定价策略广告费用与销售价格调整程序设计.docx
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定价策略广告费用与销售价格调整程序设计
(定价策略)广告费用与销售价格调整程序设计
数学建模课程设计
(程序设计和论文)
题目1对函数进行麦克劳林展开及误差分析
2无变位油罐中油量确定及误差分析
3评卷成绩调整程序设计
4广告费用与销售价格调整程序设计
班级
学号
学生姓名
指导教师
沈阳航空航天大学
课程设计任务书
课程名称数学建模实践
院(系)理学院专业信息与计算科学
班级学号姓名
课程设计题目1对函数进行麦克劳林展开及误差分析
2无变位油罐中油量确定及误差分析
3评卷成绩调整程序设计
4广告费用与销售价格的调整程序设计
课程设计时间:
2011年6月27日至2011年7月15日
课程设计的内容及要求:
[内容]
1.
(1)求函数
(2)编写对任意固定的n计算多项式函数值的函数M文件
(3)任取n,在同一平面内画出函数的图形,并进行比较。
2.无变位油罐中油量确定
设油罐中油量V与高度h的关系是
其中,
(1)编写计算体积V(h)的函数M文件fv;
(2)根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h),并用多项式拟合确定函数WC(h)表达式。
(3)用误差WC(h)调整V(h),并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。
3.评卷成绩调整程序设计
设个专家分别对名学生的试卷进行评阅,设表示教师对学生的试卷所给定的成绩,这样形成成绩矩阵。
由于各专家的评分标准不一致,因此需要对成绩进行一致性调整,具体方法如下:
设分别表示整体成绩,是教师j的平均成绩和标准差,即第j列数据的平均值和标准差。
调整后的成绩为
形成调整后的成绩矩阵,则的平均值就是第i个学生的最后综合成绩。
而是综合成绩向量,依此确定学生获奖情况。
(1)编写函数M文件,收入成绩矩阵,输出是综合成绩向量。
(2)根据下表是成绩数据
学生编号
专家1
专家2
专家3
专家4
1
90
90
80
97
2
95
90
80
90
3
85
85
90
90
4
85
90
80
90
5
95
80
90
70
6
90
80
90
75
7
80
90
70
85
8
85
85
70
80
9
95
70
70
75
10
90
60
60
60
11
75
65
70
60
12
75
70
60
65
13
60
70
60
50
14
65
60
50
50
15
65
60
50
50
16
60
60
50
50
17
60
50
50
50
用上述方法计算综合成绩向量,并由此确定1个特等奖,1个一等奖,2个二等奖;3个三等奖。
4.广告模型
某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆以供日后销售。
为了尽快收回资金并获得较多的赢利,公司经理李先生打算做广告,于是便找到广告公司的王经理进行咨询。
李经理认为,随彩漆售价的提高,预期销售量将减少,并对此进行了估算(见表2)。
他问王经理广告有多大的效应。
王经理说“投入一定的广告费后,销售量将有一个增长,这由销售增长因子来表示。
例如,投资3万元的广告费,销售增长因子为1.85,即销售量将是预期销售量的1.85倍。
根据经验,广告费与销售增长因子的关系有表3。
”
售价
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
预期销售量(千桶)
41
38
34
32
29
28
25
22
20
广告费(元)
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
销售增长因子
1.00
1.40
1.70
1.85
1.95
2.00
1.95
1.80
问李经理如何确定彩漆的售价和广告费,才能使公司获得的利润最大?
[要求]
1、学习态度要认真,要积极参与课程设计,锻炼独立思考能力;
2、严格遵守上机时间安排;
3、按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序;
4、根据任务来完成数学建模论文;
5、报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规范”;
7、报告上交时间:
课程设计结时上交报告。
8、严谨抄袭行为。
指导教师年月日
负责教师年月日
学生签字年月日
沈阳航空航天大学
课程设计成绩评定单
课程名称数学建模实践
院(系)理学院专业信息与计算科学
课程设计题目1对函数进行麦克劳林展开及误差分析
2无变位油罐中油量确定及误差分析
3评卷成绩调整程序设计
4广告费用与销售价格的调整程序设计
学号2009041401002姓名郭婧
指导教师评语:
课程设计成绩
指导教师签字
年月日
摘要
在本次课程设计中,我的课程设计题目是四道题。
第一道题目里的第一个问号是用Matlab编写函数,根据人为设定的n,函数可以任意展开,并且在Matlab运行界面显示的是展开的多项式。
第二个问号里要求在任意设定的n阶下,带入自变量的值,然后求出的麦克劳林展式的函数值。
第三个问号里要求我们通过画图对的本来的式子、麦克劳林展开的式子、以及作比较。
在题中已经给定画图区间,在这个区间内画出图形,进行比较。
第二道题目中,给出了一个Excel表格,里面有无变位进油量表和无变量出油量表。
我们知道在一个油罐中罐中油的高度和体积是有一定的关系的,题中就把这种关系式给了我们,,式中的一些参量已经给出,编写这个式子的程序即可。
带入不同的高度可以输出不同的体积。
接下来根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据,计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h)。
我们可以先把体积数据保存在Matlab中,然后用表中已经给了的高度带入V(h),这时可以求出一系列的体积,然后与真实值进行作差,得到的数据即为误差。
再次用多项式拟合确定误差函数WC(h)表达式。
最后,用误差函数WC(h)调整V(h),并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。
第三道题目是评卷成绩调整程序设计,题目中给出了一些学生的由不同专家给出的阅卷成绩。
要求先求出每一个学生由不同专家给出的成绩的平均值,然后求出标准差。
再求出第j个专家给出成绩的平均值,然后求出标准差。
调整后的成绩为。
形成调整后的成绩矩阵,则的平均值就是第i个学生的最后综合成绩。
而是综合成绩向量,依此确定学生获奖情况。
由此最后求出的列向量确定1名特等奖,1名一等奖,2名二等奖;3名三等奖。
第四题是一个广告模型,某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆以供日后销售。
为了可以很快的收益并且收回大量的资金,公司经理李先生打算做广告,于是便找到广告公司的王经理进行咨询。
李经理认为,随彩漆售价的提高,预期销售量将减少,并对此进行了估算,见表格2,随着销售价格的增加,销售量下降。
他问王经理广告有多大的效应。
王经理说:
“投入一定的广告费后,销售量将有一个增长,这由销售增长因子来表示。
通过表格3可知,随着广告费用的升高,销售因子先上升后下降。
问李经理如何确定彩漆的售价和广告费,才能使公司获得的利润最大。
关键词:
拟合函数;误差分析;调整矩阵;利益最大化
正文
1题目一
1.1问题重述
第一个问号是用Matlab编写函数,根据人为设定的n,函数可以任意展开,并且在Matlab运行界面显示的是展开的多项式。
第二个问号里要求在任意设定的n阶下,带入自变量的值,然后求出的麦克劳林展式的函数值。
第三个问号里要求我们通过画图对的本来的式子、麦克劳林展开的式子、以及作比较。
在题中已经给定画图区间,在这个区间内画出图形,进行比较。
1.2问题求解
(1)根据数学分析课程中学到的麦克劳林展开的定义,可知
=()
(1)
()
(2)
()(3)
有了公式
(1)
(2)(3)就可以对编程进行麦克劳林展开,把、用Matlab语言进行编辑,然后作差即得得麦克劳林展式。
(2)再上一个问号中已经把麦克劳林展式求出来,在第二个程序中只需把任意自变量值代入求函数值。
把Matlab中M文件的函数名由functionTx=myfun1(n)改为functionTx=myfun2(x,n),输入任意的x和n就可以求出任意阶展式的任意函数值。
(3)第三个问号是画图比较,x的区间已经给出,用plot命令可以直接画出图形调用格式为a(k)=log((1-x(k))/(1+x(k)));plot(x,a,'*')。
画用麦克劳林展开的式子调用格式为Tn(k)=myfun2(x(k),n);plot(x,Tn,'*')。
画图形的调用格式为y(k)=a(k)-Tn(k);plot(x,y,'*')。
为了更直观的观察图形之间的关系和差距,最后把三个图形画到同一个图形中,可以用subplot(m,n,p)命令把四个画到同一图中,分为四个小子图,m,n为画几乘几的子图,p为第几个图。
1.3题目结果
(1)第一个问号的运行结果,n=10时的的麦克劳林展式。
图1.3.1
(2)第一个问号运行结果,x=10,n=2时的麦克劳林展式的函数值。
图1.3.2
(3)第三个问号运行结果,取n=1时的、麦克劳林展开式、以及同时在一个图形时的图形。
图1.3.3
2题目二
2.1问题重述
第二道题目中,给出了一个Excel表格,里面有无变位进油量表和无变量出油量表。
我们知道在一个油罐中罐中油的高度和体积是有一定的关系的,题中就把这种V与h的大致关系式给了我们:
,式中的一些参量已经给出,a=17.8/2、b=12/2、L1=0.4、L2=2.05,编写这个式子的程序即可。
带入不同的高度可以输出不同的体积。
接下来根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据,计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h)。
我们可以先把体积数据保存在Matlab中,然后用表中已经给了的高度带入V(h),这时可以求出一系列的体积,然后与真实值进行作差,得到的数据即为误差。
再次用多项式拟合确定误差函数WC(h)表达式。
最后,用误差函数WC(h)调整V(h),并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。
2.2问题求解
(1)第一个问号中要求编辑计算体积的公式的函数M文件。
根据题目中给出的a、b、L1、L2的值以及公式V(h)进行编辑。
程序为:
functionVh=myfun4(h)
a=17.8/2;
b=12/2;
L1=0.4;
L2=2.05;
Vh=a*b*(L1+L2)*[asin((h-b)/b)+((h-b)/b)*sqrt(1-(h-b)^2/b^2)+pi/2]*10;
(2)要求根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h),并用多项式进行拟合。
误差值=|真实值-公式求解的函数值|(4)
所以我用以下M文件进行求解误差,此M文件可以求解每一个进油高度所对应的误差。
functionmyfun5(X1,X2)
forl=1:
length(X1)
a=17.8/2;
b=12/2;
L1=0.4;
L2=2.05;
Vh(l)=a*b*(L1+L2)*[asin((X1(l)-b)/b)+((X1(l)-b)/b)*sqrt(1-(X1(l)-b)^2/b^2)+pi/2]*10;
a(l)=abs(X2(l)+262-Vh(l));
disp(a(l))
end
根据高度和误差进行曲线拟合,拟合命令为:
x=X1’;
y=Y’;
plot(x,y,’*’)
polyfit(x,y,n)
holdon
fplot(‘fx’,[0,12],’r’)
我分别对曲线进行了二次,三次,四次,五次拟合,得到以下拟合曲线:
二次拟合曲线:
图2.2.1
三次拟合曲线:
图2.2.2
四次拟合曲线:
图2.2.3
五次拟合曲线:
图2.2.4
由以上曲线拟合可知:
进行三次和四次多项式拟合的曲线较好,更贴合原图。
(3)用误差WC(h)调整V(h),并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。
把编辑的M文件的求误差的语句中的绝对值去掉后,误差都为负值,所以应在V(h)后减去WC(h),所以,调整后的V(h)=V(h)-WC(h)。
分别用三次多项和四次多项式进行求解误差。
2.3题目结果
(1)h取10分米时的结果:
图2.3.1
(2)求解的误差值:
图2.3.2
图2.3.3
三次拟合出来的曲线为:
WC(h)=-0.084*+1.5065*+5.8216*-1.7108
四次拟合出来的曲线为:
WC(h)=-0.0025*-0.0167*+0.8876*+8.0826*-4.3828
(3)用三次多项式拟合出的WC(h)调整的结果:
图2.3.4
用三次多项式拟合出的WC(h)图形:
图2.3.5
用四次多项式拟合出的WC(h)调整的结果:
图2.3.6
用四次多项式拟合出的WC(h)图形:
图2.3.7
3题目三
3.1问题重述
第三道题目是评卷成绩调整程序设计,题目中给出了一些学生的由不同专家给出的阅卷成绩。
要求先求出每一个学生由不同专家给出的成绩的平均值,然后求出标准差。
再求出第j个专家给出成绩的平均值,然后求出标准差。
调整后的成绩为。
形成调整后的成绩矩阵,则的平均值就是第i个学生的最后综合成绩。
而是综合成绩向量,依此确定学生获奖情况。
由此确定1个特等奖,1个一等奖,2个二等奖;3个三等奖。
3.2问题求解
这道题目就是对矩阵进行变换,根据矩阵求出要求解出的数值。
如每个学生由不同的专家评卷得出的成绩的平均值,每个学生成绩的标准差。
每个专家对不同学生评卷成绩的平均值,每个专家评卷成绩的标准差。
求出这些必要的数值后,根据题中所给的公式求出Y矩阵,把矩阵的每一行在作和求平均值,最后得到一个列向量,列向量的每一行就为最后评定学生成绩的标准,再对这个列向量的每一行的数值进行有大到小的排列,由此最后求出的列向量就可以得出得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖的人。
标准差的求解公式为:
(5)
平均值的求解公式为:
(6)
求解每个学生成绩的平均值:
B=A(:
1);
fori=2:
4
B=B+A(:
i);
end
B=B/4;
求解每个学生成绩的标准差:
forj=1:
4
D(:
j)=(A(:
j)-B).^2;
end
F=0;
forl=1:
4
F=F+D(:
l);
end
F=sqrt(F/4);
求解每位专家评卷成绩的平均值:
C=A(1,:
);
forj=2:
17
C=C+A(j,:
);
end
C=C/17;
求解每位专家评卷成绩的标准差:
fork=1:
17
E(k,:
)=(A(k,:
)-C).^2./17;
end
G=0;
forq=1:
17
G=G+E(q,:
);
end
G=sqrt(G/17);
求解最后的公式:
forp=1:
4
H(:
p)=(A(:
p)-C(p))./G(p).*F+B;
end
I=0;
forn=1:
4
I=I+H(:
n);
end
I=I./4;
对最后求出的列向量进行排列并输出学生号:
a=size(I);
a=a
(1);
forh=1:
a
J(h,1)=h;
end
forw=1:
16
fors=w:
17
ifI(w)
t=I(w);
I(w)=I(s);
I(s)=t;
z=J(w);
J(w)=J(s);
J(s)=z;
end
end
end
3.3题目结果
(1)每个学生由不同的专家评卷得出的成绩的平均值,每个学生成绩的标准差。
每个专家对不同学生评卷成绩的平均值,每个专家评卷成绩的标准差。
学生
1
2
3
4
5
6
7
8
89.25
88.75
87.5
86.50
83.75
83.75
81.25
80.00
9
10
11
12
13
14
15
16
17
77.50
67.50
67.50
67.50
60.00
56.00
56.25
55.00
52.50
表3.3.1
学生
1
2
3
4
5
6
7
8
6.0570
5.4486
2.5000
4.1458
9.6014
6.4952
7.3951
6.1237
9
10
11
12
13
14
15
16
17
10.3078
12.9904
5.5902
5.5902
7.7011
6.4952
6.4952
5.0000
4.3301
表3.3.2
专家
1
2
3
4
79.4118
73.8235
68.8235
69.8235
专家
1
2
3
4
3.0814
3.1273
3.4181
3.9585
表3.3.3
(2)最后求出经过排序的综合成绩向量。
学生
1
5
2
6
4
7
3
8
117.6332
115.6118
114.0837
104.7201
102.1625
98.8903
97.9249
92.7103
9
11
12
10
13
16
17
14
15
91.6423
58.5699
58.4798
47.8612
33.2867
28.4566
26.0512
24.4039
24.4039
表3.3.4
所以得到特等奖的学生为学生1,得到一等奖的学生为学生5,得到二等奖的学生为学生2和学生6,得到三等奖的学生为学生4,学生7,学生3。
4题目四
4.1问题重述
第四题是一个广告模型,某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆以供日后销售。
为了可以很快的收益并且收回大量的资金,公司经理李先生打算做广告,于是便找到广告公司的王经理进行咨询。
李经理认为,随彩漆售价的提高,预期销售量将随之减少,并对此进行了估算,销售价格与销售量之间的关系见表格2:
售价
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
预期销售量(千桶)
41
38
34
32
29
28
25
22
20
通过表格2知道,销售量随着销售价格的增加而减少。
他问王经理广告有多大的效应。
王经理说:
“投入一定的广告费后,销售量将有一个增长,这有销售因子决定,如投入的广告费用为20000元时,销售量将为原销售量的1.7倍。
广告费用与销售增长因子的关系见表格3:
广告费(元)
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
销售增长因子
1.00
1.40
1.70
1.85
1.95
2.00
1.95
1.80
表3广告费与销售增长因子
通过表格3可知,随着广告费用的升高,销售因子先上升后下降。
问李经理如何确定彩漆的售价和广告费,才能使公司获得的利润最大。
4.2问题求解
根据题中所给要求可知,此题为一个应用线性规划求解的题目,所以应使用Lingo软件进行解题。
题中问如何确定彩漆的售价和使用的广告费用,才能使公司获得的利益最大,根据这个要求可以写出目标函数。
设x为广告费用,则销售增长因子为,y为彩漆售价,则为预期销售量。
根据表格中所给的数据可以拟合出和的曲线。
拟合出来的=-0.0426*x^2+0.4092*x+1.0288(这里的x以万元为单位),=-5.1333*x+50.4222(这里的以千桶为单位)。
销售利润=销售量*销售因子*销售价格-广告费用(7)
目标函数为:
max=(-5.1333*y+50.4222)*1000*(-0.0426*x^2+0.4096*x+0.0188)*y-x*10000;
因此只要求出这个目标函数的最大值就是利益最大组合。
下面是拟合的和的图像,根据图像可知,拟合出的函数与实际数值有很好的相近关系,所以可以用这两个函数拟合表格中的数据。
图4.2.1
图4.2.2
应用Lingo求解:
图4.2.3
在此模型求解中,我假设广告费用x可以在0元到70000元中任意取值,销售价格可以在2元到6元中任意取值,在由线性规划求解后的值向整数靠近,此时求得的目标函数的值为线性规划中与现实情况比较接近的解。
4.3题目结果
由Lingo软件解得的结果为:
图4.3.1
由线性规划后的结果可知:
在广告费用x=3.859588万元,销售价格y=4.911285元时,此时的目标函数值最大:
max=(-5.1333*y+50.4222)*1000*(-0.0426*x^2+0.4096*x+0.0188)*y-x*10000=80901.71元
所以我们取广告费用x=4万元,销售价格y=5元,则此时公司获得的利润最大。
最大的利润为80758元。
参考文献
[1]王正东,数学软件与数学实验.北京:
科学出版社,2004
[2]刘玉璉,傅沛仁等,数学分析讲义.北京.高等教育出版社,2008
[3]吴建国,数学建模案例精编.北京:
中国水利水电出版社,2005
源程序
1题目一
(1)functionTx=myfun1(n)
symsx
fx=1;
fork=1:
n
fx=fx+(-1)^(2*k-1)*x^k/k;%x存在的区间为
end
gx=1;
forl=1:
n
gx=gx+(-1)^(l-1)*x^l/l;%x存在的区间为
end
Tx=fx-gx;
(2)functionTx=myfun2(x,n)
fx=1;
fork=1:
n
fx=fx+(-1)^(2*k-1)*x^k/k;%x存在的区间为
end
gx=1;
forl=1:
n
gx=gx+(-1)^(l-1)*x^l/l;%x存在的区间为
end
Tx=fx-gx;
(3)functionmyfun3(n)
x=linspace(-2/3,2/3,50);
fork=1:
length(x)
Tn(k)=myfun2(x(k),n);
a(k)=log((1-x(k))/(1+x(k)));
y(k)=a(k)-Tn(k);
end
subplot(2,2,1);
plot(x,a,'*')
title('ln((1-x)/(1+x))')
subplot(2,2,2);
plot(x,Tn,'*')
title('麦克劳林展式')
subplot(2,2,3);
plot(x,y,'*')
title('作差图')
subplot(2,2,4);
plot(x,Tn,'r',x,
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