李庆扬数值分析第五版和习题答案解析.docx
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李庆扬数值分析第五版和习题答案解析
第5章
复习与思考题
1用高斯消去法为什么要选主兀?
哪些方程组可以不选主兀?
答:
使用咼斯消去法时,在消元过程中可能出现a:
0的情况,这时消去法无法进行;即
时主兀素a:
0,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重增长和舍入
误差的扩散,最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主兀,以保证计算的进行和计
算的准确性。
当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。
计算时一般选
择列主元消去法。
2、咼斯消去法与LU分解有什么关系?
用它们解线性方程组Ax=b有何不同?
A要满足什
么条件?
答:
高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个
为上二角矩阵U,—个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。
A需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,…,n-1)不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比,有什么优点?
楚列斯基分解是LU分解的一种,当限疋下三角矩阵L的对角兀素为正时,楚列斯基分解具
有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解?
为什么说平方根法计算稳定?
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中兀素的数量级不会增长,切对角兀素恒为正数,因此,是一个稳定的
算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定?
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量数?
给出三种常用的向量数。
向量数定义见p53,符合3个运算法则。
正定性
齐次性
三角不等式
设x为向量,则三种常用的向量数为:
(第3章p53,第5章p165)
n
llxlli|Xi|
i1
n1
l|x||2(Xi2)2
i1
iixiimaxiXii
7、何谓矩阵数?
何谓矩阵的算子数?
给出矩阵A=(aij)的三种数||A||1,||A||2,||A||
「IIAli与IIAl2哪个更容易计算?
为什么?
向量数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子数有
I|A||i
I|A||2
I|A||
从定义可知,||A||i更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数?
如何判断线性方程组是病态的?
答:
设A为非奇异阵,称数cond(A)v||A^||A|v(v1,2,)为矩阵A的条件数当cond(A)》1时,方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异?
(1)矩阵行列式的值很小。
(2)矩阵的数小。
(3)矩阵的数大。
(4)矩阵的条件数小。
(5)矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
(1)、
(2)注:
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确:
(1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
答:
错误,主元位置可能为0,导致无法计算结果。
(2)对称正定的线性方程组总是良态的。
答:
正确。
(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答:
正确。
(4)如果A非奇异,则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答:
正确。
解释:
若A|b与A的秩相同,贝UA有唯一解。
若不同,则A无解。
(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。
(6)数为零的矩阵一定是零矩阵。
答:
正确。
(7)奇异矩阵的数--定是零。
答:
错误,||?
可以不为0。
(8)如果矩阵对称,则||A||1=IIA||…
答:
根据数的定义,正确。
(9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。
答:
错误,不选主元时,可能除数为0。
(10)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很小。
答:
错误。
对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。
(11)IIA||i=||AT|「。
答:
根据数的定义,正确。
(12)若A是nn的非奇异矩阵,则
1
cond(A)cond(A)。
答:
正确。
A是nn的非奇异矩阵,则A存在逆矩阵。
cond(A)H?
A1||
根据条件数的定义有:
condZ)|a1||?
||(a1)1||[aAIIAI||a|?
||a1|
习题
T
aiiai
1、设A是对称阵且aii0,经过高斯消去法一步后,A约化为1,证明A是对
0A2
称矩阵。
证明:
ai1ai2
…ain
设对称矩阵Aai2a22
...an2
则经过1次高斯校区法后,有
aina2n
...ann
ai1ai2
...
ain
ai2
ain
0a?
2—a)2
…an2
ai2
A⑴
a11
a11
ain
ain
0a2nai2
…ann
ai2
ai1
a11
a〔
1ai2■■-
ain
耳2
ai2
0
a22S|2■■■
an2一
ain
如
3ii
ain
ain
0
an2ai2■■■
ann
ain
ai1
a11
所以a:
[ai2...an2]
a22坐a12...a
ai2a
n2a1
n
aii
a11
A
......
...
ain
ain
an2—ai2...a
nnai
n
ai1
ai1
所以A2为对称矩阵。
2、设
A是对称正定矩阵,经过高斯消去法一
步后,A约化为A(aij)n,其中A(aj)n,
A
(a
(2))ni;
证明:
(1)A的对角兀素aii
0(i
1,2
打||,n);
(2)A2是对称正定矩阵;
(1)
依次取人(0,0,
0,1,0,
i
0):
i1,2,,n,则因为A是对称正定矩阵,
所以有aiixtAx0。
即A2是对称矩阵。
3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外,Lk和单位阵I相同),
即
i
I
叫i,ki
g,ki
求证当i,jk时,LklijLklij也是一个指标为k的初等下三角矩阵,其中lij为初等置换矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵。
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Uxd,其中U为三角矩阵。
(1)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法
(2)计算解三角方程组Uxd的乘除法次数
(3)设U为非奇异矩阵,试推导求U1的计算公式
本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始,逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。
解法,略。
6、证明:
(1)如果A是对称正定矩阵,则A1也是对称正定矩阵
(2)如果A是对称正定矩阵,则A可以唯一地写成ALtL,其中L是具有正对角元的下三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12x13x23x315
18x13x2x3
Xx2x36
并求出系数矩阵A
15
的行列式的值
12
3
3
A18
3
1
1
1
1
12
3
3
15
A|b
18
3
1
15
1
1
1
6
使用列主元消去法,
有
12
3
3
15
A|b
18
3
1
15
1
1
1
6
18
3
1
15
12
3
3
15
1
1
1
6
18
3
1
15
7
0
1
—
5
3
7
17
31
0
6
18
6
18
3
1
15
7
17
31
0
6
18
6
7
0
1
一・
5
3
18
3
1
15
7
17
31
0
—
6
18
6
0
0
66
66
21
7
A的行列式为
-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解
1
1
1
—x〔
—X?
—
X3
9
4
5
6
1
1
1
—x1
_x2
—
x3
8
3
4
5
1
_x1
x
2X3
8
2
本题考查LU分解。
解:
1
6
1
5
2
1
1
1
4
5
6
0
11
13
60
90
0
0
957
540
U
9、用追赶
法解
三对角方程
呈组
Ax
b,其中
2
1
0
0
0
1
1
2
1
0
0
0
A0
1
2
1
0
,b
0。
0
0
1
2
1
0
0
0
0
1
2
0
解:
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
(1)计算i的递推公式
1
G/bi
1/2
0.5
2
c2/(b2
a21)
1/
(2(
1)(
0.5))
2/3
3
5/假
a32)
1/
(2(
1)(
2/3))
3/4
4
C4/(b4
a43)
1/
(2(
1)(
3/4))
4/5
(2)
解Ly=f
y1
f1/bi
1/2
y2
(f2a2
yj/(b2
a21)
(0
(1)
(1/2))/
(2(
1)
(
as丫2)/©
(0
(
1)
(1/3))/(2
(
ys
a3
2)
(f3
0.5))
1/3
y4
(f4
a4ys)/(b4
a4
3)
(0
1)
(1/4))/(2
ys
(f5
asy4)/(bs
a5
4)
(0
1)
(1/5))/(2
1)
1)
1)
2/3))
3/4))
4/5))
1/4
1/5
1/6
(3)
UX=y
1/6
X4
y4
4X5
1/5
(4/5)
1/6
1/3
X3
y3
3X4
1/4
(3/4)
1/3
1/2
X2
y2
2X3
1/3
(2/3)
1/2
2/3
X5
y5
1/2)2/35/6
X1
y1
1X2
2(
10、用改进的平方根法解方程组
211x14
123x25。
131x36
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10723
x1_,x2_,x3
999
11、下列矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)?
若能分解,那么分解是否唯一。
1
2
3
1
11
1
2
6
A2
4
1,B
2
21,C
2
5
15
4
6
7
3
31
6
15
46
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的L矩阵(或
U矩阵)为单位三角矩阵,那么分解是唯一的。
同理可知,矩阵的LDU可分解条件也相同,
并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆,LU仍然可能存在。
实际上,如果一个秩为不为零,那么它就可以进行LU分解,但反之则不然。
解:
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为角阵的乘积,但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为乘积。
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为乘积,并且分解是唯一的。
12、设
k的矩阵的前k个顺序主子式
1,
1,
1,
0,
0,
5,
-10,所以A不能直接分解为三
0,所以B不能分解为三角阵的
1,所以C能够分解为三角阵的
0.60.5
A0.10.3,
计算A的行数,列数,2-数及F-数。
本题考查的是矩阵数的定义及求法
行数0.6+0.5=1.1
列数0.5+0.3=0.8
2-数的计算需要用到特征值,特征值的计算可以使用幕法进行计算,也可以直接求。
AA的最大特征值为0.3690
所以2-数为0.6074
F-数0.8426
13、求证:
(a)x
X|〔1叫X
(b)命IaIIf恻2IaL。
根据定义求证。
1x1
max
1in
XiIX1
n
Xi
i1
nmaxXi
1in
1AF
n
n
12
aj
ni,j1
|A
max(AA)
14、设PRnn且非奇异,又设|x|为Rn上一向量数,定义xp|Px。
试证明xp是R
pP
上向量的一种数。
根据向量数的定义来证明:
要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。
显然啊pMil0,网p||PCX|||c|||Px|||c制p、
||X1xdlpllP(XiX2)|||PXiPX2II||PXi||||PX2||||x』p||X2||p,从而||XIp是Rn
上向量的一种数。
15、设ARnn为对称正定,定义
1
XIa(Ax,x)2,
试证明|x||A是Rn上向量的一种数。
根据向量数的定义来证明:
要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。
1
显然HXL(Ax,x)2JxTAx0
11
CxA(Acx,cx)2、c2(xtAx)c(Ax,x)2cxa
1
|X|X2”a(A(X1X2),(X1X2))2X2)TA(NX2)
\X1TAX1、X2TAX2X1A|X2A
16、设a为非奇异矩阵,求证tmin弊
a1y0||y||
因为
A,|nJ;1”
"x0llxll
max
x0
|a1x||
ymaxX0i4i
1
AA1x
min
y0
闷iiy
所以得证
1
.IlAyll
All
一吧||y||
2
2,亠
17、矩阵第一行乘以一数,成为A,证明当
—时,cond(A)有取小值。
11
3
本题考查条件数的计算
cond(A)
a1
|IIaII
首先计算a的逆阵
A1
lAl
|3
|3
|3
,当
3,取得最小值为
|取值越大,则最小值为2
从而cond(A)
A1
A|
(-
2)max3
又当
2时,
cond(A)
(丄
2)
max3
2
3
(22)27
2时,
cond(A)
(丄
2)
max3
2
1
(—2)3
综上所述,cond(A)
7时最小,
这时11f,即
、10099
18、设A,计算A的条件数cond(A)v(v2,)
9998
由A100
99
99可知,A
98
98
99
99,从而
100
(A1)T(A1)
98
99
98
99
1940519602
AtA
99
100
99
100
1960219801
(A1)T(A
10099
9998
AtA
100
99
19405
19602
99
98
19801
19602
19602
19801
19801
19602
19602
19405
239206
19602
19405,
239206
可得IA|2[A1/J19603J384277608,从而
cond(A)2|A1制219603<38427760839206。
A]199,|A199,从而cond(A)||A]19919939601。
19、证明:
如果A是正交矩阵,则cond(A)21
若A是正交阵,则A1AT,从而ATAI,(A1)TA1AA1I,故|A||2卜丄1,cond(A)2||A^|J|A|21。
20、设A,BRnn,且?
为Rnn上矩阵的算子数,证明:
cond(AB)cond(A)cond(B)
cond(AB)||(AB)^||A^||b1A^||AB|||(||AHA)(|IbIIIIBII)cond(A)cond(B)
21、设Axb,其中A为非奇异矩阵,证明:
(1)ATA为对称正定矩阵;
(2)cond(ATA)(cond(A)2)2
x(AtA)x(Ax)tAxb20,所以AtA为对称正定矩阵。
(cond(A)2)2
max(AA)min(AAt)
由于AtA为对称正定矩阵,所以AaaA
cond(ATA)2||ata||2||(AtA)
max((ATA)T(ATA))\min((AtA)(AtA)t)
max((AAT)T(ATA))\min((AAt)(AtA)t)max(ATAAtA)\min(AAtAAt)
max(ATA)2\min(AAt)2max(AtA)min(AAt)
2
(cond(A)2)
第7章
复习与思考题
1•什么是方程的有根区间?
它与求根有何关系?
P213,若f(x)C[a,b]且f(a)f(b)0,根据连续函数性质可知f(x)0在[a,b]至少
有一个实根,这时称[a,b]为f(x)0的有根区间。
2•什么是二分法?
用二分法求f(x)0的根,f要满足什么条件?
P213
一般地,对于函数f(x)0如果存在实数c,当x=c时,若f(c)0,那么把x=c叫做函数f(x)0的零点。
解方程即要求f(x)0的所有零点。
假定f(x)0在区间(X,y)上连续,
先找到a、b属于区间(x,y),使f(a)f(b)0,说明在区间(a,b)一定有零点,然后求
f((ab)/2),现在假设f(a)0,f(b)0,ab
1果f((ab)/2)0,该点就是零点,如果f((ab)/2)0,则在区间[(ab)/2),b]有
零点,从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果f((ab)/2)0,则在区间[a,(ab)/2)]有零点,从①开始继续使用中点函数值
判断。
3这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间
的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。
4从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。
3•什么是函数(x)0的不动点?
如何确定(x)使它的不动点等价于f(x)的零点
P215.
将方程f(x)0改写成等价的形式x(x),若要求x*满足f(x*)0,则x*(x*);反之亦然,称X*为函数(X)的一个不动点。
4•什么是不动点迭代法?
(X)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
(x)的不动点
P215
求f(x)0的零点就等价于求(X)的不动点,选择一个初始近似值X。
,将它代入X(X)
的右端,可求得
Xi(Xo),如此反复迭代有
Xk1(Xk),k0,1,2,...,
(X)称为迭代函数,如果对任何X0[a,b],由Xk1(Xk),k0,1,2,...得到的序列
Xk有极限
则称迭代方程收敛,且X*(X*)为(X)的不动点,故称
Xk1(Xk),k0,1,2,...为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶?
如何衡量迭代法收敛的快慢?
如何确定
Xk1(Xk)(k0,1,2,...)的收敛阶
P219
设迭代过程Xk1(Xk)收敛于x(x)的根X*,如果当k时,迭代误差
ekxkx*满足渐近关系式
C,Cconst0e/
则称该迭代过程是p阶收敛的,特别点,当p=1时称为线性收敛,P>1时称为超线性收敛,
p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6•什么是求解f(x)0的牛顿法?
它是否总是收敛的?
若f(X*)0,x*是单根,f是光滑,证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:
当1f(Xk)11时收敛。
7•什么是弦截法?
试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2
计算量弦截法<牛顿法(减少了倒数的计算量)
8•什么是解方程的抛物线法?
在求多项式全部零点中是否优于牛顿法?
P229
设已知方程f(x)0的三个近似根,Xk,Xk,Xk,以这三点为节点构造二次插值多项式p
(x),并适当选取p2(x)的一个零点Xk1作为新近似根,这样确定的迭代过程称为抛物线法。
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618,小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9•什么是方程的重根?
重根对牛顿法收敛阶有何影响?
试给出具有二阶收敛的计算重根方法。
10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法?
它每步迭代要调用多少次标量函数(计算偏导数与计算函数值相当)
习题
1、用二分法求方程X2x10的正根,要求误差0.05。
[解]令f(x)X2x1,则f(0)1,f
(2)1,所以有根区间为0,2;
又因为f
(1)1,所以有根区间为1,2;
f(1.5)1.521.510.25,所以有根区间为1.5,2;
f(1
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- 李庆扬 数值 分析 第五 习题 答案 解析