-
解:
如图2,由E0平分ZABG得Z1--ZJ^:
2
所以Z1十Z2=-(Z/f%+Z/f05)=-(18(r-Z/0
22
=-(180"・60°)=60"•
2
四、求三角形的外角
例5(08贵州)如图5,直线Z〃/2.M丄儿垂足为2腮与直线<2相交于点G若
Z1=30",则Z2二.
解:
如图6,延长川9交A于点£
得Z做=Z3・
因为1\叫由两直线平行,内错窟相等,
由朋丄人得Z3=90。
•所以ZBEOgy•
+30°=120°•
由三角形外角性质,得乙2二乙BEOZl=90o
说明:
本题也可延长伪交Z于点斤构造△阙进行求解,完成请同学们完成.五、比较角的大小
例5(08凉山)下列四个图形中Z2大于ZI的是()
D
BC
c
解:
力选项中,利用两直线平行,内错角相等及对顶角相等,可得Z1=Z2;5选项,根据三)^形的外角性质,可得Z2大于Z1.C选项中的Z2与Z1的大小关系无法确定:
D选项中,由对顶命相等,可得ZUZ2.答案选B.
全等三角形水平测试
(1)
湖北薛建辉
一.试试你的身手
1.如图所示,沿直线力C对折
2.如图所示,'ACB^'DEF.其中/与从C与E是对应顶点.则必的対龟边是
Z/IBC的对应角是
3.△朋C和△/VBC中,若AB=,BC=B'C.则需要补充条件
AABC=A4W*
可得到
C
4.如图所示,AB、少相交于a且AO=OB.观察图形,图中已具备的另一相等的条件是__..,联想到SAS,只需补充条件…,则有△血
5.如图所示,有一块三角形镜子,小明不小心破裂成I、H两块,现需配成同样大小的一
块.为了方便起见,需带上,.块,其理由是
6.如图所示,若只有加/丄別于点〃这个条件,要证2\力別倉2\^^,则需补充的条件是
或或
7.如图,在中,ZQk>6(r,将绕着点/!
顺时针炭转40。
ZBAE的度数为、
E
二、相信你的选择
1.下列说法:
①全等三角形的形状相同;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长-面积分别相等,其中正确的说法为(〉
是,/IC的对应边是
A.®@@®B.®@®
2.下列结论错误的是()
A.全等三角形对应角所对的边是对应边
B.全等三角形两条对应边所夹的是对应角
C.全等三角形是一个特殊三角形
D.如果两个三角形都与另一个三角形全等,那么这两个三角形也全等
3.下面各条件中,能使△彳应也△财的条件的是()
A.AB=DE、ZA=ZD,BC=EF
0.AB=EF.ZA=ZD,AC=DF
C
7.如图,AB=DB.BC=BE、欲证£:
^ABC^\DBC、则需补充的条件是(
A.ZA=ZDB.ZE=ZC
三、挑战你的技能
1.如图,若ZDAAZCBA,请你再添加一对相等的条件,使△旳519竺并说明三角形全等的理由•
2.
(1)完成下面的证明:
如图,AB=AC,E,尸分别是力C用?
的中点,那么ZL4邂△/!
加证明:
V&F分别是AC,AB的中点,
AAE=-AC.AF=-AB(
22
VAB=AC.:
.AE=AF
在△ABE和△ACF中
(2)根据
(1)的证明,若连结请证明:
△胡空△应8
3.
如图,已知:
BADF、AE=CF,AE"CF.求证:
AD〃BC.
4.
如图,已知:
CE丄AD于E、BF丄AD于人(I)你能说明△砂和於全等吗
(2)若能,请你说明理由,若不能,在不用增加辅助线的情况下,请添加其中一个适当的条件,这个条件是,来说明这两个三命形全等,并写出证明过程-
4.拓广探索
飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时,在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘,经分析判断很可能是一座王储陵墓,由于条件限制,无法直接度量乩*两点间的距离,请你用学过的数学知识,按以下要求设计测量方案•
(I)画出测量方案
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)
參考答案:
三、1.需要再添加的条件为JZDBA二Zbk?
(於力)或乙DABZCBD或/IZXr(S?
fS)
2.
AE=AF{已证)
(I)中点定义,5
ZA=ZA(公共角),(SAS)
qB=4C(已知)
(2)
证明:
-^ABE=AACF,•••BE=CF;又•.•E,F分别为AC,AB的中点,
.•.EC=^C,Bp,"—EC”在△嘶和△心中,
fBE=CF,
BC=CB.••△EBC込FCB•
EC=FB3.证明:
-AE//CF,•••ZAEB=ZDFC、A180-ZA£B=180-ZDFC.
•••/AED=ZBFC・•:
BE=DF,:
.BE-EF=DF-EF...BF=DE.
iAE=CF.
在△&/)£;和△CBF中,\
ZAED=ZBFC..SDE込CBF,二ZADE=乙CBF,
DE=BF
•••AD//BC・
4.
(1)不能,
(2)添加的条件为:
B也DC或D&DE或BWCE.选:
B卜DC.
证明:
:
CE丄AD,BF丄AD,•••ZCED=ZBFD=90、
ZCDE=ZBFD(lL证)
在△C£D和△BFD中,
ZCDE=ZBDF(对顶角相等),:
.MED也BFD.
CE=BD
四、
(1)如图所示
(2)在地上找到可以直接到达点水〃的一点0在应?
的延长线上取一点以,并测得Q创,在旳的延长线上取一点在,并测得妙防,这时测得m的长为儿则710的长就是乩
(3)
理由:
由测法可得.QOt
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- 三角形 中线 等分 面积 应用