备战中考数学反比例函数的综合压轴题专题复习含答案docx.docx
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2020-2021备战中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习含答案
一、反比例函数
1.平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=(k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,AD交y轴于P点
(1)已知点A的坐标是(2,3),求k的值及C点的坐标;
(2)在
(1)的条件下,若△APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.
【答案】
(1)解:
∵点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比
例函数y=(k≠0)图象上,点
B、D在
x轴上,且
B、D两点关于原点对称,
∴3=
,
点C与点A关于原点O对称,
∴k=6,C(﹣2,﹣3),
即k的值是6,C点的坐标是(﹣
2,﹣3);
(2)解:
过点A作AN⊥y轴于点N,过点D作DM⊥AC,如图,
∵点A(2,3),k=6,
∴AN=2,
∵△APO的面积为2,
∴,
即,得OP=2,
∴点P(0,2),
设过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=kx+b,
,得,
∴过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=0.5x+2,当y=0时,0=0.5x+2,得x=﹣4,
∴点D的坐标为(﹣4,0),
设过点A(2,3),B(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=mx+b,
则,得,
∴过点A(2,3),C(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=1.5x,
∴点D到直线AC的直线得距离为:
=.
【解析】【分析】
(1)根据点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C
在反比例函数y=(k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,可以
求得k的值和点C的坐标;
(2)根据△APO的面积为2,可以求得OP的长,从而可以求
得点P的坐标,进而可以求得直线AP的解析式,从而可以求得点D的坐标,再根据点到
直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离.
2.如图,已知直线y=ax+b与双曲线y=(x>0)交于A(x1
,y1),B(x2,y2)两点
(A与B不重合),直线AB与x轴交于P(x0
,0),与y轴交于点
C.
(1)若A,B两点坐标分别为(1,3),(3,y2),求点P的坐标.
(2)若b=y1+1,点P的坐标为(6,0),且AB=BP,求A,B两点的坐标.
(3)结合
(1),
(2)中的结果,猜想并用等式表示
x1,x2
,x0之间的关系(不要求
证明).
【答案】
(1)解:
∵直线y=ax+b与双曲线y=(x>0)交于A(1,3),∴k=1×3=3,
∴y=,
∵B(3,y2)在反比例函数的图象上,
∴y2==1,
∴B(3,1),
∵直线y=ax+b经过A、B两点,
∴解得,
∴直线为y=﹣x+4,
令y=0,则x=4,
∴P(4,O)
(2)解:
如图,作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y轴于G,AE、BG交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,
∴=,==,
∵b=y1+1,AB=BP,
∴=,
==,
∴B(,y1)
∵A,B两点都是反比例函数图象上的点,
∴x1?
y1=
?
y1,
解得x1=2,
代入=,解得y1=2,
∴A(2,2),B(4,1)
(3)解:
根据
(1),
(2)中的结果,猜想:
x1,x2,x0之间的关系为x1+x2=x0
【解析】【分析】
(1)先把A(1,3)),B(3,y2)代入y=求得反比例函数的解析式,进而求得B的坐标,然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析
式,继而即可求得P的坐标;
(2)作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y
轴于G,AE、BG交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,得出=,==,
根据题意得出=,==,从而求得B(,y1),然后根据k=xy得
出x1?
y1=
?
y1,求得x1=2,代入
=,解得y1=2,即可求得
A、B的坐
标;(3)合
(1),
(2)中的结果,猜想x1+x2=x0
.
3.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),
D(3,3).
(1)点C的坐标________;
(2)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过直线
m),求m的值及反比例函数的解析式;
(3)若
(2)中的反比例函数的图象与CD相交于点
AC上的点F,连接
E,且点EF,在直线
E的坐标为(
AB上找一点
2,
P,
使得S△PEF=S△CEF,求点P的坐标.
【答案】
(1)(3,0)
(2)解:
∵AB=CD=3,OB=1,
∴A的坐标为(1,3),又C(3,0),
设直线AC的解析式为y=ax+b,
则,解得:
,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+.
∵点E(2,m)在直线AC上,
∴m=﹣×2+=,
∴点E(2,).
∵反比例函数y=的图象经过点E,
∴k=2×=3,
∴反比例函数的解析式为y=
(3)解:
延长FC至M,使CM=
CF,连接EM,则S△
EFM=
△
).
SEFC,M(3,﹣0.5
在y=中,当x=3时,y=1,
∴F(3,1).
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P,则S△PEF=S△MEF.
设直线EF的解析式为y=a'x+b',
∴,解得,
∴y=﹣x+.
设直线PM的解析式为y=﹣x+c,
代入M(3,﹣0.5),得:
c=1,
∴y=﹣x+1.
当x=1时,y=0.5,
∴点P(1,0.5).
同理可得点P(1,3.5).
∴点P坐标为(1,0.5)或(1,3.5).
S△PEF=S△MEF
【解析】【解答】解:
(1)∵D(3,3),
∴OC=3,
∴C(3,0).
故答案为(3,0);
【分析】
(1)由D的横坐标为3,得到线段OC=3,即可确定出C的坐标;
(2)由矩形的
对边相等,得到AB=CD,由D的纵坐标确定出CD的长,即为AB的长,再由B的坐标确定
出OB的长,再由A为第一象限角,确定出A的坐标,由A与C的坐标确定出直线AC的
解析式,将E坐标代入直线AC解析式中,求出m的值,确定出E的坐标,代入反比例解
析式中求出k的值,即可确定出反比例解析式;(3)延长FC至M,使CM=CF,连接
EM,则S△EFM=S△EFC,M(3,﹣0.5).求出F(3,1),过点M作直线MP∥EF交直线
AB于P,利用平行线间的距离处处相等得到高相等,再利用同底等高得到.此时直线EF与直线PM的斜率相同,由F的横坐标与C横坐标相同求出F
的横坐标,代入反比例解析式中,确定出F坐标,由E与F坐标确定出直线EF斜率,即为直线PM的斜率,再由M坐标,确定出直线PM解析式,由P横坐标与B横坐标相同,将横坐标代入直线PM解析式中求出y的值,即为P的纵坐标,进而确定出此时P的坐B
标.
4.阅读理解:
配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值。
对于任意正实
数a、b,可作如下变形a+b==-+=
+,
又∵≥0,∴+≥0+,即≥.
(1)根据上述内容,回答下列问题:
在
定值p,则a+b≥,当且仅当a、b
≥(a、b均为正实数)中,若满足________时,a+b有最小值.
ab
为
(2)思考验证:
如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CO为AB边上中线,AD=2a,DB=2b,试根据图形验证≥成立,并指出等号成立时的条件.
(3)探索应用:
如图2,已知将一块三角板的直角顶点放在
A为反比例函数的图象上一点,A点的横坐标为1,A处旋转,保持两直角边始终与x轴交于两点D、E,F(0,
-3)为y轴上一点,连接DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.
【答案】
(1)a=b
(2)解:
有已知得
CO=a+b,CD=2,CO≥CD,即
≥2.
当D与O重合时或
a=b时,等式成立.
(3)解:
当DE最小时S四边形ADFE最小.
过A作AH⊥x轴,由
(2)知:
当
DH=EH时,DE最小,
所以DE最小值为8,此时S四边形ADFE=(4+3)=28.
【解析】【分析】
(1)根据题中的例子即可直接得出结论。
(2)根据直角三角形的性质得出CO=a+b,CD=,再由
(1)中的结论即可得出等号成立时的条件。
(3)过点A作AH⊥x轴于点H,根据S四边形ADFE=S△
△
,可知当DH=EH时DE最
ADE+SFDE
小,由此可证得结论。
5.如图,在平面直角坐标系
中,直线
与双曲线
相交于点
A(,6)和点B(-3,
),直线AB与
轴交于点
C.
(1)求直线
(2)求
AB的表达式;
的值.
【答案】
(1)解:
∵点A(,6)和点
B(-3,
)在双曲线
,∴m=1,n=-2,
∴点A(1,6),点B(-3,-2),
将点A、B代入直线
,得
,解得
,
∴直线AB的表达式为:
(2)解:
分别过点A、B作
AM⊥y轴,BN⊥y
轴,垂足分别为点
M、N,
则∠AMO=∠BNO=90°,AM=1,BN=3,
∴AM//BN,∴△ACM∽△BCN,
∴
【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值,利用待定系数法求一次函数的表达式;作辅助线,构建平行线,根据平行线分线段成比例定理可得结论.
6.如图,已知直线与x、y轴交于M、N,若将N向右平移个单位后
的N,,恰好落在反比例函数的图像上.
(1)求k的值;
(2)点P为双曲线上的一个动点,过点P作直线PA⊥x轴于A点,交NM延长线于F
点,过P点作PB⊥y轴于B交MN于点E.设点P的横坐标为m.
①用含有m的代数式表示点E、F的坐标
②找出图中与△EOM相似的三角形,并说明理由.
【答案】
(1)解:
当时,,
,
.
把代入得,
(2)解:
①由
(1)知.
.
当时,,
.
当时,,
,
∴E(2-,).
②,,,,
,,
由一次函数解析式得∠OME=∠ONF=45°
【解析】【分析】
(1)当x=0时,求出y=2,得出N(0,2),由平移的性质得出
N'(3,2).把(3,2)代入y=得k=6.
(2)①由
(1)可设P(m,).当x=m时,求出y=-m+2,即F(m,2-m);当y=时,求
出x=2-,即E(2-,).
②∵ON=2,EM=,OM=2
得∠OME=∠ONF=45°;推出EOM~
NF=OFN.
,从而得出
OMNF=EMON.由一次函数解析式
7.在平面直角坐标系xOy中,对于双曲线y=(m>0)和双曲线y=(n>0),如果
m=2n,则称双曲线y=(m>0)和双曲线y=(n>0)为“倍半双曲线”,双曲线y=
(m>0)是双曲线y=(n>0)的“倍双曲线”,双曲线y=(n>0)是双曲线y=(m>0)的“半双曲线”,
(1)请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是________;双曲线y=的“半双曲线”是
________;
(2)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A是双曲线y=在第一象限内任意一点,
过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B,求△AOB的面积;
(3)如图2,已知点M是双曲线y=(k>0)在第一象限内任意一点,过点M与y轴
平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点N,过点M与x轴平行的直线交双曲线y=
的“半双曲线”于点P,若△MNP的面积记为S△MNP,且1≤S△MNP≤2,求k的取值范围.
【答案】
(1)y=
;y=
(2)解:
如图1,
∵双曲线y=的“半双曲线”是y=,
∴△AOD的面积为2,△BOD的面积为1,
∴△AOB的面积为1
(3)解:
解法一:
如图2,
依题意可知双曲线的“半双曲线”为,
设点M的横坐标为m,则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,),
∴CM=,CN=.
∴MN=﹣=.
同理PM=m﹣=.
∴S△PMN=MN?
PM=
∵1≤S△PMN≤2,
∴1≤≤2.
∴4≤k≤8,
解法二:
如图3,
依题意可知双曲线的“半双曲线”为,
设点M的横坐标为m,则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,),
∴点N为MC的中点,同理点P为MD的中点.
连接OM,
∵,
∴△PMN∽△OCM.
∴.
∵S△OCM=k,
∴S△PMN=.
∵1≤S△PMN≤2,
∴1≤≤2.
∴4≤k≤8.
【解析】【解答】解:
(1)由“倍双曲线”的定义
∴双曲线y=,的“倍双曲线”是y=;
双曲线y=的“半双曲线”是y=.
故答案为y=,y=;
【分析】
(1)直接利用“倍双曲线”的定义即可;
(2)利用双曲线的性质即可;(3)先利用双曲线上的点设出M的横坐标,进而表示出M,N的坐标;方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论;方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积,进而建立不等式即可得出结论.
8.如图1,抛物线y=ax2﹣4ax+b经过点A(1,0),与x轴交于点B,与y轴交于点
C,且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAC沿AC翻折得到△ACE,直线AE交抛物线于点P,求点P的坐标;
(3)如图2,点M为直线BC上一点(不与B、C重合),连OM,将OM绕O点旋转
90°,得到线段ON,是否存在这样的点N,使点N恰好在抛物线上?
若存在,求出点
N
的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:
由题意知:
抛物线的对称轴为:
x=2,则B(3,0);
已知OB=OC=3,则C(0,-3);
设抛物线的解析式为:
y=a(x-1)(x-3),依题意有:
a(0-1)(0-3)=-3,a=-1;
故抛物线的解析式为:
y=-x2+4x-3.
(2)解:
设AE交y轴于点F;
易证得△FOA∽△FEC,有,
设OF=x,则EF=3x,
所以FA=3x﹣1;
在Rt△FOA中,由勾股定理得:
(3x﹣1)2=x2+1,
解得x=;
即OF=,F(0,);
求得直线AE为y=﹣x+,
联立抛物线的解析式得:
,
解得,;
故点P(,).
(3)解:
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴直线BC:
y=x﹣3;
设点M(a,a﹣3),则:
①当点M在第一象限时,OG=a,MG=a﹣3;
过M作MG⊥x轴于G,过N作NH⊥x轴于H;
根据旋转的性质知:
∠MON=90°,OM=ON,
则可证得△MOG≌△NOH,得:
OG=NH=a,OH=MG=a﹣3,
故N(a﹣3,﹣a),
将其代入抛物线的解析式中,得:
﹣(a﹣3)2+4(a﹣3)﹣3=﹣a,
整理得:
a2﹣11a+24=0,
a=3(舍去),a=8;
故M(8,5),N(5,﹣8).
②当点M在第三象限时,OG=﹣a,MG=3﹣a;
同①可得:
MG=OH=3﹣a,OG=NH=﹣a,则N(3﹣a,a),代入抛物线的解析
式可得:
﹣(3﹣a)2+4(3﹣a)﹣3=a,
整理得:
a2﹣a=0,故a=0,a=1;
由于点M在第三象限,
所以a<0,
故a=0、a=1均不合题意,此种情况不成立;
③当点M在第四象限时,OG=a,MG=3﹣a;
同①得:
N(3﹣a,a),在②中已经求得此时a=0(舍去),a=1;
故M(1,﹣2),N(2,1);
综上可知:
存在符合条件的
N点,且坐标为N(2,1)或(5,﹣8).
【解析】【分析】
(1)根据抛物线的解析式,可得抛物线的对称轴方程,进而可根据点
A
的坐标表示出点B的坐标,已知OB=OC,即可得到点C的坐标,从而利用待定系数法求得
抛物线的解析式.
(2)点P为直线AE和抛物线的交点,欲求点
P,必须先求出直线
AE的
解析式;设直线AE与y轴的交点为F,易得△FOA∽△FEC,由于OA=1,EC=3,根据相似
三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF,设OF=x,则EF=3x,AF=3x-1,进而可在Rt△FOA中求出x的值,也就能求出F点的坐标,然后利用待定系数法求出直线AE的解析式,联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标.(3)此题应分三种情况讨论:
①当点M在第一象限时,可设M(a,a-3),由于ON是由OM旋转90°而得,因此△OMN是等腰直角三角形,分别过M、N作MG、NH垂直于x轴,即可证得△OMG≌△NOH,得MG=OH,NH=OG,由此可表示出N点的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求得点M、N的坐标;②当点M在第三象限,④点M在第四象限时,解法同①.
9.如图1,抛物线
与轴交于
、
两点,与
轴交于点,顶点为点
.
(1)求这条抛物线的解析式及直线
(2)段上一动点(点不与点
的长为,四边形的面积为
的解析式;
、重合),过点向轴引垂线,垂足为
.求与之间的函数关系式及自变量
,设
的取值范
围;
(3)在线段
上是否存在点
,使
为等腰三角形?
若存在,请直接写出点
的坐
标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:
∵抛物线
与
轴交于
、
两点,
∴
,
解得:
,
∴二次函数的解析式为
,
∵
,
∴
设直线
的解析式为
,
则有
,
解得:
,
∴直线
的解析式为
(2)解:
∵
轴,
,
∴点的坐标为
,
∴
,
,
,
∵为线段上一动点(点不与点、重合),
∴的取值范围是.
(3)解:
线段上存在点,,使为等腰三
角形;
,,
,
①当时,,
解得,(舍去),
此时,
②
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