几种证明全等三角形添加辅助线方法.docx
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几种证明全等三角形添加辅助线方法.docx
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几种证明全等三角形添加辅助线方法
全等三角形复习课
适用学科
数学
适用年级
初中二年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
120
知识点
全等三角形的性质和判定方法
教学目标
熟练掌握全等三角形的性质和判定方法,并学会用应用
教学重点
学会做辅助线证明三角形全等,常用的几种作辅助线的方法
教学难点
通过学习全等三角形,提高学生观察能力和分析能力
教学过程
构造全等三角形几种方法
在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形
例1.如图1,AD是厶ABC的中线,求证:
AB+AC>2AD。
图1图2
证明:
延长AD至E,使AD=DE,连接CE如图2。
•••AD是厶ABC的中线,二BD=CD。
又•••/1=Z2,AD=DE,
•••△ABD^AECD(SAS。
AB=CE
•••在△ACE中,CE+AC>AE,
•••AB+AC>2AD。
、沿角平分线翻折构造全等三角形
例2.如图3,在厶ABC中,/1=/2,/ABC=2/C。
求证:
AB+BD=AC。
A
D
图3
■3C
图4
证明:
将厶ABD沿AD翻折,点B落在AC上的E点处,即:
在AC上截取
AE=AB,连接EDb如图4。
•••/1=/2,AD=AD,AB=AE,
•••△ABD^AAED(SAS。
•••BD=ED,/ABC=/AED=2/C。
而/AED=/C+/EDC
•••/C=/EDC所以EC=ED=BD0
•••AC=AE+EC,二AB+BD=AG
三、作平行线构造全等三角形
例3.如图5,AABC中,AB=AGE是AB上异于A、B的任意一点,延长AC
至UD,使CD=BE,连接DE交BC于F。
求证:
EF=FD
证明:
过E作EM//AC交BC于M,如图6
则/EMB=/ACB/MEF=/CDR
•••AB=AC,a/B=/ACB
•••/B=/EMB。
故EM=BE
•••BE=CD,二EM=CB
又•••/EFM=/DFC/MEF=/CDF
•••△EFM^ADFC(AAS。
EF=FD。
四、作垂线构造全等三角形
例4.如图7,在厶ABC中,/BAO90°,AB=AC。
M是AC边的中点。
AD
丄BM交BC于D,交BM于E。
求证:
/AMB=ZDMC。
vZBAO90°,AD丄BM,
•••/FAC=ZABM=90°—ZBAE
vAB=AC,ZBAM=ZACM90°,
•••△ABM^ACAF(ASA。
。
•••ZF=ZAMB,AM=CF
vAM=CM,.'.CF=CMo
vZMCD=ZFCD=45°,CD=CD,
•△MCD^AFCD(SASo所以ZF=ZDMC。
•ZAMB=ZF=ZDMCo
五、沿高线翻折构造全等三角形
例5.如图9,在厶ABC中,AD丄BC于D,ZBAD>ZCAB求证:
AB>AC。
A
D
图9
A
D
图10
证明:
把厶ADC沿高AD翻折,点C落在线段DB上的E点处,即:
在DB上截取DE=DC,连接AEo如图10。
•••△ADC^AADE(SAS。
AC=AE,ZC=ZAED
vZAED>ZB,aZC>ZB。
从而AB>AC
六、绕点旋转构造全等三角形
例6.如图11,正方形ABCD中,Z1=Z2,Q在DC上,P在BC上。
求证:
PA=PB+DQ。
图11图L2
证明:
将厶ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,使AD与AB重合,得到△
ABM,即:
延长CB到M,使BM=DQ,连接AM。
如图12。
•••△ABM^AADQ(SAS。
•••Z4=Z2=Z1,ZM=ZAQD0
vAB//CD,•••/AQD=ZBAQ=Z1+Z3=Z4+Z3=ZMAP。
•ZM=ZMAPo
•PA=PM=PB+BM=PB+DQ(因BM=DQ)。
【课堂练习】
1、如图,已知AD=AE,AB=A(求证:
BF=FC
2、如图,在△ABC中,AB=AC延长AB到D,使BD=AB取AB的中点E,连接CD和CE.F为CD中点求证:
CD=2CE
4、已知:
AB=CD/A=ZD,求证:
/B=ZC
5、已知:
如图,CD丄AB于点D,BE±AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分/BAC求证:
OB=OC.
6如图,已知C为线段AB上的一点,-ACM和CBN都是等边三角形,AN和
CM相交于F点,BM和CN交于E点。
求证:
厶CEF是等边三角形。
7、如图所示,已知AE!
AB,AF丄AC,AE=ABAF=AC求证:
(1)EC=BF
(2)
EC丄BF
F
8、如图10,四边形ABCDDEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点
M,CG与AD相交于点N.
求证:
AE二CG;
9、如图,在等腰RtAABC中,/C=90°,D是斜边上AB上任一点,AE丄CD于
E,BF丄CD交CD的延长线于F,CPUAB于H点,交AE于G.
求证:
BD-CG.
10、已知:
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,BC=DCCF平分/BCD,DF//AB,
BF的延长线交DC于点E。
求证:
(BFC^ADFC
(2)AD=DE
11、已知:
BC=DE/B=ZE,ZC=ZD,F是CD中点,求证:
/仁/2
与EF的大小.
补充:
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用
的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的
“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连
接起来,利用三角形面积的知识解答.
1、如图,AC//BD,EA,EB分别平分/CAB,/DBACD过点E,求证;AB=AC+BD
2、如图,△ABC中,AD平分/BACDGLBC且平分BC,DEIAB于E,DF丄AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.
3、
如亂在阿边廉ABCD中rAD//BC,点恵是曲上一牛动点,若£*二60冷肋=內,風ZMC=60°,判断4D”4恵ijRC的关系刑:
剧你的结论.^^解:
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