合比性质和等比性质例初中数学第四册教案八年级数学教案.docx
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合比性质和等比性质例初中数学第四册教案八年级数学教案
合比性质和等比性质例——初中数学第四册教案_八年级数学教案
石佛镇素质教育研讨会
教研课
教案设计
教者:
龙秀明
教学课题:
合比性质和等比性质
教学目标:
1、掌握合比性质的等比性质,并会用它们进行简单的比例变形
2、会将合比性质、等比性质用于比例线段。
3、提高学生类比联想、推广命题的能力。
教学重、难点:
熟练地、灵活地运用合比性质与等比性质。
课前准备:
小黑板、幻灯机及幻灯片。
教学过程:
一、复习引入:
我们在前边学习了线段的比,比例的有关概念及性质,那么请同学们回忆
1、什么叫线段的比?
2、什么叫成比例线段?
我们还学习了比例的基本性质,那么,除此之外,比例还有一些什么性质呢?
这就是本节课我们将要研究的比例的合比性质与等比性质。
(出示课题:
合比性质与等比性质)
那么,通过本节课的学习我们要达到一个什么样的要求呢?
(出示小黑板)看学习目标1、2,(全班同学齐读)
下边请同学们再回忆,我们在上一章学习的平等线等分线段定理是如何叙述的?
(抽同学回答)
请看幻灯(投影显示)
二、(用特殊化方法)探索合比性质。
1、复习,已知:
一组平行线在直线l上截得的线段AB=BC=CD=DE=EF则由平行线等分线段定理可得一个结论:
即A´B´=B´C´=C´D´=D´E´=E´F´。
2、将上述结论改写成比例式,由此猜想得出结论,引导学生思考:
如果设在l上截得的每一份为k,问AD=?
DF=?
?
又设在l1上截得的一等份为m,问A´D´=?
D´F´=?
?
观察以上分析,可得出一个什么样的结论?
又观察与有什么关系?
对于一般的比例
式都有这一个关系吗?
请猜一猜。
猜想:
学生口述(同学间可相互讨论、研究)
教师根据学生口述、写出:
如果
3、证明猜想,得出合比性质,
我们这个猜想,是否正确呢?
(1)启发学生观察,已知与未知的关系,寻找证明思路,证法一:
(设比法)
设
∵
∴
证法二、(利用等比性质2)
∵ ∴ ∴
(2)类比联想,得到分比性质。
如果
学生自由讨论,可仿上边自己证明结论。
在今后,这两种情形都叫合比性质,即
如果
(3)理解合比性质的内容,师生一起用文字语言叙述。
4、类比联想,将合比性质推广。
在合比性质的表达式中,
(1)比例的二、四项保持不变,
(2)比例的前后磺对应求和或差,作为新比例式的第一、三比例项。
由此,可作出以下类比联想,并使用比例的基本性质进行证明。
猜想一,(教师引导) 如果
二 …… 如果
三 …… 如果等等。
对这几个猜想出来的问题,其基本思考方法有两种:
(1)通过一定的方法,将它们变形利用合比性质的结果,证明时,可灵活运用以下变形方法。
①同时交换比例的内或外项,(更比)
如果
②同时交换比例的前后项,(反比)
如果
比如证明猜想三,如果
(2)对原合比性质的证明方法进行类比、联想来进行证明(设比法)
三、利用合比性质来证明等比性质的特例,并推广。
1、练习(投影显示)
证明:
2、观察上述练习的两个结论,并对一般情况作出猜想,对练习中相等的比值的比个数进行推广。
如果
3、利用设比法进行证明,得出等比性质,同学们自己练习,后与教材P20对比。
4、强调证明方法“设比法”。
设几个相等的比值为k,用它们表示出每个比的前项(或后项)利用代数运算证明比例问题,这种思想方法在比例问题中经常用到。
四、简单运用(出示小黑板)
(1)已知:
,
(2)已知:
(3)已知:
=
注意:
①合比性质与等比性质的证明方法和结论都很重要,都可用来证明有关比例式的问题。
如第三题一问
解法1、
解法2、
第二问可用解法2。
②还常以另一种形式出现,即x:
y:
z=4:
3:
6但此时不能设。
五、师生共同小结,看书完成P203练习
1、合比性质,等比性质及常用变形,尤其注意等比性质的使用条件。
2、证明两个性质时所用到的“设比法”的证明方法。
3、类比联想,推广命题,由特殊到一般,再进行证明的方法。
六、练习:
(1)已知求的值;
(2)已知求的值;
(3)已知求的值;
(4)已知试求的值。
由(4)题思考通过作第(4)题得出结论,结合前边所学内容猜想,你能得出什么结论,并试证之。
板书设计:
合比性质与等比性质
1、合比性质:
2、等比性质:
小黑板①②③
内容 内容 小结1、
证明:
证明:
2、
推广① 推广
②
石佛镇素质教育研讨会
教研课
教案设计
教者:
龙秀明
教学课题:
合比性质和等比性质
教学目标:
1、掌握合比性质的等比性质,并会用它们进行简单的比例变形
2、会将合比性质、等比性质用于比例线段。
3、提高学生类比联想、推广命题的能力。
教学重、难点:
熟练地、灵活地运用合比性质与等比性质。
课前准备:
小黑板、幻灯机及幻灯片。
教学过程:
一、复习引入:
我们在前边学习了线段的比,比例的有关概念及性质,那么请同学们回忆
1、什么叫线段的比?
2、什么叫成比例线段?
我们还学习了比例的基本性质,那么,除此之外,比例还有一些什么性质呢?
这就是本节课我们将要研究的比例的合比性质与等比性质。
(出示课题:
合比性质与等比性质)
那么,通过本节课的学习我们要达到一个什么样的要求呢?
(出示小黑板)看学习目标1、2,(全班同学齐读)
下边请同学们再回忆,我们在上一章学习的平等线等分线段定理是如何叙述的?
(抽同学回答)
请看幻灯(投影显示)
二、(用特殊化方法)探索合比性质。
1、复习,已知:
一组平行线在直线l上截得的线段AB=BC=CD=DE=EF则由平行线等分线段定理可得一个结论:
即A´B´=B´C´=C´D´=D´E´=E´F´。
2、将上述结论改写成比例式,由此猜想得出结论,引导学生思考:
如果设在l上截得的每一份为k,问AD=?
DF=?
?
又设在l1上截得的一等份为m,问A´D´=?
D´F´=?
?
观察以上分析,可得出一个什么样的结论?
又观察与有什么关系?
对于一般的比例
式都有这一个关系吗?
请猜一猜。
猜想:
学生口述(同学间可相互讨论、研究)
教师根据学生口述、写出:
如果
3、证明猜想,得出合比性质,
我们这个猜想,是否正确呢?
(1)启发学生观察,已知与未知的关系,寻找证明思路,证法一:
(设比法)
设
∵
∴
证法二、(利用等比性质2)
∵ ∴ ∴
(2)类比联想,得到分比性质。
如果
学生自由讨论,可仿上边自己证明结论。
在今后,这两种情形都叫合比性质,即
如果
(3)理解合比性质的内容,师生一起用文字语言叙述。
4、类比联想,将合比性质推广。
在合比性质的表达式中,
(1)比例的二、四项保持不变,
(2)比例的前后磺对应求和或差,作为新比例式的第一、三比例项。
由此,可作出以下类比联想,并使用比例的基本性质进行证明。
猜想一,(教师引导) 如果
二 …… 如果
三 …… 如果等等。
对这几个猜想出来的问题,其基本思考方法有两种:
(1)通过一定的方法,将它们变形利用合比性质的结果,证明时,可灵活运用以下变形方法。
①同时交换比例的内或外项,(更比)
如果
②同时交换比例的前后项,(反比)
如果
比如证明猜想三,如果
(2)对原合比性质的证明方法进行类比、联想来进行证明(设比法)
三、利用合比性质来证明等比性质的特例,并推广。
1、练习(投影显示)
证明:
2、观察上述练习的两个结论,并对一般情况作出猜想,对练习中相等的比值的比个数进行推广。
如果
3、利用设比法进行证明,得出等比性质,同学们自己练习,后与教材P20对比。
4、强调证明方法“设比法”。
设几个相等的比值为k,用它们表示出每个比的前项(或后项)利用代数运算证明比例问题,这种思想方法在比例问题中经常用到。
四、简单运用(出示小黑板)
(1)已知:
,
(2)已知:
(3)已知:
=
注意:
①合比性质与等比性质的证明方法和结论都很重要,都可用来证明有关比例式的问题。
如第三题一问
解法1、
解法2、
第二问可用解法2。
②还常以另一种形式出现,即x:
y:
z=4:
3:
6但此时不能设。
五、师生共同小结,看书完成P203练习
1、合比性质,等比性质及常用变形,尤其注意等比性质的使用条件。
2、证明两个性质时所用到的“设比法”的证明方法。
3、类比联想,推广命题,由特殊到一般,再进行证明的方法。
六、练习:
(1)已知求的值;
(2)已知求的值;
(3)已知求的值;
(4)已知试求的值。
由(4)题思考通过作第(4)题得出结论,结合前边所学内容猜想,你能得出什么结论,并试证之。
板书设计:
合比性质与等比性质
1、合比性质:
2、等比性质:
小黑板①②③
内容 内容 小结1、
证明:
证明:
2、
推广① 推广
②
教学建议
根据本节内容的特点和与平行四边形的关系,建议教师在教学过程中注意以下问题:
1.正方形的知识,学生在小学时接触过一些,可由小学学过的知识作为引入。
2.正方形在现实中的实例较多,在讲解正方形的性质和判定时,教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定,既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识.
3.如果条件允许,教师在讲授这节内容前,可指导学生按照教材145页图4-30所示,制作一个平行四边形作为教学过程中的道具,既增强了学生的动手能力和参与感,有在教学中有切实的体例,使学生对知识的掌握更轻松些.
4.在对性质的讲解中,教师可将学生分成若干组,每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量,然后在组内进行整理、归纳.
5.由于正方形的性质定理证明比较简单,教师可引导学生分析思路,由学生来进行具体的证明.
6.在正方形性质应用讲解中,为便于理解掌握,教师要注意题目的层次安排。
教学引入
师:
前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
师:
现在我们来学习一种新的特殊的平行四边形----正方形。
讲授新课
师:
正方形我们在小学就已经接触过,首先我们来看正方形的定义。
动画演示:
场景一:
正方形定义
师:
正方形的定义我们可以分成俩部分来理解:
(1) 有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2) 有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
师:
根据这两部分我们会想起什么?
[学生活动:
积极思考,回想学过定义,大部分学生会想起矩形和菱形,小声议论甚至抢答。
]
生:
有一个角是直角的平行四边形是矩形,
(1)说的是矩形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形,
(2)说的是菱形。
生:
正方形既是矩形又是菱形。
生:
正方形还是平行四边形。
师:
大家想得都不错。
正方形既是矩形又是菱形,根据定义,他还是平行四边形。
师:
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。
动画演示:
场景二:
正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系
师:
正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示:
图1
师:
请同学们回想一下,我们在学习矩形、菱形时,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。
师:
那么,根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,正方形应具有什么样的性质?
[学生活动:
回忆矩形、菱形的性质,并逐个验证在正方形上。
]
师在学生活动时要注意观察学生的情况,有疑惑时要注意及时反馈。
师:
我们来归纳总结正方形的性质。
动画演示:
场景三:
矩形的性质
场景四:
菱形的性质
¿场景五:
正方形的性质
例题讲解
例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:
BG=CE
分析:
据已知条件画出图形,如图2所示,要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明△ABG≌△AEC.
证明:
∵四边形ABDE和ACFG都是正方形
∴AB=AE,AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC
即∠BAG=∠EAC
∴△ABG≌△AEC∴BG=CE
图2
说明:
应用正方形的性质,可以为证明全等提供条件,要注意等式性质的应用,这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同,证法是可以借鉴的。
巩固练习
巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。
讲解新课
师:
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形,那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系,怎么判定一个矩形是正方形?
生:
证一组邻边相等。
师:
怎么判定一个菱形是正方形?
生:
证有一个角是直角。
师:
怎么判定一个平行四边形是正方形?
生:
根据定义,证有一组邻边相等且有一个角是直角。
师:
那么,刚才的结论如果用图来表示,是不是如图3所示?
师:
图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。
这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的,但似乎有缺憾,能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全?
[学生活动:
积极思考,部分学生疑惑不解。
]
师点取上等学生回答问题,根据回答得图4。
生恍然大悟。
学生思路得到启发,中上等及上等学生意犹未尽,鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路,并要求其举出简单示例。
就势跟进,要求学生思考,给定四边形,有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?
要求给出简单图例,并说出相应证明思路。
为进一步理解正方形的判定方法,可研究以下几个问题:
(3)对角线相等的菱形是正方形吗?
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
(5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?
若不是,还需增加什么条件?
(6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?
”
(7)四个角都相等的四边形是正方形吗?
小结:
证明正方形的思路,总体讲三种思路,如图4所示;遇到具体条件要学会具体分析,规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线,或者把他们搅和在一起。
这是一定要都要冷静,学会去分析。
动画演示:
场景六:
正方形的判定
F例题讲解
例2 如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,
求证:
AD=AM。
分析:
欲证AD=AM,只需证明∠1=∠2,但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,容易证明得:
△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?
只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A是ND中点即可。
这是是否发现△BCF≌△ANF?
由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。
问题得证。
证明:
略。
说明:
将此题中的中点E、F进行变化:
E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点,且BE=AF,则有DE⊥CF。
这个变化后的图形在正方形中常常出现,要注意隐含的这个垂直条件。
课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。
教学建议
1.知识结构
2.重点和难点分析
重点:
本节的重点是平行四边形的概念和性质.虽然平行四边形的概念在小学学过,但对于概念本质属性的理解并不深刻,为了加深学生对概念的理解,为以后学习特殊的平行四边形打下基础,所以教师不要忽视平行四边形的概念教学.平行四边形的性质是以后证明四边形问题的基础,也是学好全章的关键.尤其是平行四边形性质定理2的推论,推论的应用有两个条件:
一个是夹在两条平行线间;一个是平行线段,具备这两个条件才能得出一个结论平行线段相等,缺少任何一个条件结论都不成立,这也是学生容易犯错的地方,教师要反复强调.
难点:
本节的难点是平行四边形性质定理的灵活应用.为了能熟练的应用性质定理及其推论,要把性质定理和推论的条件和结论给学生讲清楚,哪几个条件,决定哪个结论,如何用数学符号表示即书写格式,都要在讲练中反复强化.
3.教法建议
(1)教科书一开始就给出了平行四边形的定义,我感觉这样引入新课,不利于调动学生的积极性.自己设计了一个动画,建议老师们用它作为本节的引入,既可以激发学生的学习兴趣,又可以激活学生的思维.
(2)在生产或生活中,平行四边形是常见图形之一,教师可以多给学生提供一些平行四边形的图片,增加学生的感性认识,然后,让他们自己总结出平行四边形的定义,教师最后做总结.平行四边形是特殊的四边形,要判定一个四边形是不是平行四边形,要判断两点:
首先是四边形,然后四边形的两组对边分别平行.平行四边形的定义既是平行四边形的一个判定方法,又是平行四边形的一个性质.
(3)对于教师来说讲课固然重要,但讲完课后有目的的强化训练也是不可缺少的,通过做题,帮助学生更好的理解所讲内容,也就是我们平时说的要反思回顾,总结深化.
平行四边形及其性质第一课时 一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生掌握平行四边形的概念,理解两条平行线间的距离的概念.
2.掌握平行四边形的性质定理1、2.
3.并能运用这些知识进行有关的证明或计算.
(二)能力训练点
1.知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来处理,渗透转化思想.
2.通过推导平行四边形的性质定理的过程,培养学生的推导、论证能力和逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
通过要求学生书写规范,培养学生科学严谨的学风.
(四)美育渗透点
通过学习,渗透几何方法美和几何语言美及图形内在美和结构美
二、学法引导
阅读、思考、讲解、分析、转化
三、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点:
平行四边形性质定理的应用
2.教学难点:
正确理解两条平行线间的距离的概念和运用性质定理2的推论;在计算或证明中综合应用本节前一章的知识.
3.疑点及解决办法:
关于性质定理2的推论;两点的距离,点到直线的距离,两平行直线中间的距离的区别与联系,注重对概念的教学,使学生深刻理解上述概念,搞清它们之间的关系;平行四边形的高有关问题.
四、课时安排
2课时
五、教具学具准备
教具(做两个全等的三角形),投影仪,投影胶片,小黑板,常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师复习提问,学习思考口答;教师设疑引思,学生讨论分析;师生共同总结结论,教师示范讲解,学生达标练习
第一课时
七、教学步骤
【复习提问】
1.什么叫做四边形?
什么叫四边形的一组对边?
2.四边形的两组对边在位置上有几种可能?
(教师随着学生回答画出图1)
图1
【引入新课】
在四边形中,我们常见的实用价值最大的就是平行四边形,如汽车的防护链,无轨电车的击电杆都是平行四边形的形象,平行四边形有什么性质呢?
这是这节课研究的主要内容(写出课题).
【讲解新课】
1.平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
注意:
一个四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形,反过来,平行四边形就一定是有“两组对边分别平行”的一个四边形.因此定义既是平行四边形的一个判定方法(定义判定法)又是平行四边形的一个性质.
2.平行四边形的表示:
平行四边形用符号“”表示,如图1就是平行四边形,记作“”.
图1 3.平行四边形的性质
讲解平行四边形性质前必须使学生明确平行四边形从属于四边形,因此它具有四边形的一切性质(共性),同时它又是特殊的四边形,当然还有其特性(个性),下面介绍的性质就是其特性,这是一般四边形所不具有的.
平行四边形性质定理1:
平行四边形的对角相等.
平行四边形性质定理2:
平行四边形对边相等.
(教具用两个全等的三角形拼凑的平行四边形演示,由此得到证明以上两个定理的方法.如图2)
图2
如图3,,.
所以四边形是平行四边形,所以.
由此得到
推论:
夹在两条平行线间的平行线段相等.
图3
要注意:
必须有两个平行,即夹两条平行线段的两条直线平行,被夹的两条线段平行,缺一不可,如图4中的几种情况都不可以推出.
图4
4.平行线间的距离
从推论可以知道,如果两条直线平行,那么从一条直线上所有各点到另一条直线的距离相等,如图5.
我们把两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做平行线的距离.
图5
注意:
(1)两相交直线无距离可言.
(2)连结两点间的线段的长度叫两点间的距离,从直线外一点到一条直线的垂线段的长,叫点到直线的距离.两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离,一定要注意这些概念之间的区别与联系.
例1 已知:
如图1,,.
求证:
(1);;.
(2)△的顶点分别是△各边的中点(证法略),课堂提问(投影打出).
图1
①平行四边形两邻边的比为2:
5,周长为28cm,则四条边长分别为___________.
②在中,若,则,.
【总结、扩展】
1.小结
本堂所讲的主要
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 合比性质和等比性质例 初中数学第四册教案八年级数学教案 性质 等比 初中 数学 第四 教案 年级 数学教案