数学思想与方法练习题.docx
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数学思想与方法练习题
数学思想与方法练习题
数学思想与方法练习题
特殊与一般的数学思想:
对于在一般情况下难以求解的问题,可运用特殊化思想,通过取特殊值、特殊图形等,找到解题的规律和方法,进而推广到一般,从而使问题顺利求解。
以下是数学思想与方法练习题,欢迎阅读。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若a>b>1,P=lgalgb,Q=12(lga+lgb),R=lga+b2,则
A.R<P<QB.P<Q<R
C.Q<P<RD.P<R<Q
【解析】取a=100,b=10,
此时P=2,Q=32=lg1000,R=lg55=lg3025,比较可知P<Q<R.
【答案】B
2.(2010龙岩模拟)设(3x+1)25=a0+a1x+a2x2+…+a25x25,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+…-|a25|等于
A.225B.-225
C.425D.-425
【解析】(3x+1)25=(1+3x)25展开式中项的系数都为正,故|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+…-|a25|=a0-a1+a2-a3+…-a25,所以只须令x=-1即可.
【答案】B
3.(2010泉州模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC→=αOA→+βOB→,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为
A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0D.x+2y-5=0
【解析】通过向量的坐标运算把OC→=αOA→+βOB→转化为
消去α得x+2y-5=0.
【答案】D
4.如图,△OAB是边长为2的等边三角形,直线x=t截这个三角形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为
C.D.
【解析】当t=1时,面积为32,故排除A、B,当t>1时,随t增大,面积增大越来越慢.
【答案】D
5.(2010芜湖质检)4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元,而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元,则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较结果是
A.2枝牡丹花贵B.3枝月季花贵
C.相同D.不确定
【解析】由已知设牡丹花一枝x元,月季花一枝y元,则
作出可行域和目标函数t=2x-3y,可求得2x-3y>0,故选A.
体现了实际问题与数学理论的转化.
【答案】A
6.(2010聊城模拟)设x∈R,如果a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,那么
A.a≥1B.a>1
C.0<a≤1D.a<1
【解析】要使不等式恒成立,只须求lg(|x-3|+|x+7|)的最小值.
∵y=lg(|x-3|+|x+7|)为增函数,且|x-3|+|x+7|的最小值为10,
∴ymin=lg10=1,∴a小于y的最小值.
【答案】D
7.如果实数x,y满足x2+y2=1,那么(1-xy)(1+xy)有
A.最小值12和最大值1B.最小值34而无最大值
C.最大值1而无最小值D.最大值1和最小值34
【解析】∵(1-xy)(1+xy)=1-x2y2,
∴当x=0或y=0时,有最大值1,而x2+y2≥2xy,
∴x2y2≤14,∴当x2=y2=12时,1-x2y2取得最小值34.
【答案】D
8.(2010三明模拟)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为
A.14,-1B.14,1
C.(1,2)D.(1,-2)
【解析】依题意,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),
设P到准线的距离为d,则由抛物线的定义知:
|PF|+|PQ|=d+|PQ|.
如图,当PQ∥x轴时,|PF|+|PQ|最小,此时P14,-1,故选A.
【答案】A
9.不等式x2-logax<0当x∈0,12时恒成立,则a的取值范围是
A.116≤a<1B.116<a<1
C.0<a≤116D.0<a<116
【解析】构造函数y=x2与y=logax,x2-logax<0,
当x∈0,12时恒成立,
即当x∈0,12时,y=x2的图象在y=logax图象的下方,
所以首先a<1.
当a<1时,如图,当x=12时,y=14即14=loga12,
∴a=116,当y=logax图象绕点(1,0)顺时针旋转时a增大,∴116≤a<1.
【答案】A
10.(2010杭州模拟)若2x+5y≤2-y+5-x,则有
A.x+y≥0B.x+y≤0
C.x-y≤0D.x-y≥0
【解析】把不等式变形为2x-5-x≤2-y-5y,构造函数y=2x-5-x,其为R上的增函数,所以有x≤-y,故选B.
【答案】B
11.(2010信阳模拟)已知函数f(x)=13x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,则an的最小值为
A.-1B.1
C.23D.-23
【解析】a1=f
(1)-c=13-c,a2=[f
(2)-c]-[f
(1)-c]=-29,
a3=[f(3)-c]-[f
(2)-c]=-227.又数列{an}成等比数列,
所以a1=a22a3=481-227=-23=13-c,
所以c=1;
又公比q=a2a1=13,
所以an=-2313n-1=-213n,n∈N*,
因此,数列{an}是递增数列,n=1时,an最小,为-23,选D.
【答案】D
12.(2010福建质检)已知函数f(x)=1-1-x2,x∈[0,1],对于满足0<x1<x2<1的任意x1,x2,给出下列结论:
①(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0;
②f(x2)-f(x1)>x2-x1;
③f(x1)+f(x2)2>fx1+x22.
其中正确结论的序号是
A.①B.②
C.③D.①③
【解析】函数f(x)=1-1-x2,x∈[0,1]的.图象如图所示,
结论①可等价为,
即f(x)在x∈[0,1]上是单调递减函数,
结合图象可知,结论①错误;
结论②可变形为f(x2)-f(x1)x2-x1>1,
不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率,由图象知斜率不都大于1,结论②错误;
对于结论③,观察图象可知,
满足f(x1)+f(x2)2>fx1+x22,
所以结论③正确.
【答案】C
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共计16分.把答案填在题中的横线上)
13.(2009山东)若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.
【解析】设函数y=ax(a>0且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x+a的图象有两个交点.由图象可知,当0<a<1时,两函数只有一个交点,不符合;当a>1时,因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a>1.
【答案】a>1
【解析】分离变量a=-22x-12x+1=-(2x+1)-22x+1+2≤-22+2.
【答案】a∈(-∞,2-22]
15.(2010珠海模拟)已知f(t)=log2t,t∈[2,8],对于f(t)值域内的所有实数m,不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立,则x的取值范围是________.
【解析】∵t∈[2,8],∴f(t)∈12,3,
原题转化为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立,
当x=2时,不等式不成立,
∴x≠2.
令g(m)=m(x-2)+(x-2)2,m∈12,3,
问题转化为g(m)在m∈12,3上恒大于0,则
解得x>2或x<-1.
【答案】(-∞,-1)∪(2,+∞)
16.直线y=k(x+1)+1(k∈R)与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,且椭圆焦点在x轴上,则m的取值范围是________.
【解析】由椭圆焦点在x轴上,求出m的一个范围,由直线与椭圆恒有公共点求出m的另一范围.
由焦点在x轴上,故m<5.
又直线过定点B(-1,1),此点应在椭圆内部或边界上,
所以有(-1)25+1m≤1,
又m>0,∴m≥54.
【答案】54,5
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
【解析】设M(x,y),M到圆的切线长为|MT|,则|MT|=x2+y2-1,
则|MT|=λ|MQ|,得x2+y2-1=λ(x-2)2+y2
两边平方整理得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0
当λ=1时,表示直线x=54.
当λ≠1时,方程为x-2λ2λ2-12+y2=1+3λ2(λ2-1)2,
M点的轨迹是以点2λ2λ2-1,0为圆心,1+3λ2|λ2-1|为半径的圆.
【答案】(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0略
18.(12分)(2010陕西)为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;
(3)从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人,求至少有1人身高在170~180cm之间的概率.
【解析】
(1)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f=3570=0.5,故由f估计该校学生身高在170~185cm之间的概率p=0.5.
(3)样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10,身高在170~180cm之间的人数为4.
设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人,至少有1人身高在170~180cm之间”,
则P(A)=1-C26C210=23或P(A)=C16C14+C24C210=23.
【答案】
(1)400
(2)0.5(3)23
19.(12分)(2010云南曲靖一中模拟)已知a、b、c均为正整数,且a≠1,等差数列{an}的首项为a,公差为b,等比数列{bn}的首项为b,公比为a,且a<b,b2<a3,在数列{an}和{bn}中各存在一项am与bn,使得am+1=bn,又cn=an-143log2b2n+13.
(1)求a、b的值;
(2)求数列{cn}中的最小项,并说明理由.
【解析】
(1)由b2<a3,得ab<a+2b,
∵1<a<b,∴ab<3b,则1<a<3.
又a为正整数,∴a=2.
∵am+1=bn,∴2+(m-1)b+1=b2n-1,
∴b=32n-1-m+1.
∵b∈N*,∴2n-1-m+1=1,故b=3.
(2)∵an=2+(n-1)×3=3n-1,
b2n+1=3×22n,
∴cn=3n-153log222n=2n(n-5)=2n2-10n,
∴当n=2或n=3时,cn取得最小值-12.
故数列{cn}中的最小项为c2或c3.
【答案】
(1)a=2b=3
(2)最小项为c2或c3理由略
20.(12分)某隧道长a(米),最高限速为v0(米/秒).已知一个匀速行驶的车队有10辆车,每辆车长为l米,相邻两车之间距离m(米)与车速v(米/秒)的平方成正比,比例系数为k.设自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t秒.
(1)求函数t=f(v)的解析式,并写出其定义域;
(2)求车队通过隧道的时间t的最小值,并求出t取得最小值时v的大小.
【解析】
(1)依题意有:
t=f(v)=a+10l+9kv2v(0<v≤v0).
(2)t=f(v)=a+10lv+9kv≥29k(a+10l).
当且仅当a+10lv=9kv,
即v=a+10l9k时等号成立.
①当a+10l9k≤v0,v=a+10l9k时,tmin=6k(a+10l).
②当a+10l9k>v0时,
f(v0)-f(v)=a+10lv0+9kv0-a+10lv+9kv
=9k(v-v0)vv0a+10l9k-v0v.
∵v≤v0,∴v0v≤v20<a+10l9k,
∴f(v0)-f(v)≤0.
当v=v0时,tmin=a+10lv0+9kv0.
【答案】
(1)t=f(v)=a+10l+9kv2v(0<v≤v0)
(2)当a+10l9k≤v0时,tmin=6k(a+10l),此时v=a+10l9k.
当a+10l9k>v0时,tmin=a+10lv0+9kv0,此时v=v0
21.(12分)(2010东北四校联考)已知13≤a≤1,若函数f(x)=ax2-2x+1,在[1,3]上最大值为M(a),最小值为m(a),令g(a)=M(a)-m(a).
(1)求g(a)的函数表达式;
(2)求函数g(a)的最小值.
【解析】
(1)∵f(x)=ax-1a2+1-1a,
∴函数f(x)的对称轴为直线x=1a.
∵x∈[1,3]且13≤a≤1,即1≤1a≤3.
则①当1≤1a≤2即12≤a≤1,x=1a时,f(x)有最小值.
m(a)=f1a=1-1a;
当x=3时,f(x)有最大值,
即M(a)=f(3)=9a-5.
∴g(a)=M(a)-m(a)=9a+1a-6.
②当2<1a≤3即13≤a<12时,x=1a时,
f(x)有最小值,f(x)min=m(a)=1-1a,
当x=1时,f(x)max=M(a)=a-1
∴g(a)=M(a)-m(a)=a+1a-2
综上,g(a)=
(2)当12≤a≤1时,g(a)在12,1上是增函数,
即g(a)min=g12=12.
当13≤a≤12时,g(a)在13,12上是减函数,
即g(a)min=g12=12+2-2=12.故g(a)min=12.
【答案】
(1)g(a)=
(2)g(a)min=12
22.(14分)(2010湛江模拟)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0).
(1)当a=1时,曲线y=f(x)上P点处的切线与直线x-3y-2=0垂直,求P点的坐标;
(2)求函数f(x)的单调区间.
【解析】
(1)∵直线x-3y-2=0的斜率为13,
∴切线的斜率为-3.
由f(x)=x3+3|x-1|得:
当x≥1时,f(x)=x3+3x-3,f′(x)=3x2+3=-3不成立,∴切线不存在;
当x<1时,f(x)=x3-3x+3,f′(x)=3x2-3=-3,∴x=0,∴P点的坐标为(0,3).
(2)当x≥a时,f(x)=x3+3x-3a,f′(x)=3x2+3>0,
∴f(x)单调递增.
当x<a时,f(x)=x3-3x+3a,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
若0<a≤1,f′(x)=0时,x=-1;f′(x)>0时,x<-1;
f′(x)<0时,-1<x<a;
若a>1,f′(x)=0时,x=±1;f′(x)>0时,x<-1或1<x<a;
f′(x)<0时,-1<x<1.
综上可得:
当0<a≤1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞),单调递减区间为(-1,a);
当a>1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).
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