天津市红桥区届高三一模数学试题含答案解析.docx
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天津市红桥区届高三一模数学试题含答案解析
天津市红桥区2021届高三一模数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.“
成立”是“
成立”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.函数
的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
4.某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间,将他们的成绩按照
,
,
,
,
,
,
分组,整理得到如下频率分布直方图,则成绩在
内的学生人数为()
A.200B.240C.360D.280
5.(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有
A.14斛B.22斛
C.36斛D.66斛
6.已知函数
在区间
内单调递增,且
,若
,
,
,则
的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
7.已知抛物线
上一点
到其焦点的距离为
,双曲线
的左顶点为
,若双曲线的一条渐近线与直线
平行,则实数
的值是
A.
B.
C.
D.
8.已知函数
,
,给出下列四个命题:
①函数
的最大值为1;
②函数
的最小正周期为
;
③函数
在
上单调递增;
④将函数
的图象向左平移
个单位长度,得到的函数解析式为
.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
9.已知函数
,若关于x的方程
恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是()
A.(-ln2,0]B.[0,ln2]
C.(-2-ln2,0]D.[0,2+ln2)
二、填空题
10.i是虚数单位,则复数
___________.
11.在
的二项展开式中
项的系数为__________.
12.已知直线
与圆心为
的圆
相交于
两点,且
为等边三角形,则实数
________.
13.2021年是中国共产党成立100周年.现有A,B两队参加建党100周年知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢1分,答错得0分;A队中每人答对的概率均为
,B队中3人答对的概率分别为
,
,
,且各答题人答题正确与否互不影响,若事件M表示“A队得2分”,事件N表示“B队得1分”,则
___________.
14.已知
,
,且
,则
最小值为__________.
15.在等腰梯形
中,已知
动点
和
分别在线段
和
上,且,
则
的最小值为_____________________.
三、解答题
16.已知
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足
(1)求角B的大小;
(2)若
,求
的值;
(3)若
,
,求边a的值.
17.如图所示,直角梯形
中,
,
,
,四边形EDCF为矩形,
,平面
平面
.
(1)求证:
平面
;
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
18.如图,椭圆
经过点
,且离心率为
.
(I)求椭圆
的方程;
(II)经过点
,且斜率为
的直线与椭圆
交于不同两点
(均异于点
),
问:
直线
与
的斜率之和是否为定值?
若是,求出此定值;若否,说明理由.
19.已知数列{
}的前n项和
满足:
.
(1)求数列{
}的前3项
;
(2)求证:
数列
是等比数列;
(3)求数列
的前n项和
.
20.已知函数
,
.
(1)若
,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当
时,求函数
的单调区间和极值;
(3)若对于任意
,都有
成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
1.C
【解析】
【分析】
先求出
,再求交集即可.
【详解】
据题意
,所以
故选:
C
2.B
【解析】
【详解】
试题分析:
由|x-1|<2得-1<x<3,由x(x-3)<0得0<x<3,所以“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要不充分条件
考点:
1.解不等式;2.充分条件与必要条件
3.C
【解析】
【详解】
函数y=
+sinx为奇函数,图象关于原点对称,排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)=
,f(x)=-sinx的图象,由图象可知函数y=
+sinx只有一个零点0且当x>0时f(x)>0,∴选C.
4.B
【解析】
【分析】
先求出成绩在[120,130)内的频率,由此能求出从成绩在[120,130)内的学生中抽取的人数.
【详解】
从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取800名同学的试卷进行分析,则从成绩在[120,130)内的学生中抽取的人数为:
800
故选:
B
5.B
【解析】
【详解】
试题分析:
设圆锥底面半径为r,则
,所以
,所以米堆的体积为
=
,故堆放的米约为
÷1.62≈22,故选B.
考点:
圆锥的性质与圆锥的体积公式
6.B
【解析】
【分析】
由偶函数的性质可得出函数
在区间
上为减函数,由对数的性质可得出
由偶函数的性质得出
,比较出
、
、
的大小关系,再利用函数
在区间
上的单调性可得出
的大小关系.
【详解】
,则函数
为偶函数,
∵函数
在区间
内单调递增,在该函数在区间
上为减函数,
,由换底公式得
,由函数的性质可得
,
对数函数
在
上为增函数,则
,
指数函数
为增函数,则
,即
,
,因此,
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系,同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系,涉及指数函数与对数函数的单调性,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
7.A
【解析】
【分析】
先根据抛物线定义求
,再代人求
,最后根据条件列方程,解得结果.
【详解】
因为抛物线
上一点
到其焦点的距离为
,
所以
,即
,
因为
,所以
,选A.
【点睛】
凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.即若
为抛物线
上一点,则由定义易得
.
8.C
【解析】
【分析】
先化简f(x)解析式.①求出函数最大值判断;②求出函数最小正周期判断;③根据正弦函数和复合函数单调性判断;④求出平移后的函数表达式.
【详解】
对于①,
的最大值为1,所以①对;
对于②,
的最小正周期为
,所以②对;
对于③,
,
,
,
在
,
上不是单调函数,
所以
在
,
上不是单调函数,所以③错;
对于④,将函数
的图象向左平移
个单位长度,得到
,所以④对.
故选:
C.
9.A
【解析】
【分析】
由
得到
,构造函数
,画出
的图象,由此求得
的取值范围.
【详解】
由
得到
,
构造函数
,
则
,
令
,
,
在
上递减,
.
令
,
在
上递增,
,
由此画出
的图象如下图所示,
关于x的方程
恰有三个不相等的实数解,
则
有三个交点,由图可知
.
故选:
A
10.
【解析】
【分析】
对复数进行分母实数化即可化简.
【详解】
11.
【解析】
【分析】
写出
的通项公式,计算含
项中
的值,代入计算可得系数.
【详解】
解:
的通项公式为:
,
当
时,
,此时
.
故答案为:
12.
【解析】
【详解】
试题分析:
由于
为等边三角形,故弦长
,根据直线与圆相交,所得弦长公式为
,可建立方程,
,
,即
,解得
.
考点:
直线与圆的位置关系,解三角形.
【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系,直线与圆相交所得弦长公式
,考查等边三角形几何性质.由于
为等边三角形,故弦长
,我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来,这个方程包括点到直线距离公式
.在求解完整之后,要验证圆心到直线的距离是否小于半径.
13.
【解析】
【分析】
事件
表示“
队得2分”,事件
表示“
队得1分”,利用
次独立重复试验中事件
恰好发生
次概率计算公式求出
,利用相互独立事件概率乘法公式求出
,由此相互独立事件概率乘法公式能求出
.
【详解】
每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢1分,答错得0分,
队中每人答对的概率均为
,
队中3人答对的概率分别为
,
,
,
且各答题人答题正确与否之间互不影响,
事件
表示“
队得2分”,事件
表示“
队得1分”,
,
,
.
故答案为:
14.
【解析】
【分析】
首先整理所给的代数式,然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
,
结合
可知原式
,
且
,
当且仅当
时等号成立.
即
最小值为
.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
15.
【解析】
【详解】
因为
,
,
,
,
当且仅当
即
时
的最小值为
.
考点:
向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.
16.
(1)
;
(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由正弦定理的边角转化得
,结合三角形内角性质即可求角B.
(2)由两角差、倍角公式展开
,根据已知条件及
(1)的结论即可求值.
(3)根据余弦定理列方程即可求a的值.
【详解】
(1)由正弦定理有:
,而
为
的内角,
∴
,即
,由
,可得
,
(2)
,
∵
,
,可得
,而
,
∴
,
(3)由余弦定理知:
,又
,
,
,
∴
,可得
.
17.
(1)证明见解析;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)取
中点G,连接
,先证明
平面
,然后以
为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为y轴,
所在直线为z轴建立空间直角坐标系,证明
垂直平面
的一个法向量即可;
(2)找出两个面的法向量,利用夹角公式计算即可.
【详解】
(1)取
中点G,连接
.
,
,∴四边形
为平行四边形
∵平面
平面
四边形
为矩形
,平面
平面
平面
如图,以
为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为y轴,
所在直线为z轴建立空间直角坐标系
则
,
,
,
,
,
设平面
的一个法向量为
,
不妨设
,
,则
,
又
又
平面
平面
(2)
,
设平面
的一个法向量为
,
.
不妨设
,则
,
,
.
设向量
与
的夹角为
,
则
∴平面
与平面
所成二面角的余弦值为
【点睛】
方法点睛:
对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.
18.
(1)
(2)2
【解析】
【详解】
(Ⅰ)由题意知
,综合
,解得
,所以,椭圆的方程为
.
(Ⅱ)由题设知,直线
的方程为
,代入
,得
,
由已知
,设
,
则
,
从而直线
与
的斜率之和
.
考点:
1.椭圆的标准方程;2.圆锥曲线的定值问题.
19.
(1)
;
(2)证明见解析;
(3)
.
【解析】
【分析】
(1)根据
,令n=1,2,3即可求出前三项;
(2)利用
与
的关系得到{
}的递推公式,从而可以证明
,其中k为常数;
(3)根据
(2)求出
,从而求出
,根据通项公式的特征,分n为奇数和偶数两种情况进行求和,求和时采用分组求和法与错误相减法.
(1)
当
时,有:
;
当
时,有:
;
当
时,有:
;
综上可知
;
(2)
由已知得:
时,
,
化简得:
上式可化为:
故数列{
}是以
为首项,公比为2的等比数列.
(3)
由
(2)知
,∴
,
∴
当n为偶数时,
=
令
,
①
②
则①
②得
,
∴
,
=
,
所以
.
当n为奇数时,
,
,
所以
.
综上,
.
20.
(1)
;
(2)单调减区间是
,单调增区间是
,极小值为
,无极大值;(3)
.
【解析】
【分析】
(1)求导,代值,算出斜率即可求出切线方程;
(2)分
和
讨论导函数的符号,研究单调性,从而得到极值;
(3)问题转化为
对于
恒成立,再分离变量研究函数的最值即可.
【详解】
(1)
,
,则
所以
在点
处的切线方程为
即
(2)因为
,
所以
,
①当
时,因为
,所以
,
函数
的单调增区间是
,无单调减区间,无极值
②当
时,令
,解得
,
当
时,
;当
,
,
所以函数
的单调减区间是
,单调增区间是
,
在区间
上的极小值为
,无极大值.
综上,
当
时,函数
的单调增区间是
,无单调减区间,无极值
当
时,函数
的单调减区间是
,单调增区间是
,极小值为
,无极大值.
(3)因为对于任意
,都有
成立,所以
,
即问题转化为
对于
恒成立,
即
对于
恒成立,
令
,则
,
令
,
,则
,
所以
在区间
上单调递增,
故
,进而
,
所以
在区间
上单调递增,
函数
,
要使
对于
恒成立,只要
,
所以
,即实数m的取值范围是
.
【点睛】
方法点睛:
对于不等式恒成立问题,常用的方法是通过分离变量转化为函数的最值问题.
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