第1章逻辑代数上命题演算.docx
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第1章逻辑代数上命题演算
第1章逻辑代数〔上〕:
命题演算
1.1逻辑联结词与命题公式
逻辑联结词
否认词(negation)“并非〞(not),用符号⌝〔或~〕表示。
设p表示一命题,那么⌝p表示命题p的否认。
当p真时⌝p假,而当p假时⌝p真。
⌝真值表(truthtable)规定联结词的意义。
p
⌝p
0
1
1
0
合取词(conjunction)“并且〞(and),用符号∧表示。
设p,q表示两命题,那么p∧q表示合取p和q所得的命题,即当p和q同时为真时p∧q真,否那么p∧q为假。
p∧q读作“p并且q〞或“p且q〞。
合取词∧的意义和命题p∧q的真值状况可由表1.2来刻划。
p
q
p∧q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
析取词(disjunction)“或〞(or)用符号∨表示。
设p,q表示两命题,那么p∨q表示p和q的析取,即当p和q有一为真时,p∨q为真,只有当p和q均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q〞,“p或q〞。
析取词∨的意义及复合命题p∨q的真值状况由表1.3描绘。
p
q
p∨q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
蕴涵词(implication)“假设……,那么……〞(if…then…),用符号→表示。
设p,q表示两命题,那么p→q表示命题“假设p,那么q〞,它常被称作条件命题。
当p真而q假时,命题p→q为假,否那么均认为p→q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件,q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多,可读作“假设p那么q〞,“p蕴涵q〞,“p是q的充分条件〞,“q是p的必要条件〞,“q当p〞,“p仅当q〞等等。
数学中还常把q→p,⌝p→⌝q,⌝q→⌝p分别叫做p→q的逆命题,否命题,逆否命题。
蕴涵词→的意义及复合命题p→q的真值状况规定见表1.4。
表1.4
p
q
p→q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
双向蕴涵词(two-wayimplication)“当且仅当〞〔ifandonlyif〕,用符号↔表示之。
设p,q为两命题,那么p↔q表示命题“p当且仅当q〞,“p与q等价〞,即当p与q同真值时p↔q为真,否那么为假。
p↔q读作“p双向蕴涵q〞,“p当且仅当q〞,“p等价于q〞。
由于“当且仅当〞“等价〞常在其它地方使用,因此用第一种读法更好些。
双向蕴涵词的意义及p↔q的真值状况由表1.5给出。
表1.5
p
q
p↔q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
命题公式
定义1.1归纳定义命题公式〔简称公式propositionformula〕:
〔1〕命题常元和命题变元是命题公式,也称为原子公式或原子。
〔2〕假设A,B是命题公式,那么(⌝A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是命题公式。
〔3〕只有有限步引用条款〔1〕,〔2〕所组成的符号串是命题公式。
设公式A含有命题变元p1,p2,…,pn〔有时用A(p1,p2,…,pn)表示这一状况〕,称p1,p2,…,pn每一取值状况为一个指派(assignments),用希腊字母α,β等表示,当A对取值状况α为真时,称指派α弄真A,或α是A的弄真指派,记为α(A)=1;反之称指派α弄假A,或α是A的弄假指派,记为α(A)=0。
语句形式化
将自然语言表述的命题“翻译〞成命题公式,常称为语句形式化。
语句形式化要注意以下几个方面:
●要擅长确定原子命题,不要把一个概念硬拆成几个概念,例如“弟兄〞是一个概念,不要拆成“弟〞和“兄〞、“我和他是弟兄〞是一个原子命题。
●要注意语句的语用,不同的语用有不同的逻辑含义。
例如“狗急跳墙〞可能说的是一个规律,也可能说的是一个现象。
●要擅长识别自然语言中的联结词〔有时它们被省略〕。
例如“风雨无阻,我去北京〞一句,可理解为“不管是否刮风、是否下雨我都去北京〞。
●否认词的位置要放准确。
●需要的括号不能省略;而可以省略的括号,在需要进步公式可读性时亦可不省略。
●注意“只要⋯,就⋯〞“只有⋯,才⋯〞的正确理解。
因果关系也常常用蕴涵词来表示,这一点是有争议的。
●语句的形式化的结果未必是唯一的。
题解
1、选择题
〔1〕设P:
我将去镇上,Q:
我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间〞符号化为〔〕
A.P→Q;B.Q→P;C.P↔Q;D.Q∨
P.。
【答案】:
A
〔2〕设P:
张三可以做这件事,Q李四可以做这件事。
命题“张三或李四可以做这件事〞符号化为〔〕
A.P∨Q;B.P∨
Q;C.P
↔Q;D.(
P∨
Q)
【答案】:
A
〔3〕设P:
我们划船,Q:
我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步〞符号化为〔〕
A.
P∧
Q;B.
P∨
Q;C.
(P↔Q);D.P↔
Q
【答案】:
B
〔4〕以下语句中哪个是真命题〔〕
A.我正在说谎
B.假设1+2=3,那么雪是黑的
C.假设1+2=5,那么雪是黑的
D.严禁吸烟
【答案】:
C
〔5〕
P→Q的逆命题是〔〕
A.Q→
PB.P→
QC.
Q→
PD.
P→
Q
【答案】:
A
〔6〕下面哪一个命题是命题“2是偶数或-3是负数〞的否认〔〕
A.2是偶数或-3不是负数
B.2是奇数或-3不是负数
C.2不是偶数且-3不是负数
D.2是奇数且-3不是负数
【答案】:
C
2、填空题
〔1〕以下句子中,是命题的有.
〔a〕我是教师。
〔b〕制止吸烟。
〔c〕蚊子是鸟类动物。
〔d〕上课去!
【答案】:
〔a〕,〔c〕
〔2〕设P:
我生病,Q:
我去学校
〔a〕命题“我虽然生病但我仍去学校〞可符号化为。
〔b〕命题“只有我生病的时候,我才不去学校〞可符号化为。
〔c〕命题“只要我生病,我就不去学校〞可符号化为。
〔d〕命题“当且仅当我生病,我才不去学校〞可符号化为。
【答案】:
〔a〕P∧Q;〔b〕.
Q→P;〔c〕P→
Q;〔d〕P↔
Q
〔3〕“a≥0〞表示a>0a=0;“a是非负实数〞表示a≥0a是实数〔在空格中填上适当的命题联结词〕。
【答案】:
∨;∧
〔4〕在空格中填上表〔表1.6〕各列所定义的命题联结词:
表1.6
PQ
PQ
PQ
00
1
1
01
1
0
10
0
0
11
1
1
【答案】:
→;↔
〔5〕P,Q为两个命题,当且仅当时,P→Q的真值为0。
【答案】:
P真且Q假
〔6〕公式P→Q的否命题为,逆否命题为。
【答案】:
﹁P→﹁Q;﹁Q→﹁P
3.将以下命题形式化:
〔1〕你是博士,但我是硕士。
【答案】:
可表示为(p∧q),其中p:
你是博士;q:
我是硕士
〔2〕我今天或明天去泰山的说法是谣传。
【答案】:
可表示为⌝(p∨q),其中p:
我今天去泰山;q:
我明天去泰山
〔3〕假设买不到飞机票,我不去海南岛。
【答案】:
可表示为⌝p→⌝q,其中,p:
我买到飞机票,q:
我去海南岛
〔4〕只要他出门,他必买书,不管他带的钱多不多。
【答案】:
可表示为(p∧q→r)∧(⌝p∧q→r)或q→r,其中p:
他带的钱多,q:
他出门,r:
他买书。
〔5〕除非你陪伴我或代我雇辆车子,否那么我不去。
【答案】:
可表示为(p∨q)↔r,其中p:
你陪伴我,q:
你代我雇车,r:
我去
〔6〕只要充分考虑一切论证,就可得到正确见解;必须充分考虑一切论证,才能得到正确见解。
【答案】:
可表示为(p→q)∧(q→p)或p↔q,其中p:
你充分考虑了一切论证,q:
你得到了正确见解
〔7〕除非你是成年人,否那么只要你身高不超过1米3,就能到儿童游乐场玩耍。
⌝r↔(⌝s→t),其中r:
你是成年人,s:
你身高超过1米3,t:
你到儿童游乐场玩耍
〔8〕假设只有懂得希腊文才能理解柏拉图,那么我不理解柏拉图。
【答案】:
可表示为(q→p)→⌝q,其中p:
我懂得希腊文,q:
我理解柏拉图
〔9〕侈而惰者贫,而力而俭者富。
〔韩非:
?
韩非子∙显学?
〕
【答案】:
可表示为((p∧q)→r)∧((⌝p∧⌝q)→⌝r),其中p:
你奢侈,q:
你懒惰,r:
你贫困
〔10〕骐骥一跃,不能十步;驽马十驾,功在不舍;锲而舍之,朽木不折;锲而不舍,金石可镂。
〔荀况:
?
荀子∙劝学?
〕
【答案】:
可表示为(p→⌝q)∧(s→r)∧(m∧n→⌝o)∧(m∧⌝n→v),其中p:
骐骥一跃,q:
骐骥行十步,r:
驽马行千里,s:
驽马不断奔跑,m:
你雕刻,n:
你放弃,o:
你将朽木折断,v:
你将金石雕刻
4.根据命题公式的定义和括号省略的约定,断定以下符号串是否为公式,假设是,请给出它的真值表,并请注意这些真值表的特点〔p,q,r,s为原子命题〕:
〔1〕⌝(p)
【答案】:
⌝(p)不是公式
〔2〕(p∨qr)→s
【答案】:
(p∨qr)→s不是公式
〔3〕(p∨q)→p
【答案】:
(p∨q)→p是公式,其真值表如表所示:
p
q
p∨q
(p∨q)→p
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
〔4〕p→(p∨q)
【答案】:
p→(p∨q)是公式,其真值表如表所示〔恒真〕:
p
q
p∨q
p→(p∨q)
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
〔5〕p∧(p→q)→q
【答案】:
p∧(p→q)→q是公式,其真值表如表所示〔恒真〕:
p
q
p→q
p∧(p→q)
p∧(p→q)→q
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
〔6〕p∧(p→q)∧(p→⌝q)
【答案】:
p∧(p→q)∧(p→⌝q)是公式,其真值表如表所示〔恒假〕:
p
q
┐q
p→q
p∧(p→q)
p→┐q
p∧(p→q)∧(p→⌝q)
0
0
1
1
0
1
0
0
1
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1
0
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1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
〔7〕⌝(p∨q)↔⌝q∧⌝p
【答案】:
⌝(p∨q)↔⌝q∧⌝p是公式,其真值表如表所示〔恒真〕:
p
q
⌝p
⌝q
p∨q
⌝(p∨q)
⌝q∧⌝p
(p→q)↔(⌝q→⌝p)
0
0
1
1
0
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1
1
0
1
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1
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1
0
0
1
1
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0
1
0
0
1
〔8〕⌝p∨q↔(p→q)
【答案】:
⌝p∨q↔(p→q)是公式,其真值表如表所示〔恒真〕:
p
q
⌝p
⌝p∨q
p→q
⌝p∨q↔(p→q)
0
0
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1
〔9〕(p→q)∧(q→r)→(p→r)
【答案】:
(p→q)∧(q→r)→(p→r)是公式,其真值表如表所示〔恒真〕:
p
q
r
p→q
q→r
p→r
(p→q)∧(q→r)
(p→q)∧(q→r)→(p→r)
0
0
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1
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1
〔10〕(p∨q→r)↔(p→r)∧(q→r)
【答案】:
(p∨q→r)↔(p→r)∧(q→r)是公式,其真值表如表所示〔恒真〕:
p
q
r
p∨q
p∨q→r
p→r
q→r
(p→r)∧(q→r)
(p∨q→r)↔(p→r)∧(q→r)
0
0
0
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1
1
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0
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
5.给出弄真以下命题公式的指派:
〔1〕((p→q)∧q)→┐p
【答案】:
弄真指派有(0,0),(0,1),(1,0)
〔2〕((p→q)→r)→((q→p)→r)
【答案】:
弄真指派有(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)
〔3〕((p↔q)→r)→((q→p)↔r)
【答案】:
弄真指派有(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)
〔4〕⌝((p∨q)∧r)→(r→p)
【答案】:
弄真指派有(0,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)
1.2逻辑等价式和逻辑蕴涵式
重言式
假设对命题公式A中命题变元的一切指派均弄真A,那么,称A为重言式(tautology);重言式又称永真式;假设至少有一个这样的指派弄真A,那么,称A为可满足式(satisfactableformula),否那么称A为不可满足式或永假式、矛盾式。
逻辑等价式和逻辑蕴涵式
定义1.4当命题公式A↔B为永真式时,称A逻辑等价于B,记为A┝┥B,它又称为逻辑等价式(logicallyequivalent)。
以下是一些重要的逻辑等价式,其中A,B,C表示任意命题公式:
E1⌝⌝A┝┥A双重否认律
E2A∨A┝┥A,A∧A┝┥A幂等律
E3A∨B┝┥B∨A,A∧B┝┥B∧A交换律
E4(A∨B)∨C┝┥A∨(B∨C)结合律
(A∧B)∧C┝┥A∧(B∧C)
E5A∧(B∨C)┝┥(A∧B)∨(A∧C)分配律
A∨(B∧C)┝┥(A∨B)∧(A∨C)
E6⌝(A∨B)┝┥⌝A∧⌝B德摩根律
⌝(A∧B)┝┥⌝A∨⌝B
E7A∨(A∧B)┝┥A吸收律
A∧(A∨B)┝┥A
E8A→B┝┥⌝A∨B
E9A↔B┝┥(A→B)∧(B→A)
E10A∨t┝┥t,A∧f┝┥f
E11A∨f┝┥A,A∧t┝┥A
E12A∨⌝A┝┥t,A∧⌝A┝┥f
E13⌝t┝┥f,⌝f┝┥t
E14A∧B→C┝┥A→(B→C)
E15A∨B→C┝┥(A→C)∧(B→C)
E16A→B┝┥⌝B→⌝A
E17(A→B)∧(A→⌝B)┝┥⌝A
E18A↔B┝┥(A∧B)∨(⌝A∧⌝B)
定义当命题公式A→B为永真式时,称A逻辑蕴涵B,记为A┝B,它又称为逻辑蕴涵式(logicallyimplication)。
一些非常重要的逻辑蕴涵式:
I1A┝A∨B,B┝A∨B
I2A∧B┝A,A∧B┝B
I3B┝A→B
I4A∧(A→B)┝B
I5(A→B)∧⌝B┝⌝A
I6⌝A∧(A∨B)┝B,⌝B∧(A∨B)┝A
I7(A→B)∧(B→C)┝A→C
I8(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)
I9(A↔B)∧(B↔C)┝A↔C
I10A┝t;f┝A
逻辑等价式与逻辑蕴涵式有如下明显性质。
对任意命题公式A,B,C,A',B',
〔1〕A┝┥B当且仅当┝A↔B
〔2〕A┝B当且仅当┝A→B
〔3〕假设A┝┥B,那么B┝┥A
〔4〕假设A┝┥B,B┝┥C,那么A┝┥C
〔5〕假设A┝B,那么┐B┝┐A
〔6〕假设A┝B,B┝C,那么A┝C
〔7〕假设A┝B,A┝┥A',B┝┥B',那么A'┝B'
设A为永真式,p为A中命题变元,A(B/p)表示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得的命题公式〔称为A的一个代入实例〕,那么A(B/p)亦为永真式。
代入原理(ruleofsubstitution),简记为RS
设A为一命题公式,C为A的子公式,且C┝┥D。
假设将A中子公式C的某些〔未必全部〕出现交换为D后得到的公式记为B,那么A┝┥B。
交换原理(ruleofreplacement)简记为RR。
请注意RS与RR的区别,详见表1.15。
表1.15
代入原理RS
交换原理RR
使用对象
任意永真式
任一命题公式
被代换对象
任一命题变元
任一子公式
代换对象
任一命题公式
任一与代换对象等价的命题公式
代换方式
代换同一命题变元的所有出现
代换子公式的某些出现
代换结果
仍为永真式
与原公式等价
当然,证明逻辑蕴涵式A┝B不成立的方法只有一个,那就是:
找出一个指派使得A为真,却使B为假。
证明逻辑等价式A┝┥B不成立的方法是:
证明A┝B不成立或者证明B┝A不成立。
推而广之,为证Γ┝B〔Γ为公式集合〕不成立,只要找出一个指派使得Γ中所有公式为真,却使B为假。
对偶原理
设公式A仅含联结词⌝,∧,∨,A*为将A中符号∧,∨,t,f分别改换为∨,∧,f,t后所得的公式,那么称A*为A的对偶(dual)。
下面两定理所描绘的事实常称为对偶原理。
定理1.4设公式A中仅含命题变元p1,…,pn,及联结词⌝,∧,∨,那么
A┝┥⌝A*(⌝p1/p1,…,⌝pn/pn)
这里,A*(⌝p1/p1,…,⌝pn/pn)表示在A*中对p1,…,pn分别作代入⌝p1,…,⌝pn后所得的公式。
设A,B为仅含联结词⌝,∧,∨和命题变元p1,…,pn的命题公式,且满足A┝B,那么有B*┝A*。
进而当A┝┥B时有A*┝┥B*。
定义1.7B*┝A*,A*┝┥B*分别称为A┝B和A┝┥B的对偶式。
应用逻辑
命题逻辑的相关知识,特别是逻辑等价式和逻辑蕴含式所反映的逻辑思维规律,如,排中律、矛盾律、双重否认律、德摩根律等,是人们逻辑推理的根底,在逻辑训练和实际生活中有非常广泛的应用。
题解
1.选择题
〔1〕K是重言式,那么K的否认是〔〕
A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.不能确定
【答案】:
B
〔2〕K不是重言式,那么它是〔〕
【答案】:
C
〔3〕命题公式(P∧(P→Q))→Q是〔〕
A.矛盾式B.可满足式C.重言式D.不能确定
【答案】:
C
〔4〕命题公式(P∧(⌝P∨Q))∧Q是〔〕
A.矛盾式B.可满足式C.重言式D.不能确定
【答案】:
B
〔5〕假设P→Q为真时我们称命题P强于Q,那么最强的命题是〔〕,最弱的命题是〔〕。
A.永假式B.可满足式C.永真式D.不能确定
【答案】:
A,C
2.填空题
〔1〕两个重言式的析取是,一个重言式与一个矛盾式的析取是。
两个重言式的合取是,一个重言式与一个矛盾式的合取是。
一个重言式蕴涵一个矛盾式的是,一个矛盾式蕴涵一个重言式的是。
【答案】:
重言式,重言式,重言式,矛盾式,矛盾式,重言式
〔2〕在以下各式中,是永真式的有。
〔a〕(P∧(P→Q))→Q
〔b〕P→(P∨Q)
〔c〕Q→(P∧Q)
〔d〕(﹁P∧(P∨Q))→Q
〔e〕(P→Q)→Q
【答案】:
(a),〔b〕,〔d〕
〔3〕化简以下各式:
〔a〕(﹁P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)可化简为。
〔b〕Q→(P∨(P∧Q))可化简为。
〔c〕((﹁P∨Q)↔(Q∨﹁P))∧P可化简为。
【答案】:
〔a〕﹁P;〔b〕Q→P;〔c〕P
〔4〕公式(P∨Q)→R的只含联结词
,∧的等价式为,它的对偶式为。
【答案】:
(
(
P∧
Q)∧
R);
(P∧Q)∧R
3.试断定以下各式是否为重言式:
〔1〕(p→q)→(q→p)
【答案】:
否
〔2〕﹁p→(p→q)
【答案】:
是
〔3〕q→(p→q)
【答案】:
是
〔4〕p∧q→(p↔q)
【答案】:
是
〔5〕(p→q)∨(r→q)→((p∨r)→q)
【答案】:
否
〔6〕(p→q)∨(r→s)→((p∨r)→(q∨s))
【答案】:
否
4.试用真值表验证E6,E8,E15,E17。
〔1〕【答案】:
E6﹁(A∨B)┝┥﹁A∧﹁B的真值表如表1.16所示:
A
B
A∨B
﹁(A∨B)
﹁A
﹁B
﹁A∧﹁B
﹁(A∨B)↔﹁A∧﹁B
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
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0
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1
0
1
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1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
﹁(A∧B)┝┥﹁A∨﹁B的真值表如表1.17所示:
A
B
A∧B
﹁(A∧B)
﹁A
﹁B
﹁A∨﹁B
﹁(A∧B)↔﹁A∨﹁B
0
0
0
1
1
1
1
1
0
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0
1
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0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
〔2〕【答案】:
E8A→B┝┥﹁A∨B的真值表如表1.18所示:
A
B
A→B
﹁A
﹁A∨B
A→B↔﹁A∨B
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
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0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
〔3〕【答案】:
E15A∨B→C┝┥(A→C)∧(B→C)的真值表如表1.19所示:
A
B
C
A∨B
A∨B→C
A→C
B→C
(A→C)∧(B→C)
(A∨B→C)↔(A→C)∧(B→C)
0
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1
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1
1
〔4〕【答案】:
E17(A→B)∧(A
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- 关 键 词:
- 逻辑 代数 命题演算