测量平差概论测量及空间资讯学系.docx
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测量平差概论测量及空间资讯学系
測量平差概論
前言
高職土木建築科測量學及實習九八課綱,包含誤差理論與平差單元。
目前已有之教科書對於該單元之說明,或者偏重於艱深之理論,或者偏於一隅未能全面說明,不易為學生接受,甚而導致誤解。
本文省略理論推導,僅從簡易實例著手,廣泛說明誤差傳播及平差概念,重點放在觀念說明與簡易平差,希望能夠對技職院校之測量學與實習之教學有所助益。
對於作者疏漏之處,期望同行賢達給予指教。
致謝
本文承蒙矩陣出版公司打字排版,成大測量及空間資訊系同仁轉檔編輯,謹致十二萬分之謝意。
民國98年9月23日退休講師白巨川敬啟
測量實習2測量平差概論
一、實習項目:
1.求英制與公制長度之換算係數
2.誤差之意義
3.誤差傳播概論
4.測量平差概論
二、儀器工具:
一般文具行販賣之透明塑膠尺,長度30公分,刻註公分與英寸,每組同式2支。
四開圖畫紙一張,膠帶。
三、地點:
教室
四、觀念:
一般的測量學教科書,通常一開始就講授測量平差法,其實大部份學生都不知道何謂測量?
也還沒有親自測量,馬上就學一大堆測量平差的名詞與理論,學生,尤其高職一年級學生,更是難以理解,本文擬從數個簡單例子或實驗著手,引導學生入門。
1.打靶的例子
所謂百步穿楊與百發百中,似乎都是演義小說中的故事,實際情況是,神槍手以校正好的槍枝射擊,子彈多會密集於靶紙中央,且分佈之範圍甚小,如圖2-1(a)。
若槍枝的瞄準器偏了,則所有的子彈均會統一偏移,如﹙b﹚圖。
正確度高低低低
精密度高高低低
(a)(b)(c)(d)
[圖(a)、(b)各有10個彈著點,數目與圖(c)、(d)相同。
其實神槍手打靶時,某些彈孔幾乎完全重疊而難以辨別,且假設打靶過程中看不見彈著點。
]
圖2-1打靶的正確度與精密度
生手打靶,則彈著點就不會那麼集中於靶心,離散程度甚大,亦即分佈範圍較之於神槍手的為大,如(c)及(d)圖。
將打靶的例子引用於測量,觀測值如果靠近真值,叫做正確度高,(a)圖。
如果只是彼此靠攏,則叫做精密度高,(b)圖。
測量之要求為在正確度高之前提下,精密度亦高。
如果像(d)圖所示,所有彈著點分佈甚廣(精密度低),雖然他們的平均坐標接近原點(靶心),仍不能稱做正確度高。
2.威特T2讀數試驗
威特T2光學測微器經緯儀,度盤刻劃到20’,利用一系列之透鏡與稜鏡,將度盤直徑兩端之刻劃線合在一處讀數,一次讀數就相當於A、B游標取平均,20’÷2=10’,所以它的光學測微器讀數範圍僅需10’,最小刻劃間隔為1”,由於間隔還算大,有些測量教科書建議估讀到0.1”。
其實估讀到0.1”沒有實用價值,茲以試驗說明之。
首先將T2置妥,望遠鏡大約水平,固定水平及垂直制動螺旋,假設已用它瞄準一個目標,欲讀取水平度盤數值。
調整好水平度盤反光鏡,旋轉讀數目鏡環,使刻劃線及數字清晰。
順鐘向旋轉測微鼓,使刻畫線對齊,只讀秒數,且估讀至0.1”,逆鐘向旋轉測微鼓,使刻畫線錯開,再順鐘向旋轉測微鼓,使刻畫線對齊,讀數。
依照此種方式讀數共120次,每做20次休息數分鐘。
此種作業方式在於儘量排除某些不必要的誤差,試驗數據如表2-1。
(先讀到0.1”,最後計算說明讀到1”比較合理)。
表2-1威特T2讀數試驗
A
範
圍
上
14.4
15.4
16.4
17.4
18.4
19.4
20.4
21.4
22.4
23.4
↗
下
↙
14.5
15.5
16.5
17.5
18.5
19.5
20.5
21.5
22.5
23.5
B
觀測值ℓ
≦14”
15”
16”
17”
18”
19”
20”
21”
22”
23”
≧24”
C
次數m
0
0
1
8
29
44
22
13
2
1
0
D
誤差Δ
≦-5”
-4”
-3”
-2”
-1”
0”
+1”
+2”
+3”
+4”
≧+5”
觀測值總和〔ℓ〕=1·16”+8·17”+29·18”+44·19”+22·20”+13·21”
說+2·22”+1·23”=2290”
全部次數n=〔m〕=1+8+29+44+22+13+2+1=120
明平均值x=〔ℓ〕÷n=19.1”=19”
誤差Δ=觀測值ℓ-平均值x=B欄各值-19”
※因為讀數值分佈在16”~23”,間隔7”,所以平均值取19”,不取19.1”。
表2-2威特T2符合法讀數誤差分佈表
代表值ℓ
≦14”
15”
16”
17”
18”
19”
20”
21”
22”
23”
≧24”
誤差Δ
≦-5”
-4”
-3”
-2”
-1”
0”
+1”
+2”
+3”
+4”
≧+5”
次數m
0
0
1
8
29
44
22
13
2
1
0
頻率p
0
0
0.01
0.07
0.24
0.37
0.18
0.11
0.02
0.01
0
頻率密度
d(秒-1)
0
0
0.01
0.07
0.24
0.37
0.18
0.11
0.02
0.01
0
頻率=各組次數÷全部次數,(頻率總和=1.01
1)
說頻率密度=頻率÷組距,本例取組距為1”。
〔Δ²〕=1.(-3)²+8.(-2)²+29.(-1)²+44.0²+22.1²+13.2²
+2.3²+1.4²=178秒²
明σ={〔Δ²〕÷(n-1)}1/2={178÷(120-1)﹜1/2=±1.2”
σ=±1.2”即為(任何)一次讀數之中誤差
備1.表中120個讀數,Δ值從–3”〜+4”,跨距7”,Δ值所對應之ℓ為16”〜23”,在相同情況下,精度相等,所以每一個觀測值(讀數)ℓ之中誤差相等。
註2.在實際測量作業中,每一次瞄準目標通常只讀數1次(最多二次),中誤差±1.2”,所以讀到0.1”不合理。
使用T2讀數資料作直方圖,而作直方圖之基本要求為觀測值的總數要多,組距大小恰當,依組距分組之組數大約10個,最少6個,最多不要超過15個(6,10,15,為大約之數,請不要追究太多,若有興趣,請參考統計學)。
本試驗取組距1”,共有8組,依據表2-2取頻率密度d與誤差Δ作頻率密度直方圖,如圖2-2。
將各個直方柱頂點中央連線,即為頻率密度折線圖。
當觀測量總數加倍,組距由1”減半為0.5”,再作頻率密度折線圖…則其圖形將會趨近於圖中以虛線描繪之曲線圖。
而其極限之圖形就會趨近標準正態分佈密度函數之圖形,如圖2-3。
頻率頻率密度f(△)
0.400.40秒-1
0.300.30秒-1
0.200.20秒-1
直方圖
0.100.10秒-1
折線圖
15”16”17”18”19”20”21”22”23”觀測值ℓ
-4”-3”-2”-1”0”+1”+2”+3”+4”誤差Δ
圖2-2頻率密度直方圖、折線圖與曲線圖
標準正態分佈密度函數之曲線如圖2-3,在該函數
f(Δ)=(1/√(2π))e-Δ²/2曲線下之面積為機率。
(1)誤差Δ=a~b之機率為圖中深色之區域。
(2)誤差Δ=-σ~+σ(一倍中誤差σ)之機率為68.3%。
(3)誤差Δ=-2σ~+2σ之機率為95.4%。
(4)誤差Δ=-∞~+∞之機率為1。
機率密度
f(Δ)=(1/√(2π))e-Δ²/2
Δ=a之機率密度
反曲點Δ=b之機率密度
Δ
-σ+σab
圖2-3標準正態分佈密度函數
五、方法
(一)準備
1.將桌面整理乾淨,再將四開圖畫紙平鋪於桌面。
2.將一支透明塑膠尺翻面,並使英制刻劃的一側朝向自己(朝後),公制刻劃朝前。
3.用膠帶將該尺粘妥於圖畫紙中央,勿使鬆動。
膠帶宜貼在不礙事之處,勿貼在刻劃線上。
4.將第二支尺公制刻劃的一側朝前,且將該尺與第一支尺並排緊靠,使公分刻註的0與英寸刻註的0對齊。
5.再用膠帶將第二支尺貼牢。
(二)讀數
本次實驗係以英寸刻劃線為準,讀取對應之毫米(mm)數值,有兩種方式,甲式為尋找儘可能對齊之整數毫米,乙式為估讀到0.1mm,本次採取甲式,為了排除錯誤,宜在全尺多處觀察且讀數,一共測取11個數值,如表2-3。
表2-3英制尺換算公制尺之係數試驗
i
A
觀測值
改正數
v²
讀取值
導出值
v=x-ℓ
B
ℓ=B÷A
C=ℓ−x0
(mm/inch)²
mm/inch
吋
inch
mm
mm/inch
mm/inch
1
1½
1.5
38
25.33
0.03
0.01
0.0001
2
3
3.0
76
25.33
0.03
0.01
0.0001
3
3⅝
3.625
92
25.38
0.08
-0.04
0.0016
4
4½
4.5
114
25.33
0.03
0.01
0.0001
5
×
×
5.25
×
132
×
25.14
×
/
/
/
6
5.875
149
25.36
0.06
-0.02
0.0004
7
6.3125
160
25.35
0.05
-0.01
0.0001
8
7½
7.5
190
25.33
0.03
0.01
0.0001
9
9
9.0
228
25.33
0.03
0.01
0.0001
10
9¾
9.75
247
25.33
0.03
0.01
0.0001
11
10.9375
277
25.33
0.03
0.01
0.0001
令x0=25.3mm/inch
x=x0+Δx
=25.3+0.04
=25.34mm/inch
[0.40]
Δx=0.40/10
=0.04
[0]
[0.0028]
σ=(0.0028/(10-1))1/2=±0.018mm/inch≈±0.02mm/inch
(三)計算
假設使用的二支尺完全相同,英制尺與公制尺刻劃均勻,以英制尺子之刻線為依據,即為表2-1中之A欄,找出公制尺之整數毫米(mm)數值,表中B欄數值為讀取值,再依B÷A=ℓ得導出值,例如第3個值25.38,以下之計算取導出值ℓ做為觀測值。
觀察表中11個ℓ值,其中第5個為25.14,相對於其他10個明顯偏小,可能在實驗之中發生錯誤。
重新觀察二支並列之尺子,發現讀錯,應為133mm。
在實際測量工作中,通常無法或不易還原現場重測更正,所以只要查出了錯誤,就將它刪除,只剩10個觀測量。
為了減化計算工作,可令x₀=25.3為轉換係數之近似值。
再令C=ℓ-x₀,將10個C值相加得0.40,被10除得Δx=0.04,求得換算係數x,
x=x₀+Δx=25.3+0.04=25.34mm/inch。
比較其他各組求得之值,應該各有差異。
已知其精密值為25.40mm/inch,本次實驗所得之值較小。
因為文具行所販賣之尺子僅供一般文書之用,不需非常精密。
所以,即使測取非常多次的B值,推算ℓ值,進而求換算係數x,也無法求得精密值25.40mm/inch。
如果到精密機械工具商店購買比較精密的公制尺與英制尺,並利用放大鏡,採用估讀到0.1mm之方法測取B值…,最後求得之x值才有可能接近25.40mm/inch。
六、注意事項
1.有些尺子的刻劃間隔不夠均勻一致,如果可以很明顯感覺出來,則不要使用這種尺子。
2.觀察刻劃線有無對齊(方式甲)或者估讀到0.1mm(方式乙),眼睛要在刻劃線之正上方,不可偏斜,因為偏斜觀看時會發生「視差」,導致觀察的誤差。
七、討論
1.參閱表2-1,假若另外一位測量員乙試驗之數據如下:
讀數代表值ℓ為15”、16”、…、23”,次數各為1、2、10、31、41、23、9、2、1,試求平均值x及一次觀測之中誤差σ。
(答:
x=18.9”=19”,σ=±1.3”)
2.承第1題,比較第1位與第2位測量員的讀數中誤差σ,何者較大?
何者技術比較差?
(答:
乙的較大,乙的技術稍差,但是不明顯。
)
八、附錄—測量平差概論
測量平差法是測量學體系中之專業科目,詳細內容及理論推導請參閱測量平差法及統計學。
本文僅摘錄一些必要之原理及公式,配合有關的例題說明,希望學生能夠學得一點平差的基本能力。
以下共分三大節,誤差、誤差傳播概論及測量平差概論,依序說明之。
(一)誤差
所謂測量,就是測量人員採用適合的儀器工具,依據適當的方法,在有關係的環境或場合,測量長度、角度、距離及速度等謂之測量。
所以測量人員、儀器與環境三者,都對測量成果的精度產生影響,也就是誤差會伴隨著測量而來。
1.誤差的來源
測量發生了誤差甚至錯誤,測量人員都會責怪儀器、環境與別人,其實自己的責任更大。
a.人為誤差
前面已提過使用T2讀數,重複讀數多次各有不同,分佈在16”〜23”,此為讀數所發生的誤差。
用英制與公制尺,求換算係數,將133讀成132,此為錯誤。
不論讀數的誤差或錯誤,主要來自測量人員的誤差。
b.儀器誤差
在求取英制與公制尺子的換算係數的例子,得到25.34mm/inch,此數值與標準值25.40mm/inch相差0.06mm/inch,此為儀器誤差所導致。
打靶的例子,如果瞄準器沒有校正,即使神槍手也會打偏,這就是儀器誤差所導致的後果。
c.環境所導致的誤差
氣溫升降會導致鋼卷尺本身漲縮,使得量距所得之讀數值隨之縮小增大。
夏天中午柏油路面上方的空氣,由於受熱而發生大氣躍動的現象,愈靠近路面躍動愈大,所以水準測量規定水準尺讀數不得小於0.300m,以減少環境的影響。
※計算誤差
採用近似方式或近似平差法亦會導致誤差,只要在容許範圍內則無礙。
2.誤差的種類
前面介紹了誤差的來源,要怎麼處理(或應付)才能使最後測量成果正確精密?
應該針對誤差的性質,也就是誤差的種類,分別處理。
誤差分為三類:
a.錯誤
錯誤幾乎全由測量人員疏忽而發生,例如將133mm看成132mm,或者心裏想著抄寫0.457,卻寫成0.475,…等。
欲防止或查出錯誤,可以採用重複觀測,至少觀測兩次,如果兩次觀測值之差異在規範以內,可以初步認定沒有錯誤。
也可採用多餘觀測,例如三角形內角和為180°,只要測了任意二角,第三個角就可依公式求得,可是只要有一個角測錯,第三角也可能跟著錯誤。
反之,如果三個內角都測,三個內角之和與180°之差異在規範以內,也可初步認定沒有錯誤。
總之,在測量作業中要儘量排除錯誤。
b.系統誤差
系統誤差對測量成果的影響甚大,測量人員、儀器與環境都可能導致系統誤差。
以鋼卷尺量距為例,每一支鋼卷尺出廠時都要附一份檢定表,註明在標準拉力與氣溫時,刻劃每5公尺處之對應實長,其間之誤差即為鋼卷尺本身之系統誤差。
在野外測量時之氣溫與拉力通常不是標準值,導致鋼卷尺之長度改變,此種改變係由環境所產生。
以卷尺量距讀數時,測量人員習慣性的偏大(或小),此為測量人員的系統誤差。
有些類型的儀器誤差,可以採用校正儀器的方式以消除之,例如水準儀視準軸誤差可以採用定樁法校正。
校正不完善的殘餘誤差,則可以採用適當的觀測方法,在測量過程中直接使之互相抵消。
例如水準測量使前後視等距,可以抵消水準儀的視準軸誤差。
又如地球曲率誤差,對水準測量也會產生影響,若使前後視等距,使它成為對稱型態的誤差,就可互相抵消。
電子測距時,如果使用不同廠牌的反射稜鏡或反射貼紙,就有稜鏡常數之問題,它是固定常數型態之系統誤差,可將它輸入電子測距儀內立即改正。
氣溫升降對鋼卷尺量距的影響為比例型態的系統誤差,通常在測量後計算改正。
如果在工地放樣,則需立即改正。
至於不規則的系統誤差,處理起來比較複雜…也有的以未知參數型態放在平差程式裏,多少吸收掉一些,降低它對測量成果之影響。
c.偶然誤差
偶然誤差不可依字面解釋成「偶然發生的誤差」,因為只要測量,就伴隨了誤差,所以「偶然」之本意為「不能確定」,亦即不能確定誤差之大小與正負,但是經由試驗與理論可知偶然誤差之特性。
參考T2讀數試驗所繪之誤差頻率密度直方圖及標準正態分佈密度函數之圖形,偶然誤差之特性如下:
(1)絕對值較小的誤差,出現的機率較大。
絕對值較大的誤差,出現的機率較小。
(2)絕對值相等的正誤差與負誤差,出現的機率相同。
(3)極大誤差出現的機率為零。
(4)當觀測次數無限增多時,所有偶然誤差的平均值趨於零。
在實際測量工作中,由於時間有限,不可能無限次的測量,那麼要測量幾次?
如何防止錯誤?
學者專家依據已有的測量經驗及理論,定出實用的測量規範,其中包括:
儀器精度之等級、重複測量的次數、容許誤差的數值大小…等。
只要依照規範施測,通常可將偶然誤差對測量成果之影響,控制在容許誤差以內。
3.真值與最或是值
測量員觀測某一水平角n次,ℓ₁,ℓ₂,…ℓn,在相同狀況下觀測,所以每個觀測值的精度相當,可取n個觀測值的平均值x,
……………………………………………
(1)
其中符號〔〕與
均為計算總和之符號,意義相同。
依偶然誤差之性質,當n趨近於無窮大時,所有偶然誤差之和之平均值為零,因此可得真值T
………………………………………………
(2)
式中:
T為水平角之真值。
為n趨近於無窮大取極限。
由於現實問題,例如時間有限,不可能測量無窮多次,儀器本身精度…等,因此無法得到真值T,通常只能依照公式
(1)求得平均值x,該值在測量平差法另有一個名稱,叫做「最或是值」,可認為最或是值接近真值。
4.真誤差,改正數與誤差
設T為真值,x為最或是值,二者詳細意義可參閱公式
(2)與
(1)。
為觀測值,εi為真誤差,νi為改正數,Δi為誤差,i=1〜n,茲規定:
真值=觀測值-真誤差
最或是值=觀測值+改正數
即
換個寫法,
比照真誤差之定義,規定誤差為:
誤差=觀測值-最或是值
即
Δi=ℓi−x……………………………………………………(3”)
有的教科書對於真誤差、改正數與誤差之定義,可能與公式(3')、(3”)差了+-符號,但是不會妨礙「中誤差」之計算。
5.中誤差σ
測量值ℓ1~ℓn,依據測量平差法理論,如果已經知道真值T,可得真誤差ε1〜εn,中誤差σ為
σ=(〔ε²〕/n)1/2……………………………………………………(4)
如果不知道真值,則先由公式
(1)求最或是值x,再由公式(3)求改正數,v1〜vn,得
σ={〔ν²〕/(n-1)﹜1/2…………………………………………(5)
中誤差σ用以表示ℓ1〜ℓn,n次觀測中任一次觀測之中誤差,亦即代表單次觀測之精度。
比較嚴格的說法,中誤差σ還要區分「先驗」與「後驗」(請參閱第二節有關「權」之說明)。
統計學也區分為樣本與母體標準偏差,於此不再詳述。
※上述中誤差一詞,也可稱為標準誤差,或標準偏差。
※除了中誤差,另有平均誤差與或是誤差,也可以表示單次觀測之精度,請參閱平差法或統計學。
6.精度與相對精度
測量成果之優劣,可依據誤差之大小來評定,也就是中誤差愈大,測量成果愈差,精度愈低,反之則高。
茲有兩段距離A、B,以鋼卷尺量距,得到其長度及中誤差各為xA=100.000m,σA=±2mm,xB=200.000m,σB=±3mm。
因為σA<σB,所以距離A之量距誤差較小,精度較高。
此一例子,若再比較σA÷xA與σB÷xB,可知σB÷xB較小,相對誤差較小,「精度」較高,所以需要再定義另一個名稱「相對精度」,以免混淆。
相對精度即是中誤差除以最或是值的比值,通常使分子為1,分母湊整為正整數或10的倍數,分母愈大,比值愈小,相對誤差愈小,相對精度愈高。
國家級一等水準網測量,它的測量成果,除了表示各點之高程及其中誤差,還應該加註各點到基準原點之距離。
角度測量只採用精度,不用相對精度,也就是說不論角度之大小,只論角度本身之誤差。
7.容許誤差U
在本書測量實習2,圖2-3標準正態分佈密度函數圖,它的配合說明提及,誤差∆=−2σ〜+2σ之機率為95.4%,也就是說誤差Δ絕對值大於2σ之機率為4.6%,相當於22次觀測才有一個觀測值的誤差絕對值大於2σ。
因此規定容許誤差U為
U=2σ………………………………………………………………(6)
※有的教科書採用U=3σ,只是此一規定太鬆。
誤差Δ=-3σ〜+3σ之機率為99.74%,380多個觀測值只有1個觀測值的誤差絕對值大於3σ,即使普通測量員也不該發生這麼大的誤差。
8.較差d
重複觀測二次的差值取絕對值稱為較差,即:
d=|ℓ₁−ℓ₂|=ℓ₁−ℓ₂或ℓ₂−ℓ₁………………………………(7)
較差用來初步評定測量值是否合格。
9.閉合差w
三角形內角和180°為理論值,它是真值,三個內角之觀測值為α、β、γ,所以三角形閉合差
w=(α+β+γ)−180°……………………………………………(8)
水準環線一圈之高程差總和為零,它也是真值,水準環一圈各小段之高程差ℓ₁〜ℓn,水準環線閉合差
w=(ℓ₁+ℓ₂……+ℓn)−0=ℓ₁+ℓ₂……+ℓn
閉合差亦用來初步評定測量是否合格,而平差法就是要處理閉合差不為零的矛盾,使平差後之觀測值滿足閉合條件。
(二)誤差傳播概論
所謂誤差傳播,就是誤差傳遞的意思,例如C由A或者由A與B導得,則A或A與B之誤差就會傳遞給C。
1.誤差傳播公式
設y為x₁、x₂、…xu之函數,亦即
y=f(x₁、x₂、…xu)
將之微分,也就是處理成為誤差dxi的線性函數
dy=∂f/∂x₁‧dx₁+∂f/∂x₂‧dx₂+…+∂f/∂xu‧dxu…………………(9)
再將誤差以中誤差之形式表示,
σy=﹛(∂f/∂x₁)²σx₁²+﹙∂f/∂x₁)²σx₂²+…+
﹙∂f/∂xu)²σxu²﹜1/2………………………………………(10)
由於高職一年級未學微分,所以下述課文中不用微分符號「d」,改用誤差符號「Δ」。
※本文直接使用誤差傳播公式,理論推導省略不述。
2.較差的中誤差及容許誤差
依公式(7)
d=ℓ₁−ℓ₂…………………(a)
用符號Δ加在d、ℓ之前,表示它們的誤差,Δd、Δℓ,得
d+Δd=
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