第五章第一节不定积分的概念性质.docx
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第五章第一节不定积分的概念性质
第一节
五、
不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念不定积分的几何意义基本积分表
不定积分的性质小结思考题
经济数学——积分
二—原函数与不定积分的概念定义如果在区I刖内,可导函数尸(X)的导函数为/(X),即We/,都有F\x)=f(x)或dF(x)=/(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x)或f(x)dx在区间/内原函数・(primitivefurwtion)例(sinx)=cosxsinx是cos兀的原函数.
(inx)=—(X>0)
X
InX是1在区间((),+oo)内的原函数.
X
定理原函数存在定理:
如果函数八X)在区间内连续,那么在区间^内存在可导函数F(x),使Hxef,都有F\x)=f(x).
简言之:
连续函数一定有原函数.
问题:
(1)原函数是否唯一?
(2)若不唯一它们之间有什么联系?
1f
例(sinx)=cosx(sinx+C)=cosx
(C为任意常数)
经济数学一微积分
关于原函数的说明:
(1)
(2)
证
说明F(x)+c是f(兀舶全部原粛或
不定积分(indefiniteintegral)的定义:
在区间/内,函数/(兀)的带有任意常数项的原函数称为/(兀)在区I可内的不定积分,记为f/(xMr・
经济数学——微积分
6
=X%/.fx^dx=——十C.J」6
例2求fdr.
J1+X-
/J
解•/(arctanx)=,,
I‘1+疋心&=皿2
例3某商品的边际成本为100-2x,求总成
本函数C(jc).
解C(x)=J(100-2x)dxg=1OQx—兀2+c
IK
™其中c为任意常数
经济数学一微积分
二、不定积分的几何意义
函数八兀)的原函数的图形称为y(x)的积分曲线.显然,求不定积分得到一积分曲线族,在同一
基本积分表
p*l
实例
“+1
=x“zz>k"dx=—+C・
J“+1
(“H-l)
结论
既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.
经济数学一微积分
(1)
基本积分表
fkdx=kx+C仏是常数);
(2)(\“dx=J+C(〃H—1);
J“+1
(3)[竺"=InX+C;
Jjr
rdx
说明;X>0,=>一=lnx+C,
JX
x<0,[ln(-x)r=1(—*)'=丄,
—XX
nf—=ln(-x)+C,.订咚=InIXI+C,XJX
(4)
(6)
(7)
f-dx=arctanx4-C;
J1+x"
ftdx=arcsinjc+C;
J
Jcosxdx=sinx+C;
Jsinxdx=-cosx+C;
rdrrr
2—=sec~xdx=tanx+C;
JcosXJ
f=fcsc^xdx=—cotx+C;
Jsin"XJ
经济数学一微积分
(10)
(11)
(12)
(13)
JsecXtanxdx=secx+C;
JCSCXcotxdx=—cscx+C;J/dx=gx+C;
X
=a+C;
JIna
例4求积分
5
+C=-x^+C.
7
解^x^yfxAx—Jx^dr
飞+1
2
根据积分公^2)Jx^dx=;:
;+C
经济数学一議积分
四、不定积分的性质
(1)Jl/(x)±g(x)jdx=J/(x)dx±Jg(x)dx;r证•・・J/(x)dx±Jg(x)dx
tt
=J/(x)dx±Jg(x)dx=/(x)±g(x).
・・・等式成立.
(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)
Jkf{x}Ax=町/(x)dx.
(A:
是常数,A:
H0)
求积分
=3arctanx—2arcsinx+C
经济数学一微积分
例6求积分
r1+X+工2
•
」X(1+X*)
WF
「1+…L=厂(1+%J兀(1+工2)J兀(1+云)
=arctanx+lnA+C.
解KrS訂甯斗
」Ar(l+jr)J兀・(1+兀・)
J刖JE"
arctanx+C<
X
经济数学一微积分
例8求积分1—dx.
J1+cos2x
解J1+;心4=j1+2丄—严
£土吨g+G
说明:
以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.
I化积分为代做和的积分\例9已知一曲线y=f(x)在点(x,/(x))处的切线斜率为sec^x+sinx,且此曲线与轴的交点为(0,5),求此曲线的方程.
解•/—=sec2X十sinx,
dr
二y=J^sec'X+sinx)dx
=tanx—cosxH-C,
j(0)=5,/.C=6、
所求曲线方程为y=tanx—cosx+6.
经济数学一微积分
五、小结
原函数的概念:
F\x)=f(x)
不定积分的概念:
J/U)dx=F(x)+C基本积分表
(1)〜(13)求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质
思考题
1,X>0符号函数/(x)=sgnx=0,X=0
—1,X<0
在(-co,+00)内是否存在原函数?
为什么?
思考题解答
不存在.
假设有原函数F(x)F(x)=-ic,
经济数学——积分
X+C,X>0
X=0[―x+C,x<0但F(兀)在工=0处不可微,故假设错误
所以/(X)在(-00,+8)内不存在原函数.
练习题
、填空题;
1.一个已知的连续函数,有
个原函数,其中
任意两个的差是一个
2.
3・
/(•V)的称为/(X)的不定积分!
把/(“)的一个原函数F(x)的图形叫做函数/(X)
的,它的方程是y=F(x),这样不定积
它的方程是
4.
5.
Jf(x)dx在几何上就表示
j=F(x)+C;由F(x)=/(x)可知,在积分曲线族j=F(x)+C(C是任意常数)上横坐标相同的点处作切线,这些切线彼此的;
若/(X)在某区间上,则在该区间上/(X)的
原函数一定存在:
经济数学一微积分
6.Jxsfxdx=
7f-
.J皿-
8.J(宀3工+2)dx=
9.J(>/7+l)(7P'-l)dv=
10.J-—dx=
求下列不定积分:
3x
3.fcos*—dr
J2
5.J(1-占)厶石血
afF+SlirX.
6.;sec*xQx
Jx"+l
fcos2x■
』Jcos-Xsin-
s一曲线通过点且在任一点处的切线的斜
率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程•
经济数学一微积分
练习题答案
一、1.无穷多,常数:
2.全体原函数;积分曲线,积分曲线族;4.平行;5.连续2色2--
-x'+C;7,x'+C;
53
3+2x+C;32
2-2-
-+-x2--x2-x+C;
353
—4-2-
2\・x—一—
35
3.
6.
9.
10.
3.
5.
X—arctanx+C;
X+sinX_
22
4(*+7)
717+6
三s,=lnx+C・
经济数学一微积分
2.2’”+C;
In2-In3
4e-(cotx+tanx)+C;
6.tan*—arccatx+C.
o
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- 第五 第一节 不定积分 概念 性质