高考数学理总复习空间中的平行与垂直解析版.docx
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高考数学理总复习空间中的平行与垂直解析版
2020年高考数学(理)总复习:
空间中的平行与垂直
题型一空间地点关系的判断
【题型重点】
(1)解决空间线面地点关系的判断问题常有以下方法:
①依据空间线面垂直、平行关系
的判断定理和性质定理逐项判断来解决问题;②必需时能够借助空间几何模型,如从长方体、四周体等模型中察看线面地点关系,并联合有关定理来进行判断.
(2)娴熟掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语言以及图形语言的相互变换,是解决此类问题的重点.
【例1】如图,在以下四个正方体中,A,B为正方体的两个极点,M,N,Q为所在棱
的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()
【分析】B选项中,AB∥MQ,且AB?
平面MNQ,MQ?
平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C选项中,AB∥MQ,且AB?
平面MNQ,MQ?
平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,AB∥NQ,且AB?
平面MNQ,NQ?
平面MNQ,则AB∥平面MNQ.应选A.
【答案】A
【例2】.如图,平面α⊥平面β,α∩β=直线l,A,C是α内不一样
的两点,B,D是β内不一样的两点,且A,B,C,D?
直线l,M,N分
别是线段AB,CD的中点.以下判断正确的选项是()
A.当CD=2AB时,M,N两点不行能重合
B.M,N两点可能重合,但此时直线AC与l不行能订交
C.当AB与CD订交,直线AC平行于l时,直线BD能够与l订交
D.当AB,CD是异面直线时,直线MN可能与l平行
【分析】因为直线CD的两个端点都能够动,所以M,N两点可能重合,此时两条直
线AB,CD共面,因为两条线段相互均分,所以四边形ACBD是平行四边形,所以AC∥BD,
1
则BD?
β,所以由线面平行的判断定理可得AC∥β,又因为AC?
α,α∩β=l,所以由线面平行的性质定理可得AC∥l,故应清除答案A,C,D,应选B.
【答案】B
题组训练一空间地点关系的判断
1.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面四
边形是平行四边形,则这样的平面α()
A.有无数多个B.恰有4个
C.只有1个D.不存在
【分析】如图,由题知面PAD与面PBC订交,面PAB与面PCD
订交,可设两组订交平面的交线分别为m,n,由m,n决定的平面为β,
作α与β平行且与四条侧棱订交,交点分别为A1,B1,C1,D1,则由
面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1,A1D1∥m∥B1C1,进而得截面
必为平行四边形.因为平面α能够上下平移,可知知足条件的平面α
有无数多个.应选A.
【答案】A
2.已知m,l是直线,α,β是平面,给出以下命题:
①若l垂直于α,则l垂直于α内的全部直线
②若l平行于α,则l平行于α内的全部直线
③若l?
β,且l⊥α,则α⊥β
④若m?
α,l?
β,且α∥β,则m∥l
此中正确的命题的个数是()
A.4B.3C.2D.1
【分析】关于①,由线面垂直的定义可知①正确;
关于②,若l平行于α内的全部直线,依据平行公义可得:
α内的全部直线都相互平行,明显是错误的,故②错误;
关于③,依据面面垂直的判断定理可知③正确;
2
关于④,若m?
α,l?
β,且α∥β,则直线l与m无公共点,∴l与m平行或异面,故④错误;应选C.
【答案】C
题型二平行与垂直的证明与体积
【题型重点】
(1)平行关系及垂直关系的转变
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转变,即经过判断、性质定理将线线、线面、面
面之间的平行、垂直关系相互转变.
(2)数学思想
①本例在证明线线垂直、线面平行时,采纳了转变与化归思想.
②利用转变与化归思想还能够解决本专题中的线面其余地点关系.
(3)求解多面体的体积问题,如最值问题、高的问题、点面距离的问题,一般利用公式法、等体积法、割补法、函数与方程的思想求解.
【例2】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB
1
=BC=2AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:
直线BC∥平面PAD;
3
(2)若△PAD面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.
【分析】
(1)证明:
在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC?
平面PAD,AD?
平面PAD,故BC∥平面PAD.
1
(2)取AD的中点M,连结PM,CM,由AB=BC=2AD及BC∥AD,∠ABC
=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD,平面PAD∩平面ABCD
=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD,因为CM?
底面ABCD,所以PM⊥CM.
设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=
3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连结PN,
则PN⊥CD,所以PN=14
x
2
因为△PCD的面积为2
1
14
7,所以×2x×
2
x=27,解得x=2(舍去),x=2,于是AB
2
=BC=2,AD=4,PM=2
1
22+4
×23=4
3.
3,所以四棱锥P-ABCD的体积V=×
2
3
题组训练二平行与垂直的证明与体积
如图,平面ABCD⊥平面ADEF,四边形ABCD为菱形,四边形
ADEF为矩形,
M,N
分别是EF,BC的中点,AB=2AF,∠CBA=60°.
①求证:
DM⊥平面MNA;
②若三棱锥A-DMN的体积为33,求MN的长.
①【证明】连结AC,在菱形ABCD中,∠CBA=60°,且AB=BC,
4
∴△ABC为等边三角形,又∵N为BC的中点,
∴AN⊥BC,∵BC∥AD,
∴AN⊥AD,又∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,AN?
平面
ABCD,∴AN⊥平面ADEF,又DM?
面ADEF,∴DM⊥AN.∵在矩形ADEF中,AD=2AF,M为EF的中点,∴△AMF为等腰直角三角形,∴∠AMF=45°,同理可证∠DME=45°,∴∠DMA=90°,∴DM⊥AM,
又∵AM∩AN=A,且AM,AN?
平面MNA,∴DM⊥平面MNA。
②设AF=x,则AB=2AF=2x,在Rt△ABN中,AB=2x,BN=x,∠ABN=60°,
∴AN=3x,∴S△ADN=12×2x×3x=3x2.
∵平面ABCD⊥平面ADEF,AD为交线,FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD,
设h为点M到平面ADN的距离,则h=AF=x,∴VM-ADN=
1
1
2
3
3×S△ADN×h=3×3x×x=3
x3,∵VM-ADN=VA-DMN=
3,∴x=1.∴MN=
AN2+AM2=5.
3
题型三空间几何中的翻折问题
【题型重点】
翻折问题的注意事项
1.画好两图:
翻折以前的平面图形与翻折以后形成的几何体的直观图.
2.掌握关系:
即比较翻折前后的图形,正确掌握平面图形翻折前后的线线关系,哪些
平行与垂直的关系不变,哪些平行与垂直的关系发生变化,这是正确掌握几何体构造特点,
进行空间线面关系逻辑推理的基础.
3.正确立量:
即依据平面图形翻折的要求,把平面图形中的有关数目转变为空间几何
体的数学特点,这是正确进行计算的基础.
【例3】已知长方形ABCD中,AD=2,AB=2,E为AB的中点.将△ADE沿DE折
起到△PDE,获得四棱锥P-BCDE,以下图.
5
(1)若点M为PC的中点,求证:
BM∥平面PDE;
(2)当平面PDE⊥平面BCDE时,求四棱锥P-BCDE的体积;
(3)求证:
DE⊥PC.
【分析】
(1)证明:
取DP中点F,连结EF,FM.
因为在△PDC中,点F,M分别是所在边的中点,
1
所以FM綊2DC.
1
FEBM是平行四边形,所以BM∥EF.
又EB綊DC,所以FM綊EB,所以四边形
2
又EF?
平面PDE,BM?
平面PDE.
所以BM∥平面PDE.
(2)因为平面PDE⊥平面BCDE,
在△PDE中,作PO⊥DE于点O,
因为平面PDE∩平面BCDE=DE,
所以PO⊥平面BCDE.
在△PDE中,计算可得
PO=
6,
3
1
1
1
6
3
.
所以V四棱锥P-BCDE=
Sh=
×(1+2)×2×
=
3
3
3
2
3
(3)证明:
在矩形
ABCD中,连结AC交DE于点I,
因为tan∠DEA=
2,
6
2
tan∠CAB=2,
π
所以∠DEA+∠CAB=2,所以DE⊥AC,
所以在四棱锥P-BCDE中,PI⊥DE,CI⊥DE,
又PI∩CI=I,所以DE⊥平面PIC.
因为PC?
平面PIC,所以DE⊥PC.
题组训练三空间几何中的翻折问题
如图
(1),在五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图
(2),将△EAD沿AD折到△PAD的地点,获得四棱锥P-ABCD.点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.
(1)求证:
平面PAD⊥平面ABCD;
(2)若四棱锥P-ABCD的体积为23,求四周体BCDM的体积.
1
(1)【证明】取PD的中点N,连结AN,MN,以下图,则MN∥CD,MN=2CD.
1
又AB∥CD,AB=2CD,∴MN∥AB且MN=AB,∴四边形ABMN为平行四边形,
∴AN∥BM,又BM⊥平面PCD,∴AN⊥平面PCD,∴AN⊥PD,AN⊥CD.
由ED=EA,即PD=PA及N为PD的中点,可得△PAD为等边三角形,
∴∠PDA=60°,又∠EDC=150°,∴∠CDA=90°,∴CD⊥AD,又AN∩AD=A,AN?
平面PAD,AD?
平面PAD,∴CD⊥平面PAD,又∵CD?
平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.
7
(2)【解】
设四棱锥P-ABCD的高为h,四边形ABCD的面积为S,则VP-ABCD=1
hS
3
=2
3,
又S△BCD=2
S,四周体BCDM的高为
h
.
3
2
1
h
1
2
1
2
2
3
,
∴VBCDM=
××S△BCD=
×hS=××6
3=
3
3
2
6
3
6
3
∴四周体BCDM的体积为233.
【专题训练】
一、选择题
1.已知m,n是两条不一样的直线,α,β是两个不一样的平面,给出以下四个命题,错误的
命题是()
A.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥n
B.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n
C.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m⊥α
D.若α∥β,m∥α,则m∥β
【分析】由m∥α,m∥β,α∩β=n,利用线面平行的判断与性质定理可得m∥n,A
正确;
由α⊥β,m⊥α,n⊥β,利用线面、面面垂直的性质定理可得m⊥n,B正确;
由α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,利用线面、面面垂直的性质定理可得m⊥α,C正确;
由α∥β,m∥α,则m∥β或m?
β,可得D不正确.应选D.
【答案】D
2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过C1,B,M作正
方体的截面,则这个截面的面积为()
8
3
5
B.35
A.2
8
9
9
C.2
D.8
【分析】
设AA1的中点为N,则MN∥BC1,连结MN,NB,BC1,
MC1,则梯形
MNBC1就是过C1,B,M正方体的截面,其面积为
1
×(2+
2
32=9,应选C.
22)×2
2
【答案】C
3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C,C1D与底面ABCD所成的角分别为60°和
45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(
)
6
1
A.4
B.4
2
3
C.6
D.6
【分析】以下图:
∵B1B⊥平面ABCD,∴∠BCB1是B1C与底面所成角,∴∠BCB1=60°.
∵C1C⊥底面ABCD,∴∠CDC1是C1D与底面所成的角,∴∠CDC1
=45°.
连结A1D,A1C1,则A1D∥B1C.∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角.
不如设BC=1,则CB1=DA1=2,BB1=CC1=3=CD,
∴C1D=6,A1C1=2.
6
在等腰△A1C1D中,cos∠A1DC1=4.应选A.
【答案】A
4.如图,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AC∥GF,
9
且△ABC是边长为2的正三角形,四边形DEFG是边长为4的正方形,M,N分别为AD,
BE的中点,则MN等于()
A.7B.4
C.19D.5
【分析】如图,取BD的中点P,连结MP,NP,
则MP∥AB,NP∥DE,
11
MP=2AB=1,NP=2DE=2.
又∵AC∥GF,∴AC∥NP.
∵∠CAB=60°,
∴∠MPN=120°,
∴MN=
MP2+NP2-2×MP×NP×cos120°=7,应选A.
【答案】A
5.以下图,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1
=2,AB=1,M,N分别在AD1,BC上挪动,且一直保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,
MN=y,则函数y=f(x)的图象大概是()
【分析】过M作MQ∥DD1,交AD于点Q,连结QN.
10
∵MN∥平面DCC1D1,MQ∥平面DCC1D1,MN∩MQ=M,
∴平面MNQ∥平面DCC1D1,
又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于直线QN和直线DC,
∴NQ∥DC,可得QN=CD=AB=1,
AQ=BN=x,∵MQ=DD1=2,∴MQ=2x.
AQAD
在Rt△MQN中,MN2=MQ2+QN2,即y2=4x2+1,
∴y2-4x2=1(0≤x≤1),
∴函数y=f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.应选C.
【答案】C
6.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M、N分别是SA,BD上的点.
SMDN
①若MA=NB,则MN∥面SCD;
②若SM=NB,则MN∥面SCB;
MADN
③若面SDA⊥面ABCD,且面SDB⊥面ABCD,则SD⊥面ABCD.此中正确的命题个数
是()
A.0
B.1C.2
D.3
【分析】
在①中,过M作MH∥SD,交AD于H,连结HN,
∵在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
SM=DN,∴NH∥CD,∵MH∩MN
M、N分别是SA,BD上的点,MA
NB
=M,SD∩DC=D,MH,MN?
平面MNH,SD,CD?
平面SDC,
∴平面MNH∥平面SDC,
∵MN?
平面MNH,∴MN∥面SCD,故①正确;
在②中,过M作MH∥SD,交AD于H,连结HN,
11
∵在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
M、N分别是SA,BD上的点,SM=NB,∴NH∥CD,∵MH∩MN=M,SD∩DC=D,
MADN
MH,MN?
平面MNH,SD,CD?
平面SDC,∴平面MNH∥平面SDC,∵MN?
平面MNH,∴MN∥面SCD,故②正确;
在③中,∵面SDA⊥面ABCD,且面SDB⊥面ABCD,平面SDA∩平面SDB=SD,∴SD⊥
面ABCD,故③正确.应选D.
【答案】D
二、填空题
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则以下结论中正确的选项是
________(填序号).
①AC⊥BE;②B1E∥平面ABCD;③三棱锥E-ABC的体积为定值;④直线B1E⊥直线
BC1.
【分析】
因AC⊥平面BDD1B1,故①正确;因
B1D1∥平面ABCD,故②正确;记正
方体的体积为
V,则VE-ABC=
1
B1E与BC1不垂直,故④错误.
6V,为定值,故③正确;
【答案】①②③
8.表面积为60π的球面上有四点S,A,B,C,且△ABC是等边三角形,球心O到平
面ABC的距离为3,若平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S-ABC体积的最大值为________.
【分析】∵表面积为60π的球,∴球的半径为15,
设△ABC的中心为D,则OD=3,所以DA=23,则AB=6
棱锥S-ABC的底面积S=43×62=93为定值,
欲使其体积最大,应有S到平面ABC的距离取最大值,
又平面SAB⊥平面ABC,
∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上,而SO=15,点D到直线AB的距离为3,
则S到平面ABC的距离的最大值为
33,
12
1
∴V=3×93×33=27.故答案为27.
【答案】27
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,点M是棱AD的中点,N在棱AA1上,且知足AN=2NA1,P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含界限),若C1P∥平面CMN,则线段C1P长度的最小值
是________.
【分析】
取A1D1的中点Q,
过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于E,则易知平面C1QE∥
平面CMN,在△C1QE中作C1P⊥QE,则C1P=
17为所求.
【答案】
17
10.如图,矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中:
①|BM|是定值;
②点M在某个球面上运动;
③存在某个地点,使DE⊥A1C;
④存在某个地点,使MB∥平面A1DE.
此中正确的命题是________.
【分析】
取A1D的中点N,连结MN,EN,
1
CD,
则M
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- 高考 学理 复习 空间 中的 平行 垂直 解析