三角形内角和定理的证明.docx
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三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理的证明教学设计
一、教材与学生现实的分析
1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的,这个定理是任意三角形的一个重要性质,它是学习以后知识的基础,并且是计算角的度数的方法之一。
在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。
其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题,为以后的学习打下良好的基础,三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。
2、三角形内角和定理的内容,学生在小学已经熟悉,但在小学是通过实验得出的,要向学生说明证明的必要性,同时说明今后在几何里,常常用这种方法得到新知识,而定理的证明需要添辅助线,让学生明白添辅助线是解决数学问题(尤其是几何问题)的重要思想方法,它同代数中设末知数是同一思想。
3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°,前面又学习了三角形的有关概念,平角定义和平行线的性质,而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明,它的证明借助了平角定义,平行线的性质。
用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角,为定理的证明提供了必备条件。
尽管前面学生接触过推理论证的知识,但并末真正去论证过,特别是在论证的格式上,没有经过很好的锻炼。
因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。
辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触,只要教师设置恰当的问题情境,学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形,用自主探索的方式是可发完成的,并且这样的过程可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。
从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言,写出已知、求证,学会分析命题的证明思路,对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。
教学目标
教学知识点
三角形内角和定理的证明。
能力训练要求
掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证明,同时培养学生观察、猜想、和论证能力。
情感与价值观要求
通过新颖、有趣的实际问题,来激发学生的求知欲。
教学重点
三角形内角和定理的证明思路及应用。
教学难点
三角形内角和定理的证明方法。
教学方法
实验法,讨论法。
教学过程
设计说明
创设问题情境
我们在七年级曾经把一个三角形的三个内角撕下来拼在一起得到一个平角,由此得到三角形的内角和是180°。
教师指出:
这只是实验得出的命题,不能当做定理,只有经过严格的几何证明,证明命题的正确性,才能作为几何定理,今后,在几何里,常采用这种方法得到新知识。
那么如何证明此命题是真命题呢?
能否用学过的旧知识作平行线,利用平行线的性质来证明呢?
从学过的知识引入符合学生的认知规律,且小学已知三角形三个内角和是180°。
学生自主探究
学生回忆证明一个命题的步骤:
①画图
②分析命题的题设和结论,写出已知求证,把文字语言转化为几何语言。
③分析、探究证明方法。
有本章前面几节作为基础,学生有能力画图,写已知,求证。
创设问题情境
教师引导:
要证三角形三个内角和是180°,观察图形,三个角间没什么关系,能不能象前面那样,把这三个角拼在一起呢?
拼成什么样的角呢?
学生思考与180°有关的角后回答,可拼成:
①平角,②两平行线间的同旁内角。
教师引导,要把三角形三个内角转化为上述两种角,就要在原图形上添加一些线,这些线叫做辅助线,在平面几何里,辅助线常画成虚线,添辅助线是解决问题的重要思想方法。
如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢?
下面同学们利用准备好的三角形纸片拼一拼,画一画。
联想前面撕角拼角的方法,学生能想到。
让学生体会转化的数学思想方法,把新知识化为旧知识。
学生自主探究
学生通过自主探究,可以得出以下几种辅助线的作法:
1如图1,延长BC得到一平角∠BCD,然后以CA为一边,在△ABC的外部画∠1=∠A。
2如图1,延长BC,过C作CE∥AB
3如图2,过A作DE∥AB
4如图3,过C作CD∥AB。
图1
学生通过观察分析、归纳,使思维达到高潮,由感受性认识上升到理性认识。
请不同画法的学生板演,并口述画图方法,叙述不恰当时,同学可改正,
画法4,部分学生可能想到。
⑤如图4,在BC边上任取一点P,作PD∥AB,PE∥AC。
学生可能还有其它画法。
辨析与研讨
通过以上分析、研究,让不同做法的学生讲解依据。
1根据平行线的判定及性质,利用同位角把三角形三内角转化为一个平角。
2根据平行线的性质,利用内错角和同位角,把三角形三内角转化为一个平角。
3根据平行线的性质,利用内错角,把三角形三内角转化为一个平角。
4根据平行线的性质,利用内错角把三角形三内角转化为两平行线间的同旁内角。
5根据平行线的性质,利用内错角、同位角或同旁内角把三角形三内角转化为一个平角。
进一步搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法,充分让学生表述自己的观点,这个过程对培养学生的能力极为重要,依据不充分,学生可争论。
学生自主探究
根据以上几种辅助线的作法,选择一种,师生合作,写出示范性证明过程。
其余由学生自主完成证明过程。
目的是培养学生的思维能力和推理能力。
反思与评价
1、弄清证明命题的必要性及步骤。
2、如何将文字语言转化为几何语言。
3、三角形内角和定理的证明是借助于什么获得(实验、观察、添加辅平行线),平行线是以后几何中常作的辅助线。
4、添辅助线的技巧:
通过平行线把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角,即把新知识转化为旧知识去解决。
引导学生进行总结和概括,培养学生的归纳概括能力。
例题讲解
例1△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,
如图,求∠DBC的度数。
学生自主探索,教师巡视、诊断,不同解法的学生板演,学生辨析。
使学生灵活应用三角形内角和定理。
用代数方法解决几何问题(方程思想)是重要的方法。
思维拓展
练习
1、已知△ABC中,DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°,
求证:
∠ADE=50°
进一步使学生灵活应用三角形内角和定理。
2、
△ABC中,∠A=n°,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,
求证:
∠BOC=90°+
n°
课后思考
把三个内角集中在一起有很多种方法,下面提供其中的两种,课后写出证明方法
拓展学生的思维。
小结
我们证明了一个很有用的三角形内角和定理,证明思想是,运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角。
辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁,今后我们还要学习它。
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构:
由平行线的画法,引出平行线的判定公理(同位角相等,两直线平行).由公理推出:
内错角相等,两直线平行.同旁内角互补,两条直线平行,这两个定理.
(2)重点、难点分析:
本节的重点是:
平行线的判定公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样,有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此,这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据,也为下一节,学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是:
理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质,对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质,没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此,教学中既要有直观的演示和操作,也要有严格推理证明的板书示范.创设情境,不断渗透,使学生初步理解证明的步骤和基本方法,能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中,应充分体现一条主线索:
“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具,还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中,注意角的变化情况.事实充分,学生可以理解,如果同位角相等,那么两直线一定会平行.
平行线的判定公理后,有些同学可能会意识到“内错角相等,两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式,掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示,即“运动—变化”的数学思想方法的运用,培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法:
启发式引导发现法.
2.学生学法:
独立思考,主动发现.
三、重点·难点及解决办法
(一)重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
(二)难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
(三)解决办法
1.通过观察实验,巧妙设问,解决重点.
2.通过引导正确思维,严格展示推理书写格式,明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题,复习旧知,引入新知.
2.通过实验观察,引导思维,概括出公理及定理的推导,并以练习进行巩固.
3.通过教师提问,学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
(-)明确目标
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构:
由平行线的画法,引出平行线的判定公理(同位角相等,两直线平行).由公理推出:
内错角相等,两直线平行.同旁内角互补,两条直线平行,这两个定理.
(2)重点、难点分析:
本节的重点是:
平行线的判定公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样,有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此,这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据,也为下一节,学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是:
理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质,对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质,没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此,教学中既要有直观的演示和操作,也要有严格推理证明的板书示范.创设情境,不断渗透,使学生初步理解证明的步骤和基本方法,能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中,应充分体现一条主线索:
“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具,还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中,注意角的变化情况.事实充分,学生可以理解,如果同位角相等,那么两直线一定会平行.
平行线的判定公理后,有些同学可能会意识到“内错角相等,两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式,掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示,即“运动—变化”的数学思想方法的运用,培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法:
启发式引导发现法.
2.学生学法:
独立思考,主动发现.
三、重点·难点及解决办法
(一)重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
(二)难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
(三)解决办法
1.通过观察实验,巧妙设问,解决重点.
2.通过引导正确思维,严格展示推理书写格式,明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题,复习旧知,引入新知.
2.通过实验观察,引导思维,概括出公理及定理的推导,并以练习进行巩固.
3.通过教师提问,学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
(-)明确目标
掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.
(二)整体感知
以情境设计,引出课题,以模型演示,引导学生观察,、分析、总结,讲授新知,以变式训练巩固新知,在整节课中,较充分地体现了逻辑推理.
(三)教学过程
创设情境,引出课题
师:
上节课我们学习了平行线、平行公理及推论,请同学们判断下列语句是否正确,并说明理由(出示投影).
1.两条直线不相交,就叫平行线.
2.与一条直线平行的直线只有一条.
3.如果直线、都和平行,那么、就平行.
学生活动:
学生口答上述三个问题.
【教法说明】通过三个判断题,使学生回顾上节所学知识,第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”,第2题不仅回顾平行公理,同时使学生认识学习几何,语言一定要准确、规范,同一问题在不同条件下,就有不同的结论,第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生,它也是判定两条直线平行的方法.
师:
测得两条直线相交,所成角中的一个是直角,能判定这两条直线垂直吗?
根据什么?
学生:
能判定垂直,根据垂直的定义.
师:
在同一平面内不相交的两条直线是平行线,你有办法测定两条直线是平行线吗?
学生活动:
学生思考,如何测定两条直线是否平行?
教师在学生思考未得结论的情况下,指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行,必须找其他可以测定的方法,有什么方法呢?
学生活动:
学生思考,在前面复习平行公理推论的情况下,有的学生会提出,再作一条直线,让,再看是否平行于就可以了.
师:
这种想法很好,那么,如何作,使它与平行?
若作出后,又如何判断是否与平行?
学生活动:
学生思考老师的提问,意识到刚才的回答,似是而非,不能解决问题.
师:
显然,我们的问题没有得到解决,为此我们来寻找另外一些判定方法,就是今天我们要学习的平行线的判定(板书课题).
[板书]2.5平行线的判定
(1).
【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直,学生自然想到要用平行线定义来判断,但我们无法测定直线是否不相交,也就不能利用定义来判断.这时,学生会考虑平行公理推论,此时教师只须简单地追问,就让学生弄清问题未能解决,由此引入新课内容.
探究新知,讲授新课
教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型,转动,让学生观察,转动到不同位置时,的大小有无变化,再让从小变大,说出直线与的位置关系变化规律.
【教法说明】让学生充分观察,在教师的启发式提问下,分析、思考、总结出结论.
图1
学生活动:
转动到不同位置时,也随着变化,当从小变大时,直线从原来在右边与直线相交,变到在左边与相交.
师:
在这个过程中,存在一个与不相交即与平行的位置,那么多大时,直线呢?
也就是说,我们若判定两条直线平行,需要找角的关系.
师:
下面先请同学们回忆平行线的画法,过直线外一点画的平行线.
学生活动:
学生在练习本上完成,教师在黑板上演示(见图1).
师:
由刚才的演示,请同学们考虑,画平行线的过程,实际上是保证了什么?
图2
学生:
保证了两个同位角相等.
师:
由此你能得到什么猜想?
学生:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行.
师:
我们的猜想正确吗?
会不会有某一特定的时刻,即使同位角不等,而两条直线也平行呢?
教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前,让学生看清角和角(如图2),而后开始实验,让学生充分观察并讨论能得出什么结论.
学生活动:
学生观察、讨论、分析.
总结了,当时,不平行,而无论取何值,只要,、就平行.
图3
教师引导学生自己表达出结论,并告诉学生这个结论称为平行线的判定公理.
[板书]两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:
同位角相等,两直线平行.
即:
∵(已知见图3),
∴(同位角相等,两直线平行).
【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程,让学生确信公理的正确.尝试反馈,巩固练习(出示投影).
图4
1.如图4,,,吗?
2.,当时,就能使.
【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理,对于第2题是已知结论,找出使它成立的题设,这是证明问题时应掌握的一种思考方法,要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法,教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.
(出示投影)
直线、被直线所截.
图5
1.见图5,如果,那么与有什么关系?
2.与有什么关系?
3.与是什么位置关系的一对角?
学生活动:
学生观察,思考分析,给出答案:
时,,与相等,与是内错角.
师:
与满足什么条件,可以得到?
为什么?
学生活动:
,因为,通过等量代换可以得到.
师:
时,你进而可以得到什么结论?
学生活动:
.
师:
由此你能总结出什么正确结论?
学生活动:
内错角相等,两直线平行.
师:
也就是说,我们得到了判定两直线平行的另一个方法:
[板书]两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:
内错角相等,两直线平行.
【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法,引导学生自己去发现角之间的关系,进而归纳总结出结论,主要采用探讨问题的方式,能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.
师:
上面的推理过程,可以写成
∵(已知),
(对顶角相等),
∴.
[∵(已证)],
∴(同位角相等,两直线平行).
【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说,这样才能使学生大胆尝试,培养他们勇于进取的精神.
教师指出:
方括号内的“∵”,就是上面刚刚得到的“∴”,在这种情况下,方括号内这一步可以省略.
尝试反馈,巩固练习(出示投影)
1.如图1,直线、被直线所截.
(1)量得,,就可以判定,它的根据是什么?
(2)量得,,就可以判定,它的根据是什么?
2.如图2,是的延长线,量得.
(1)从,可以判定哪两条直线平行?
它的根据是什么?
(2)从,可以判定哪两条直线平行?
它的根据是什么?
图1 图2
学生活动:
学生口答.
【教法说明】这组题旨在巩固平行线的判定公理和判定方法的掌握,使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.
变式训练,培养能力
(出示投影)
1.如图3所示,由,可判断哪两条直线平行?
由,可判断哪两条直线平行?
2.如图4,已知,,吗?
为什么?
图3 图4
学生活动:
学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.
【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形,加强识图能力,同时培养学生的发散思维,也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题,从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.
(四)总结扩展
2.结合判一定理的证明过程,熟悉表达推理证明的要求,初步了解推理证明的格式.
八、布置作业
课本第97页习题2.2A组第4、5、6
(1)
(2)题.
作业答案
4.当时,就能使.
5.
(1)从,推出,根据同位角相等,两直线平行.
(2)从,推出,根据内错角相等,两直线平行.
6.
(1)可断定,根据同位角相等,两直线平行.
(2)可断定,根据内错角相等,两直线平行.
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