行列式的计算技巧与方法总结.docx
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行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计
算量大,有一定的局限性.
0
0
0
1
例1计算行列式
0
0
2
0
0
3
0
0
4
0
0
0
解析:
这是一个四级行列式,在展开式中应该有4!
二24项,但由
于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少•具体的说,展开式中的项的一般形式是a1jla2j2a3j3a4j4.显然,如果人=4,那么a^二0,从而这个项就等于零•因此只须考虑的项,同理只须考虑
j2=3,j3=2,j4=1的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有
a14a23a32a41,而.4321=6,所以此项取正号•故
2.2利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形•该
方法适用于低阶行列式.
2.2.1化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
ann
例2计算行列式D
解析:
观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,故用第一行的:
[-1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元
素全部变为零•即:
化为上三角形.
可得
1
ai
a2…
an
0
bi
00
0
Dn4i=
I-
a+
a
0
0
0…
bn
=bib2…bn.
2.2.2连加法
这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式的计算•这类计算行列式的方法称为连加法.
-m
2.2.3滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或
者加上另一行的若干倍,
这种方法叫滚动消去法.
1
2
3…
nTn
2
1
2■■■■
n-2nT
例4计算行列式Dn=
3
9'
2
a
1…
a+
n-3n-2
1-
(n>2).
n
nT
n_2…
21
解:
从最后一行开始每行减去上一行,有
1
2
3…
n-1n
1
2
3…
n-1
n
1
-1
_1…
-1-1
2
0
0…
0
-2
1
1
_1…
-1-1
=
2
2
0…
0
-2
a
a
a+
ia
a
a+
-
3
■
・■
■■
■■
■■
■
■・
■
■
1
1
1・・L
1-1
1
1
1…
1
-1
Dn
n「1
n1n-2
=-1n12
0
0
224逐行相加减
an
1
-an
n
2.3降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解.
2.3.1按某一行(或列)展开
X
-1
0…
0
0
0
X
-1…
0
0
0
9
0
+
X
9+
0
0
9
0
0
0…
X
-1
an
an二
an2…
a2
ai
例6解行列式Dn=
解:
按最后一行展开,得
2.3.2按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下:
设在行列式D中任意选定了k1_k_n-1个
行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即
D•M2A2•MnAn,其中Ai是子式Mi对应的代数余子式.
即
解:
从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加
到第二列,得
haaa…a
bybp…P
Dn=O0-Yv-P0…0
aaaa+a
0000…V-P
人(n-1aaab•n-21卜l:
'00-'■0
V_p
0
Y-P
V_p
丸(n-1a.:
bY+(n_2厂
0
f;;瞌n-2:
-n-1ab拚f.
2.4升阶法
就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.
其中,添加行与列的方式一般有五种:
首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.
0
1
1…
1
1
1
0
1…
1
1
例8解行列式D=
1
1
0…
1
1
a
9+
a
1
1
1…
0
1
1
1
1…
1
0
解:
使行列式D变成
n+
1阶行列式,
即
111…11
001…11
010…11
D=---+
再将第一行的-1倍加到其他各行,得:
1
1
1…
1
1
-1
-1
0…
0
0
-1
I-
0
S
-1…
•+
0
a
0
3
-1
0
0…
-1
0
-1
0
0…
0
-1
2.5数学归纳法
有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出
数学
假设,再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题,归纳法是常用的方法.
cosP
1
0
…0
0
1
2cosP
1
…0
0
0
3
1
a
2cosP
…0
+a
0
a
0
0
0
…2cosP
1
0
0
0
…1
2cos卩
例9计算行列式Dn
解:
用数学归纳法证明•
当n=1时,Dr=cos:
.
猜想,Dn二cosn:
.
由上可知,当n=1,n=2时,结论成立.
假设当n=k时,结论成立•即:
Dk=cosk1.现证当n二kT时,结论
也成立.
COSP
1
0
…0
0
1
2cosP
1
…0
0
当n=k+1时,Dc=
0
1
2cosP
…0
0
a
a
a
+a
0
0
0
…2cosP
1
0
0
0
…1
2cosP
将Dk十按取后仃展开
,得
12cos11
=2cos:
Dk-Dk」.
因为
Dk二cosk:
Dk」=cosk一1——cosk--cosk:
cos:
sink-sin:
所以
Dk1=2cos-Dk-Dk」
=2cos:
cosk:
-cosk:
cos;-sink:
sin:
二cosk:
cos:
-sink:
sin:
-cosk1:
.
这就证明了当n二k1时也成立,从而由数学归纳法可知,对一切的自然数,结论都成立.
即:
Dn=cosn:
.
2.6递推法
技巧分析:
若n阶行列式D满足关系式
aDnbDn」CDnt=0.
则作特征方程
①若—0,则特征方程有两个不等根,则Dn二Ax;」-Bx2「
②若尺-0,则特征方程有重根xi=X2,则D^AnB.
在①②中,A,B均为待定系数,可令n=:
1,n=2求出.
解:
按第一列展开,得
Dn=9Dn4-20DnQ.
Dn-9Dn420Dn/=0.
当n=1时,^AB;
当n=2时,6仁4A5B.
解得
A=-16,B=25,
所以
3、行列式的几种特殊计算技巧和方法
3.1拆行(列)法
3.1.1概念及计算方法
拆行(列)法(或称分裂行列式法),就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值•拆行(列)法有两种情况,一是行列式中有某行(列)是两项之和,可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列)没有两项之和,这时需保持行列式之值不变,使其化为两项和.
3.1.2例题解析
1—a1
a2
0…
0
0
-1
1—a2
a3…
0
0
例11计算行列式Dn=
0
a
-1
a
1-a3…
9+
0
a
0
a
0
0
0…
1-an4
an
0
0
0…
-1
1—a
解:
把第一列的元素看成两项的和进行拆列,得
1-a〔
a2
0…
0
0
-1+0
1-
a2
as…
0
0
0+0
1
1-a3…
0
0
Dn=
9
i+
1
i
0+0
0
0…
1-an/an
0+0
0
0…
―
1
1-an
1a2
0
…0
0
-11—a2
a3
…0
0
—
0-1
1
_a3
a
…0
+9
0
9
00
0
…1_anJ
an
00
0
…-1
1-an
_a
2
0
…0
0
01-
a2
a3
…0
0
0-1
1-a3
…0
0
十
a
+3
-
00
0
1-an」an
00
0
…-1
1-a
n
上面第一个行列式的值为
1,所以
1-a
2a3
…0
0
-1
a3
…0
0
D
n=1—a1
m
a
+*
a
0
0
1—an4an
0
0
…-1
1-an
=1-aQn4.
这个式子在对于任何
n(n色2诸E成立,
因此有
Dn=1-&口4
=a?
Dn_2=3i-1.ia?
an
nii
二i-maj.
Vj4
3.2构造法
3.2.1概念及计算方法
有些行列式通过直接求解比较麻烦,这时可同时构造一个容易求解的行列式,从而求出原行列式的值.
3.2.2例题解析
1
1
X1
X2
2
2
例12
求行列式Dn=
X1
3
X2
a
n-2
X1
nd
X2
n
X1
n
X2
解:
虽然Dn不是范德蒙德行列式,
行列式来间接求出Dn的值.
构造n
+1阶的范德蒙德行列式,得
1
1…
1
1
X1
X2…
Xn
X
2
X1
2…
X2
2
Xn
2X
f(x)=
3
a+
s
-
n-2
X1
n-2■…
X2
n-2
Xn
n-2
X
nX
X1
n4・・・
X2
n-1
Xn
nJ
X
n
X1
n・・・
X2
n
Xn
n
X
将fx按第nT列展开,得
・・I.1
…Xn
…X2
入n
・
…nd
Xn
…xn
入n
但可以考虑构造n1阶的范德蒙德
fX二A,n1
-A?
』1X亠亠An」1Xn'-代・1,n必“,
n1
其中,X」的系数为
An,n1--1Dn--Dn•
又根据范德蒙德行列式的结果知
fX=X-为X—x2X-Xn丨【Xi-Xj•
由上式可求得XnJ的系数为
-X1•X2…Xn丨Xi-Xj•
故有
Dn=%X2Xn「人-Xj•
1」:
:
i岂
3.3特征值法
3.3.1概念及计算方法
设'1,'2,…’n是n级矩阵A的全部特征值,则有公式
|A=,「2,n.
A的行列
故只要能求出矩阵A的全部特征值,那么就可以计算出式.
3.3.2例题解析
A可逆当且
例13若’1,'2,-n是n级矩阵A的全部特征值,证明:
仅当它的特征值全不为零.
证明:
因为|^=■1■■n,贝U
A可逆uA式0匸九1扎2…肌式Ou蚣式0(i=1,2…n).
即
A可逆当且仅当它的特征值全不为零.
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法
4.1
三角形行列式
4.1.1
概念
a“a12a13
a1n
a11
a22a23
a2n
a21
a22
形如
a*a■
a33
+
a3n
a31
★
a32a33
aa
ann
an1
an2an3
形状像个三角形,故称为
“三角形
行列式.
4.1.2
计算方法
ann
这样的行列式,
由行列式的定义可知,
ai1ai2
0a22
00
aa
00
a^0
a21a22
a31a32
aa
an1an2
a13
a1n
a23
a2n
a33…
3+
a3n
a
=a11a22'…
ann
0…
ann
0…
0
0…
0
a33
a+
0
a
-a11a22‘"'
ann
an3
ann
4.2“爪”字型行列式
4.2.1概念
ao
b1
b2…
bn
bn…
b2
b1
ao
C1
a1
a1
C1
C2
I-
a2
+
a2
C2
费
Cn
an
an
Cn
形如
422计算方法
利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”,均可把行列式化
成“三角形”行列式.此方法可归纳为:
“爪”字对角消竖横.
1
i(i=2,3,…n.)列元素乘以-丄后都加到第一列上,原行列式可化为三ai
角形行列式.
Cn
an
ao
b1
b2
C1
C2
a2
a1
C2
a2
C1
a1
Cn
ao
b1
b2…
bn
bn
an
概念
形如
bnan
Cn
b2
a2
b1
a1
C2
ao
C1
an
Cn
+
a2
bn
-
b2,
b1
ao
bn
b2b1ao
a1
C1
a?
「
C2
an
Cn
C2
a1
C1
ao
b1
b2
---
bn
anCn
C1
ao
C1
a1
+
a.
+
a.
C2a1
b1
C2
a2
a2
C2
a2
b2
+
+
a1
C1
Cn
b1
Cn
an
bn…
b2
b1
ao
an
bn
这
样的行列式,
字,
字型行列式.
形状像个“么”
因此常称它们为“么”
4.3.1
4.3.2计算方法
利用“么”字的一个撇消去另一个撇,就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为:
“么”字两撇相互消.
注意:
消第一撇的方向是沿着“么”的方向,从后向前,利用an消去Cn,然后再用an」消去Cn」,依次类推.
4.3.3例题解析
1-1
例15计算n+1阶行列式,
1-1
bn
-1
解:
从最后一行开始后一行加到前一行(即消去第一撇),得
n
-1八bi
i=1
n
-11bi
Dn1
i=1
bn4bn
bn
n(n~3fnX'i
=-1T、bi
Ii壬丿
4.4“两线”型行列式
4.4.1概念
ai
0
bi
a2
0…
b2…
0
0
形如
*
a
aa
★
这样的行列式叫做“两线型”行列式.
0
0
0…
bnA.
bn
0
0…
an
442计算方法
对于这样的行列式,可通过直接展开法求解.
4.4.3例题解析
a.
0
bi
a2
0…
b2…
0
0
例16求行列式Dn=
■-
a
aa
9
0
0
0…
bn」
bn
0
0…
an
解:
按第一列展开,得
a2b2…0
b.0…0
aa+a
n+a2b2…0
Dn+—ai
+0(-1):
00…bnj
00…an
00…bn:
=a^2…a.+(—1广b©…
4.5
“三对
寸角”
型行歹
J式
4.5.1
概念
a+b
ab
0
0
0…
0
0
1
a+b
ab
0
0…
0
0
形如
0
a
1
-
a+b
-
ab
a
0…
a+
0
3
0这样的行列式,叫
0
0
0
0
0…
a+b
ab
0
0
0
0
0…
1
a+b
做“三对角型”行列式.
4.5.2计算方法
对于这样的行列式,可直接展开得到两项递推关系式,然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明.
4.5.3例题解析
a+b
ab
0
0
0…
0
0
1
a十b
ab
0
0…
0
0
0
1
a+b
ab
0…
0
0
例17求行列式Dn=
5
3+
0
0
0
0
0…
a+b
ab
0
0
0
0
0…
1
a+b
解:
按第一列展开,
得
ab
0
0
0
---
0
0
1
a+b
ab
0
…
0
0
Dn=(a+bDn」-
0
1
a+b
ab
---
0
0
a
-
+
a
■-
■
■
a+b
■
■
■
0
0
0
0
---
a+b
ab
0
0
0
0
…
1
a+b
=abDnu-abDn^.
变形,得
Dn-aDn4、=bDnd-aDnq.
由于D^ab,D2=a2abb2,
从而利用上述递推公式得
Dn-aDn4二bDn4-aDn,
二b2Dn,-aDnf廿D2-aDi二bn.
故
Dn=aDnlbn=aaDnN-bnAbn==anJD1an^b2-abnJbn
=anan」b…abnJbn.
4.6Vandermonde行列式
4.6.1
概念
列式.
4.6.2计算方法
解:
虽然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造n1阶的范德蒙德
行列式来间接求出Dn的值.
构造n1阶的范德蒙德行列式,得
1
1…
1
1
X1
X2…
Xn
X
2
2
2
2
X1
a
X2…
a+
Xn
-
X
n_2
n_2
n_2
n_2
X1
X2…
Xn
X
nd
nA.
n_1
nA
X1
X2…
Xn
X
n
n
n
n
X1
X2…
Xn
X
fx二
将fx按第n7列展开,得
其中,XnJ的系数为
An,n1Dn=-D..
又根据范德蒙德行列式的结果知
fxl=Ix-X1X—X2X-Xni二[Xi-Xj
1兰或应
由上式可求得Xn」的系数为
故有
5、行列式的计算方法的综合运用
有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算,这时就需要结合
多种计算方法,使计算简便易行•下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.
5.1降阶法和递推法
2
1
0…
0
0
1
2
1…
0
0
0
1
2…
0
0
例19计算行列式Dn=一
3+
-
0
0
0…
2
1
0
0
0…
1
2
分析:
乍一看该行列式,并没有什么规律•但仔细观察便会发现,按第一行展开便可得到n-1阶的形式.
解:
将行列式按第一行展开,得Dn=2Dn」-Dn2即
Dn-Dn4二Dn/-Dn/•
•IDn-Dn/二Dn/-Dn2二二-Di=3-2=1.
•-Dn=1Dn/==11“Dn"
二n-12=n1.
5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式
例20计算行列式
解:
从第一行开始,依次用上一行的-1倍加到下一行,进行逐行相
1
1
1
1
sin鸣
sin护2
sin®3
sin®4
D=
sin2鸣
sin2申2
sin2甲3
sin2典
sin3鸯
sin3叭
sin0
sin3护4
再由范德蒙德行列式,
得
1
1
1
1
sin鬻
sin护2
sin®3
sin®4
D=
sin2曙
sin2笃
sin2
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