4.(2016·湖北七市联考)已知集合P={n|n=2k-1,k∈N*,k≤50},Q={2,3,5},则集合T={xy|x∈P,y∈Q}中元素的个数为( )
A.147B.140C.130D.117
解析:
选B 由题意得,y的取值一共有3种情况,当y=2时,xy是偶数,与y=3,y=5时,没有相同的元素,当y=3,x=5,15,25,…,95时,与y=5,x=3,9,15,…,57时有相同的元素,共10个,故所求元素个数为3×50-10=140,故选B.
5.已知全集U={a1,a2,a3,a4},集合A是集合U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件:
①若a1∈A,则a2∈A;②若a3∉A,则a2∉A;③若a3∈A,则a4∉A.则集合A=________.(用列举法表示)
解析:
若a1∈A,则a2∈A,则由若a3∉A,则a2∉A可知,a3∈A,假设不成立;若a4∈A,则a3∉A,则a2∉A,a1∉A,假设不成立,故集合A={a2,a3}.
答案:
{a2,a3}
[技法融会]
1.集合运算中的3种常用方法
(1)数轴法:
若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;
(2)图象法:
若已知的集合是点集,用图象法求解;
(3)Venn图法:
若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.
2.(易错提醒)在写集合的子集时,易忽视空集;在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,易忽略A=∅的情况.
充要条件的判断
充分条件与必要条件
(1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件;
(2)充要条件与集合的关系:
设命题p对应集合A,命题q对应集合B,则p⇒q等价于A⊆B,p⇔q等价于A=B.
[题组练透]
1.(2016·湖北七市联考)已知a,b为两个非零向量,设命题p:
|a·b|=|a||b|,命题q:
a与b共线,则命题p是命题q成立的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选C |a·b|=|a||b|⇔|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|⇔cos〈a,b〉=±1⇔a∥b,故p是q成立的充要条件,选C.
2.若p是q的充分不必要条件,则下列判断正确的是( )
A.┐p是q的必要不充分条件
B.┐q是p的必要不充分条件
C.┐p是┐q的必要不充分条件
D.┐q是┐p的必要不充分条件
解析:
选C 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q,q
p,由互为逆否命题的两命题等价可得┐q⇒┐p,┐p
┐q,∴┐p是┐q的必要不充分条件,选C.
3.(2016·天津高考)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选C 设数列的首项为a1,则a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q)<0,即q<-1,故q<0是q<-1的必要而不充分条件.故选C.
4.已知“x>k”是“
<1”的充分不必要条件,则k的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.[1,+∞)
C.(2,+∞)D.(-∞,-1]
解析:
选A 由
<1,可得
-1=
<0,所以x<-1或x>2,因为“x>k”是“
<1”的充分不必要条件,所以k≥2.
[技法融会]
1.判定充分条件与必要条件的3种方法
(1)定义法:
正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q
p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).
(2)集合法:
利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件.
(3)等价法:
将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.
2.(易错提醒)“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.
命题真假的判定与命题的否定
1.四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
2.全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p:
∀x∈M,p(x).它的否定是
┐p:
∃x0∈M,┐p(x0).
(2)特称命题p:
∃x0∈M,p(x0).它的否定是
┐p:
∀x∈M,┐p(x).
[题组练透]
1.(2016·南昌一模)已知命题p:
函数f(x)=|cosx|的最小正周期为2π;命题q:
函数y=x3+sinx的图象关于原点中心对称,则下列命题是真命题的是( )
A.p∧qB.p∨q
C.(┐p)∧(┐q)D.p∨(┐q)
解析:
选B 因为命题p为假,命题q为真,所以p∨q为真命题.
2.(2016·浙江高考)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
解析:
选D 由于特称命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是特称命题,所以“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2”.
3.(2016·广州五校联考)以下有关命题的说法错误的是( )
A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C.若p∨q为假命题,则p,q均为假命题
D.对于命题p:
∃x∈R,使得x2+x+1<0,则┐p:
∀x∈R,均有x2+x+1<0
解析:
选D 选项D中┐p应为:
∀x∈R,均有x2+x+1≥0.故选D.
[技法融会]
1.命题真假的4种判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别.
(2)四种命题真假的判断根据:
一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无此规律.
(3)形如p∨q,p∧q,┐p命题的真假根据真值表判定.
(4)全称命题与特称命题的真假的判定:
①全称命题:
要判定一个全称命题为真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立,要判定其为假命题时,只需举出一个反例即可;
②特称命题:
要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
2.(易错提醒)“否命题”是对原命题“若p,则q”既否定其条件,又否定其结论;而“命题p的否定”即:
非p,只是否定命题p的结论.
一、选择题
1.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )
A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1
B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1
C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1
解析:
选A 改变原命题中的三个地方即可得其否定,∃改为∀,x0改为x,否定结论,即lnx≠x-1,故选A.
2.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析:
选C 由题中集合可知,集合A表示直线x+y=1上的点,集合B表示直线x-y=3上的点,联立
可得A∩B={(2,-1)},M为A∩B的子集,可知M可能为{(2,-1)},∅,所以满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是2.
3.(2016·武汉调研)已知命题p:
x≥1,命题q:
<1,则┐p是q的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选D 由题意,得┐p为x<1,由
<1,得x>1或x<0,故q为x>1或x<0,所以┐p是q的既不充分也不必要条件,故选D.
4.(2016·河南八市质量检测)已知全集U为R,集合A={x|x2<16},B={x|y=log3(x-4)},则下列关系正确的是( )
A.A∪B=RB.A∪(∁UB)=R
C.(∁UA)∪B=RD.A∩(∁UB)=A
解析:
选D 因为A={x|-44},所以∁UB={x|x≤4},所以A∩(∁UB)=A,故选D.
5.(2016·天津高考)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选C 当x=1,y=-2时,x>y,但x>|y|不成立;若x>|y|,因为|y|≥y,所以x>y.所以x>y是x>|y|的必要而不充分条件.
6.已知全集U={x∈Z|0A.{6,8}B.{2,4}C.{2,6,8}D.{4,8}
解析:
选A 法一:
由已知得全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以∁UA={5,6,7,8,9},而B={2,4,6,8},故(∁UA)∩B={6,8},所以选A.
法二:
因为2,4∈A,所以2,4∉∁UA,故2,4∉(∁UA)∩B,所以排除B、C、D,所以选A.
7.若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2A.a>-2B.a≤-2
C.a>-1D.a≥-1
解析:
选C A={x|-1∵A∩B≠∅,∴a>-1.
8.(2016·皖江名校联考)命题p:
存在x0∈
,使sinx0+cosx0>
;命题q:
命题“∃x0∈R,2x
+3x0-5=0”的否定是“∀x∈R,2x2+3x-5≠0”,则四个命题(┐p)∨(┐q),p∧q,(┐p)∧q,p∨(┐q)中,真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析:
选B 因为sinx+cosx=
sin
≤
,故命题p为假命题;特称命题的否定为全称命题,易知命题q为真命题,故(┐p)∨(┐q)真,p∧q假,(┐p)∧q真,p∨(┐q)假.
9.如图所示的程序框图,已知集合A={x|x是程序框图中输出的x的值},集合B={y|y是程序框图中输出的y的值},全集U=Z,Z为整数集.当输入的x=-1时,(∁UA)∩B等于( )
A.{-3,-1,5}B.{-3,-1,5,7}
C.{-3,-1,7}D.{-3,-1,7,9}
解析:
选D 根据程序框图所表示的算法,框图中输出的x值依次为0,1,2,3,4,5,6;y值依次为-3,-1,1,3,5,7,9.于是A={0,1,2,3,4,5,6},B={-3,-1,1,3,5,7,9},因此(∁UA)∩B={-3,-1,7,9}.
10.(2016·广州高考模拟)下列说法中正确的是( )
A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B.若p:
∃x0∈R,x
-x0-1>0,则┐p:
∀x∈R,x2-x-1<0
C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
D.命题“若α=
,则sinα=
”的否命题是“若α≠
,则sinα≠
”
解析:
选D f(0)=0,函数f(x)不一定是奇函数,如f(x)=x2,所以A错误;若p:
∃x0∈R,x
-x0-1>0,则┐p:
∀x∈R,x2-x-1≤0,所以B错误;p,q只要有一个是假命题,则p∧q为假命题,所以C错误;否命题是将原命题的条件和结论都否定,D正确.
11.已知命题p:
函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点;命题q:
函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且┐q为真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(-∞,2]
C.(1,2]D.(-∞,1]∪(2,+∞)
解析:
选C 由题意可得,对命题p,令f(0)·f
(1)<0,即-1·(2a-2)<0,得a>1;对命题q,令2-a<0,即a>2,则┐q对应的a的范围是(-∞,2].因为p且┐q为真命题,所以实数a的取值范围是112.(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选A ∵f(x)=x2+bx=
-
,当x=-
时,f(x)min=-
,又f(f(x))=(f(x))2+bf(x)=
-
,当f(x)=-
时,f(f(x))min=-
,当-
≥-
时,f(f(x))可以取到最小值-
,即b2-2b≥0,解得b≤0或b≥2,故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.选A.
二、填空题
13.设命题p:
∀a>0,a≠1,函数f(x)=ax-x-a有零点,则┐p:
_______________________.
解析:
全称命题的否定为特称命题,┐p:
∃a0>0,a0≠1,函数f(x)=a
-x-a0没有零点.
答案:
∃a0>0,a0≠1,函数f(x)=a
-x-a0没有零点
14.已知集合A={x∈R||x-1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于________.
解析:
A={x∈R||x-1|<2}={x∈R|-1答案:
3
15.已知命题p:
∀x∈R,x2-a≥0,命题q:
∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为________.
解析:
由已知条件可知p和q均为真命题,由命题p为真得a≤0,由命题q为真得a≤-2或a≥1,所以a≤-2.
答案:
(-∞,-2]
16.对任意两个集合X,Y,定义X-Y={x|x∈X且x∉Y},XΔY=(X-Y)∪(Y-X).设A={y|y=x2,x∈R},B={y|y=3sinx,x∈R},则AΔB=________.
解析:
由已知得A={y|y=x2,x∈R}=[0,+∞).B={y|y=3sinx,x∈R}=[-3,3],于是A-B=(3,+∞),B-A=[-3,0),故AΔB=[-3,0)∪(3,+∞).
答案:
[-3,0)∪(3,+∞)