平移与旋转压轴题纯平移旋转没有相似.docx
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平移与旋转压轴题纯平移旋转没有相似
平移与旋转压轴题
1.正方形ABCD中,点E、F分别是边ADAB的中点,连接EF.
(1)如图1,若点G是边BC的中点,连接FG贝yEF与FG关系为:
;
(2)
EQBP三者之间的数量关系,并证明你的结
如图2,若点P为BC延长线上一动点,连接FP,将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转90°,得到线段FQ,连接EQ请猜想EF、
论;
(3)
中的作法,在图3中补全图形,并直接写出
若点P为CB延长线上一动点,按照
(2)
EF、EQBP三者之间的数量关系:
.
BP三者之间的数量关系.
2.在RtAABC中,/ACB=90°,/A=30°点D是AB的中点,DEXBC,垂足为点E,连接CD.
(1)如图1,DE与BC的数量关系是;
(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点BC重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60。
,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点P是线段CB延长线上一动点,按照
(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、
j
E
ffll
(2)
144°
(3)
E作EF//BC交AB于F,
,连结CE,BF',求证:
CE=BF;
将^AEF绕点A逆时针旋转角a(O°VaV
如图
(2),过点
)得到△AE'F'
在
(2)的旋转过程中是否存在CE//AB?
若存在,求出相应的旋转角a;若不存在,
请说明理由.
4.在数学活动课中,小辉将边长为返和3的两个正方形放置在直线I上,如图1,他连结
ADCF,经测量发现AD=CF
S
w
圏1
(1)他将正方形说明你的理由;
(2)他将正方形的长.
ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图2,
ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线
试判断AD与CF还相等吗?
I上,如图3,请你求出CF
5.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含
与AFE按如图
60°角的直角三角板ABC
C
C
(1)如图
(1)
(2)
Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角
AC与EF交于点NBC与EF交于点
所示位置放置放置,现将
(2),AE与BC交于点M
求证:
AM=AN
当旋转角a=30。
时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?
并说明理由.
a(0°VaV90°),
P.
),当AP旋转至AP丄AB时,点B、P、P恰好在同一直线上,此时
6.如图,在Rt△ABC中,/C=90,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P
作PE丄AC于点E.
(1)求证:
/CBP2ABP
(2)求证:
AE=CP
CP3—
(3)(相似)当——BP'=575时,求线段AB的长.
PE2
7(三角函数).如图1在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,
4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方
(2)当点P运动到点(J3,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于<3?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若
4
不存在,请说明理由.
&操作发现,将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.
问题解决将图①中的等腰直角三角板
(1)求证:
△CDO是等腰三角形;
(2)若DF=8求AD的长.
9.如图1,^ABC是等腰直角三角形,四边形此时BD=CFBD丄CF成立。
ADEF是正方形,DF分别在ABAC边上,
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转0若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45求证:
BD丄CF。
(3)在
(2)小题的条件下,AC与BG的交点为
(0
时,
<0<90
)时,如图2,BD=CF成立吗?
如图3,延长BD交CF于点G。
M当AB=4,ad时,求线段CM的长。
10、已知:
正方形ABCD中,/MAN=45°/MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当/MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.
(1)当/MAN绕点A旋转到BM羽N时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明.
A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数
(2)当/MAN绕点
量关系?
并说明理由.
11、有两张完全重合的矩形纸片,小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90。
后得到矩形
AMEF(如图甲),连结BD、MF,若此时他测得BD=8cm,/ADB=30°
⑴试探究线段BD与线段MF的关系,并简要说明理由;
⑵小红同学用剪刀将△BCD与^MEF剪去,与小亮同学继续探究.他们将△ABD绕点A
顺时针旋转得△ABiDi,ADi交FM于点K(如图乙),设旋转角为£3(0<3<90°,当△AFK为等腰三角形时,请直接写出旋转角3的度数;
D
12、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板,如图所示,木工师傅通过测量可知,
我可以把两块木板拼成
BD900,ADCD。
思考一段时间后,一位木工师傅说:
一个正方形。
”另一位木工师傅说:
我可以把一块木板拼成一个正方形,两块木板拼成两个正方形。
”两位木工师傅把木板只分割了一次,你知道他们分别是怎样做的吗?
画出图形,并说明理由。
想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)
BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若
将△EFP沿直线I向左平移到图14-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ•你认为
(2)中所猜想的成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
图14-3
14.如图23-127所示,在平面内直线I上摆放着两块大小相同的直角三角板,它们中较小直角边的长为6cm,较小锐角的度数为30°.
⑴将^ECD沿着直线AC翻折到如图23—128
(1)所示的位置,ED'与AB相交于点F求证AF=FD;
⑵将△ECD沿直线I向左平移到如图23—128
(2)所示的位置,使E点落在AB上,记为E',求出平移的距离;
⑶将△ECD绕点C逆时针方向旋转到如图23—128(3)所示的位置,使得点E落在AB上,记为点E',求出旋转角的度数.
1解:
(1垂直且相等。
平移与旋转压轴题答案
(2)EF、EQBP三者之间的数量关系为:
EF
证明如下:
如图,取BC的中点G,连接FG
由
(1)得EF=FGef±FG
根据旋转的性质,FP=FQ/PFQ=90o
•••/GFP玄GFE-/EFP=90—/EFP,
/EFQ=ZPFQ-/EFP=90—/EFP。
•••/GFP玄EFQ
在^FQE和△FPG中,•••EF=GF/EFQ/GFF,
•••△FQE^AFPG(SASo••EQ=GP
•••EFGF72bG
72BPGP72BP
72BP
EQ。
C
D
十FO
(3)补图如下,
F、
EQBP三者之间的数量关系为:
D
■
2、解:
(1)DE=*k
BCo
(2)根据旋转的性质得到/
NDBF,贝UCP=BF
利用
(3)补全图形如图,
DE、
PDF=60,DP=DF易得/CDP=ZBDF,根据“SA可判断△DCPCP=BC-BP,DEmJ^BC可得到BF+B9=^^DE;
23
BF、BP三者之间的数量关系为BF-BPm^^DEo
3
3、解:
(1证明:
•••
又•••BE平分/ABC•••/ABE玄CBE=36。
•••/BEC=180-/C-/CBE=72ABE=/A,/BEC玄CC•••AE=BEBE=BC•••AE=BC
(2)证明:
•••AC=AB且EF//BC,••AE=AF
由旋转的性质可知:
/
AB=BC/A=36,•/ABC玄C=72。
E'AC=/F’ABAE=AF,
ABAC
\
\
1
/
/
w
z
\X
C£J/
•••在△CAE和^BAF
中,
FAB
AFAE
EAC,
•••△CAE◎△BAFo
(3)存在CE//AB
由
(1)可知AE=BC所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,过点C且与AB平行的直线I交于MN两点,
•••CE
=BF'。
E点经过的路径(圆弧)与
如图:
①当点E的像E‘与点M重合时,则四边形ABCM为等腰梯形,
•••/BAM/ABC=72,又/BAC=36。
--a=/CAM=36。
②当点E的像E'与点N重合时,
由AB//I得,/AMN/BAM=72,
•/AMuAN;/ANM/AMN=72。
•••/MAN=18°-2X72°=36°。
•a=/CAN/CAM/MAN=7°。
•••当旋转角为36°或72。
时,CE//ABo
4、解:
(1)AD=CF理由如下:
在正方形ABCO和正方形ODEF中,•/AO=COOD=OF/AOC/DOF=90,•••/AOC/COD/DOF-/COD即/AOD/COF
在^AOD和^COF中,•/AO=CO/AOD/COFOD=OF•••△AOD^ACOF(SAS。
•-AD=CF
(2)与
(1)同理求出CF=AD
如图,连接DF交OE于G贝yDF丄OEDG=Og1oE
2
•••正方形ODEF勺边长为72,•••oeJ2X72=2。
--DG=OG=OE=—X2=1o
22
•••AG=AO+OG=3+1=4
在Rt△ADG中,AD>/AG2~DG^J4212后,
/•cf=ad=/17。
5、解:
(1)证明:
/•用两块完全相同的且含60°角的直角三角板
所示位置放置放置,现将
•••AB=AF/BAM/FAN
Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角
ABC与AFE按如图
(1)
(0°VaV90°),
•••在△ABM和^AFN中,
FANBAM
ABAF
BF
•••△ABM^AAFN(ASA。
•••AM=AN
(2)当旋转角a=30°时,
四边形ABPF是菱形。
理由如下:
连接AP,
•//a=30°,•/FAN=30
•//B=60°,.・.AF//BPoA/F=/FPC=60。
•••/FPC=ZB=60°。
二AB//FP。
•••四边形ABPF是平行四边形。
。
.・./FAB=120。
_1
£
是AP旋转得到,•••AP=AP°.・.ZAPP=ZAPP。
•ZCBP+ZBPC=90,/ABP+ZAPP=90。
o•/CBP玄ABF。
6、解:
(1)证明:
•••AP
•//C=9C°,AP丄AB,又•••/BPCZAPP(对顶角相等)
(2)证明:
如图,过点P作PD丄AB于D,•//CBP玄ABP,/C=90,•CP=DP•/P’EXAC•••/EAP+/APE=90°。
又•••/PAD+ZEAP=90°,
•••/PAD玄APE。
在△APD和△P’AE中,
PADAPE
ADP
PEA900,
3
—,•••设CP=3kPE=2k,贝UAE=CP=3kAP'=AP=3k+2k=5k。
2
APAP
•••△APD^^P'AE(AAS。
•AE=DP••AE=CP(3)•••CP
PE
在Rt△AEP
中,
I22
PE5k3k4k,
•//cng。
•//BPC玄EPP
又•••/BAP=ZP’EP=90,•••△ABPepP
PA1
。
.・.PA—AB。
2k2
P'
EXAC,•••/CBP+ZBPC=90,/EPP+ZP'PE=90。
(对顶角相等),•••/CBP玄P’P&
ABPA。
即些
PEPE4k
在Rt△ABP中,AB2
PA2BP2,即AB2
^AB25^52。
4
解得AB=10
7、解:
(1)如答图1,
过点B作BEXy轴于点
E,
由已知得:
BF=OE=2•••OFJ42222j3。
•••点B的坐标是(2^3,2)。
设直线AB的解析式是y=kx+b(0),则有
2尿b2,解得k眉
b4
T
A
F
L
HF
BF丄x轴于点F。
A
(2)•••△ABD由△AOP旋转得到,
•••△ABD^AAOP•••AP=AD/DAB玄PAO•••/DAP玄BAO=60o•△ADP是等边三角形。
•-DPAP店73719。
如答图2,过点D作DH1x轴于点H,延长EB交DH于点G
BGIDH
在Rt△BDG中,/BGD=90,/DBG=60,
1
•••BG=BD?
cos6°=73-
2
區.DG=BD?
sin60
5
•••oh=eg=J3,
2
•••点D的坐标为
DH=7o
2
(9恵,
2
7)o
(3)存在。
假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD
的面积等于J3。
设点卩为(t,0),下面分三种情况讨论:
2^3
(舍去)。
•••GH=BF=.(母)=2+
2
h2亨t臬,解得ti晳,t2灵o
•DH=孕-2o
£?
1
•/△OPD的面积等于
•••点P4的坐标为(
忑,0)、P3(43,0)、
综上所述,点P的坐标分别为P(呵2亞,0)、Pa
3
P4(历M,0)o
3
8、解;
(1)证明:
由图①知BC=DE•/BDC=/BCD•//DEF=30,•/BDC=/BCD=75o
•//ACB=45,•/DOC=30+45°=75°°
•••/DOCMBDC•••△CDC是等腰三角形。
GDHLBF,垂足为点H,
(2)作AG!
BC垂足为点
在Rt△DHF中,/F=60°,
DF=8•••DH=4/3,HF=4
在Rt△BDF中,/F=60°,
DF=8•••DB=8/3,BF=16o
•-bc=bd=^/3o•/AG丄BC,/ABC=45,•BG=AG=43o•AG=DH
•••AG//DH•••四边形AGHD为矩形。
•••AD=GH=BFBG-HF=16-4逅-4=12-4品。
9、解:
(1)BD=CF成立。
理由如下:
•••△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,
•••AB=ACAD=AF/BACKDAF=90。
•//BAD玄BAC-/DAC/CAF=/DAF-/DAC•/BAD玄CAR在^BAD和^CAF中,•/AB=AC/BAD/CAE•••△BAD^ACAF(SAS。
•-BD=CF
(2)证明:
•••△BAD^ACAF(已证),•/ABM/GCM又•••/BMA/CMG・jBMA^ACMG•••/BGC/BAC=90oABD丄CF。
(3)
过点F作FN丄AC于点N。
--o
•••AN=FN=AE=0
•••在等腰直角△ABC中,AB=4,
•••CN=AC-AN=3o
•••在Rt△FCN中,,
在Rt△ABM中,。
•-AM=
•••CM=A&AM#。
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