数学浙教版九年级上册第1章二次函数图象与系数的关系解析版.docx

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数学浙教版九年级上册第1章二次函数图象与系数的关系解析版

2019-2019学年数学浙教版九年级上册第1章二次函数图象与系数的关系

一、选择题

1.二次函数

的图象一定不经过（   ）

A. 第一象限                          

B. 第二象限                          

C. 第三象限                          

D. 第四象限．

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（   ）

A. a＞0                                  

B. b＜0                                  

C. c＜0                                  

D. b+2a＞0

3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：

①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（   ）

A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个

4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象大致是（   ）

A. 

B. 

C. 

D. 

5.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（  ）

A. x=﹣4                                   

B. x=4                                   

C. x=﹣2                                   

D. x=2

6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，

下列结论：

（1）c＜0；

（2）b＞0；（3）4a+2b+c>0；（4）（a+c）2

其中不正确的有（    ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

7.如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（  ）

A. a＞0                                  B. b＜0                                  C. ac＜0                                  D. bc＜0．

8.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（   ）

A. ①②③④                            

B. ①②④                           

C. ①③④                           

D. ①②③

9.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：

①a＜0，b＞0，c＜0；②当x＝2时，y的值等于1；③当x＞3时，y的值小于0．正确的是（ ）

A. ①②                                    B. ①③                                    C. ②③                                    D. ①②③

10.如图，抛物线

（a≠0）的对称轴为直x＝1，与x轴的一个交点坐标为（－1,0），其部分图象如图所示.下列结论：

①

；②方程

＝0的两个根是

  ③

；④当

时，x的取值范围是

；⑤当x1＜x2＜0时，y1＜y2.其中结论正确的个数是（    ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

二、填空题

11.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为________．

12.如图所示的抛物线y=x2+bx+b2﹣4的图象，那么b的值是________．

13.抛物线y＝ax2＋bx（a＞0，b＞0）的图象经过第________象限．

14.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：

①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3③a+b+c＞0④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有________．

15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：

①a<0②b<0③c>0④4a+2b+c=0,⑤b+2a=0 ⑥b2-4ac>0其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

16.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

① c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）；⑤设A（100，y），B（﹣100，y2）在该抛物线上，则y＞y2．其中正确的结论有________．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17.已知抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，试确定a，b，c，b2－4ac及a+b+c的符号．

18.已知二次函数y＝x2－2x－3．

（1）用配方法将表达式化为y＝（x－h）2＋k的形式；

（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．

19.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．

20.已知抛物线的解析式为

（1）求证：

此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2）若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值.．

21.如图，抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；

（3）若点M为抛物线第四象限内一点，连接BC、CM、BM，求当△BCM的面积最大时点M的坐标.

答案解析部分

一、选择题

1.【答案】A

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】∵二次函数y=ax2-2x-3（a＜0）的对称轴为直线x

∴其顶点坐标在第二或三象限或x轴的负半轴上，

∵当x=0时，y=-3，

∴抛物线一定经过第四象限，

∴此函数的图象一定不经过第一象限．

故答案为：

A．

【分析】由a＜0知抛物线的开口向下，由对称轴直线公式可知

.故对称轴在y轴的左侧，即又当x=0时，y=-3，故抛物线一定经过第四象限，从而得出答案。

2.【答案】D

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】∵抛物线开口向下，对称轴大于1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣

＞1，c＞0，∴b＞﹣2a，∴b+2a＞0．故答案为：

D．

【分析】由抛物线开口向下知a＜0，由抛物线的对称轴直线大于1，得出b＞﹣2a，b＞0,即b+2a＞0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，得出c＞0.

3.【答案】D

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】根据图象可得：

抛物线开口向上，则a>0.抛物线与y交与负半轴，则c<0，对称轴：

x=−

>0，

①∵它与x轴的两个交点分别为（−1,0）,（3,0），

∴对称轴是x=1，

∴−

=1，

∴b+2a=0，

故①正确；

②∵a>0，−

=1，

∴b<0，

又∵c<0，

∴abc>0，

故②错误；

③∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

故③正确；

④根据图示知，当x=4时，y>0，

∴16a+4b+c>0，

由①知，b=−2a，

∴8a+c>0；

故④正确；

综上所述，正确的结论是：

①③④，

故答案为：

D.

【分析】根据图象可得：

抛物线开口向上，则a>0.抛物线与y交与负半轴，则c<0，对称轴在y轴的右侧，则a,b异号，故b＜0，abc>0；由根据抛物线的对称性及与x轴两个交点的坐标得出其对称轴直线是x=1，故b+2a=0；由抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；根据图示知，当x=4时，y>0，即16a+4b+c>0，故8a+c>0。

4.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系，一次函数图像、性质与系数的关系

【解析】【解答】∵二次函数图象开口向上，∴a＞0，

∵对称轴为直线x=﹣

，

∴b＜0，

∴一次函数y=bx+a的图象经过二、一、四象限，

故答案为：

C．

【分析】根据抛物线的开口向上知a＞0，根据抛物线的对称轴在y轴的右侧知：

a,b异号，故b＜0，再根据一次函数的图像与系数的关系：

自变量的系数小于0，故图像经过第二，四象限，常数项是正，直线交y轴的正半轴，即可得出一次函数y=bx+a的图象经过二、一、四象限。

5.【答案】C

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质

【解析】【解答】解：

∵y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9，

∴对称轴为x=﹣2，

故选C．

【分析】把函数解析式化为顶点式可求得答案．

6.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】抛物线的开口向上，则a＞0；对称轴为x=﹣

=1，即b=﹣2a，故b＜0，故

（2）错误；

抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，故

（1）正确；

把x=2代入y=ax2+bx+c得：

y=4a+2b+c＜0，故（3）错误；

把x=1代入y=ax2+bx+c得：

y=a+b+c＜0，把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：

y=a﹣b+c＜0，

则（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，故（4）错误；

不正确的是

（2）（3）（4）；

故答案为：

C．

【分析】根据抛物线的开口方向可判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点可得出c值，再根据图象经过的点的情况进行推理，即可对结论进行判断。

7.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图像

【解析】【解答】∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴x=﹣

＞0，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴ac＜0，bc＞0．

故答案为：

C．

【分析】数形结合根据二次函数图像与系数之间的关系进行判断。

8.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】①∵抛物线开口向下，抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故ab＞0，

抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0，

故①正确；

②∵抛物线开口方向向下，

∴a＜0，

∵x=-

=h，且-2＜h＜-1，

∴4a＜b＜2a，

∴4a-b＜0，

又∵h＜0，

∴-

＜1

∴2a+b＜0，

∴（4a-b）（2a+b）＞0，

故②错误；

③由②知：

b＞4a，

∴2b-8a＞0①．

当x=-2时，4a-2b+c＞0②，

由①+②得：

4a-8a+c＞0，即4a-c＜0．

故③正确；

④∵当x=-1时，a-b+c＞0，

∵OC=OB，

∴当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，

∵c≠0，

∴ac+b+1=0，

∴ac=-b-1，

则（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0，

故④正确；

所以本题正确的有：

①③④，

故答案为：

C．

【分析】由抛物线开口向下，知a＜0，抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故,b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0；由抛物线的对称轴直线-2＜h＜-1，根据对称轴公式及不等式的性质得出4a＜b＜2a，进而得出4a-b＜0，2a+b＜0，故（4a-b）（2a+b）＞0；由于b＞4a，根据不等式的性质得出2b-8a＞0，又当x=-2时，4a-2b+c＞0，故4a-8a+c＞0，即4a-c＜0；当x=-1时，a-b+c＞0，又OC=OB，当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，根据等式的性质得出ac+b+1=0，即ac=-b-1，故（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0。

9.【答案】B

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】根据图像可得：

a＜0，b＞0，c＜0，故正确；∵对称轴大于1.5，∴x=2时的值大于x=1的函数值，故错误；根据图像可得：

当x＞3时，y的值小于0，故正确；故答案为：

B．【分析】由图像的开口向下知a＜0，由图像的对称轴在y轴的右侧知：

a,b异号，故b＞0，由图像与y轴的交点在y轴的负半轴上知：

c＜0；由图像知：

抛物线的对称轴直线大于1.5，故x=2时的值大于x=1的函数值，根据图像可得：

当x＞3时，抛物线的图像位于x轴的下方，故y的值小于0。

10.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以②正确；

∵x=-

=1，即b=-2a，

而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，

∴a+2a+c=0，所以③错误；

∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），

∴当-1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴当x＜1时，y随x增大而增大，故当x1＜x2＜0时，y1＜y2.所以⑤正确．

故答案为①②⑤．

【分析】由抛物线与x轴有2个交点，知b2-4ac＞0；由抛物线的对称轴直线及抛物线与x轴一个交点的坐标，即可判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，根据抛物线与x轴交点的纵坐标即可知道方程ax2+bx+c=0的根的情况；由对称轴直线是x=1得出b=-2a，而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，故a+2a+c=0；由于自变量的取值在-1＜x＜3时，图像位于x轴的上方，故对应的函数值大于0，即y＞0；由图像知：

当x＜1时，图像从左至右上升，此时y随x增大而增大，故当x1＜x2＜0时，y1＜y2。

二、填空题

11.【答案】﹣3

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数的图象

【解析】【解答】由图象可知二次函数y=ax2+bx的最小值为﹣3，

∴

，解得b2=12a，

∵一元二次方程ax2+bx=m有实数根，

∴△≥0，即b2+4am≥0，

∴12a+4am≥0，

∵a＞0，

∴12+4m≥0，

∴m≥﹣3，即m的最小值为﹣3，

故答案为：

﹣3．

【分析】由抛物线的图像可得到a、b之间的关系，再根据一元二次方程ax2+bx=m有实数根和根的判别式可得到关于m的不等式，从而求出答案.

12.【答案】﹣2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：

由图可知，抛物线经过原点（0，0），所以，02+b×0+b2﹣4=0，

解得b=±2，

∵抛物线的对称轴在y轴的右边，

∴﹣

＞0，

∴b＜0，

∴b=﹣2．

故答案为：

﹣2．

【分析】把原点坐标代入抛物线解析式计算即可求出b的值，再根据抛物线的对称轴在y轴的右边判断出b的正负情况，然后即可得解．

13.【答案】一、二、四

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】抛物线y＝ax2＋bx（a＞0，b＞0）对称轴为x=

 <0，抛物线开口向上，c=0，与y轴交点为（0,0）所以函数图像过一、二、四象限【分析】由a＞0，知图像开口向上，由a＞0，b＞0知对称轴直线位于y轴的右侧，由c=0，知抛物线过坐标原点，从而得出答案。

14.【答案】①②③

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】∵抛物线的开口向下，

∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，

 故①正确；

∵对称轴为x=1抛物线与x轴的一个交点为

∴另一个交点为

∴方程

 的根是

故②正确；

当x=1时，

故③正确；

a,b异号，即

当

时，y随x的增大而减小，故④错误．

∴其中正确的说法有①②③；

故答案为：

①②③．

【分析】由抛物线的开口向下，知a<0 ，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，知c>0 ，故ac<0；对称轴直线及抛物线与x轴的一个交点，由抛物线的对称轴性即可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，由抛物线与x轴的交点坐标即可得出方程ax2+bx+c=0的根；当x=1时，y=a+b+c>0，当x＞1时，图像从左至右下降，故y随x的增大而减小．

15.【答案】①③⑤⑥

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】①如图，抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；②如图，抛物线对称轴x=-

=1，则b=-2a＞0．即b＞0，故②错误；

③如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故③正确；

④如图，当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故④错误；

⑤由抛物线对称轴x=-

=1得到b+2a=0．故⑤正确；

⑥如图，抛物线与x轴有2个交点，则b2-4ac＞0，故⑥正确；

综上所述，正确的结论是①③⑤⑥

【分析】由抛物线开口方向向下，知a＜0；由抛物线的对称轴直线是x=1得出b=-2a＞0．即b＞0，b+2a=0；由抛物线与y轴交于正半轴，知c＞0；由图像知：

当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；由抛物线与x轴有2个交点，知：

b2-4ac＞0，综上所述即可得出答案。

16.【答案】①②④⑤

【考点】二次函数的性质

【解析】【解答】抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；

该抛物线的对称轴是：

，直线x=﹣1，故②正确；

当x=1时，y=a+b+c

∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a．又∵c=0，∴y=3a，故③错误；

x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c．又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm．∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．∵|100+1|＞|﹣100+1|，且开口向上，∴y1＞y2．故⑤正确．

故答案为：

①②④⑤．

【分析】根据抛物线与y轴的交点判断c和0的关系，再根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。

三、解答题

17.【答案】解：

∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴C＜0．又∵对称轴在y轴左侧，∴ab＞0．∵a＞0，∴b＞0．∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2－4ac＞0．∵当x=1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0．

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【分析】根据二次函数的图形确定a、b的符号，根据抛物线与x轴的交点确定b2-4ac的符号，由当x=1时，函数值的符号确定a+b+c的符号。

18.【答案】

（1）解：

y＝（x2－2x＋1）－4＝（x－1）2－4；

（2）解：

令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，

函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（－1，0）．

【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化

【解析】【分析】

（1）根据完全平方式,的特点，及等式的恒等变形，在函数解析式的右边加上1，再减去1，利用完全平方公式分解因式并将常数项合并同类项，即可将抛物线的解析式配成顶点式；

（2）根据抛物线与x轴交点的坐标特点，将y=0代入抛物线的解析式，即可算出对应的自变量的值，从而得出函数图象与x轴的交点坐标。

19.【答案】解：

∵抛物线的开口向下，∴a＜0.

∵

＞0，

∴b＞0，

∴2a－b＜0.

∵

＝1，

∴b＋2a＝0.

当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，

∴－

 b－b＋c＜0，

∴3b－2c＞0.

∵抛物线与y轴的正半轴相交，

∴c＞0，

∴3b＋2c＞0，

∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，

∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.

∴P＞Q.

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【分析】根据抛物线的开口向下得出a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a,b异号，根据抛物线的对称轴直线是1，得出b＋2a＝0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故3b－2c＞0，根据抛物线与y轴的正半轴相交，得出c＞0，故3b＋2c＞0，然后根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，再按整式加减的方法分别化简P,Q的值，再利用作差法，即可得出P,Q的大小。

20.【答案】

（1）解：

令y=0得：

x2-（2m-1）x+m2-m=0①∵△=（2m-1）2-4（m2-m）×1＞0

∴方程①有两个不等的实数根，

∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）解：

令：

x=0，根据题意有：

m2-m=-3m+4解得m=-1+

或-1-

【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图像与坐标轴的交点问题

【解析】【分析】

（1）根据抛物线与x轴交点的坐标特点，将y=0代入函数解析式，得出一个关于x的二元一次方程，算出该方程根的判别式的值，由判别式的值大于0，得出方程有两个不相等的实数根，即原抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）根据y轴上的点的横坐标为0，将x=0代入两函数解析式，得出对应的函数值，由函数交点的坐标特点，得出关于m的方程，求解即可得出m的值。

21.【答案】

（1）解：

∵抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴

∴

，

∴抛物线解析式为y=

x2﹣

x﹣1=

（x﹣

）2﹣

，

∴抛物线的顶点坐标为（

，﹣

），

（2）解：

如图1，连接BC与抛物线对称轴的交点就是点P，连接AC，AP，

∵点A，B关于抛物线对称轴对称，

∴PA=PB，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴直线BC解析式为y=

x﹣1，

∵点P在抛物线对称轴上，

∴点P的横坐标为

，

∴点P的纵坐标为﹣

，

∴P（

，﹣

）                  

（3）解：

设M（x，

），过点M作x轴的垂线交BC于点N，则点N（x，

）∴

=