几何图形的折叠与动点问题中考数学专题训练.docx
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几何图形的折叠与动点问题中考数学专题训练
专题三 几何图形的折叠与动点问题
类型一与特殊图形有关
(2018·河南)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为________.
【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:
①∠A′EF=90°,②∠A′FE=90°进行讨论.
【自主解答】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:
①当∠A′EF=90°时,如解图①,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A′C=AC=4,∠ACB=∠A′CB.∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A′EF,∴AC∥A′E,∴∠ACB=∠A′EC,∴∠A′CB=∠A′EC,∴A′C=A′E=4.在Rt△A′CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A′E=8,由勾股定理,得AB2=BC2-AC2,∴AB==4;②当∠A′FE=90°时,如解图②,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°.∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA′=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4或4.
图①
图②
1.如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿CE折叠,其中点D的对应点为D′,连接D′B.若使△D′BC为等边三角形,则DE=________________.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E、F分别为AB、AC上的点,沿直线EF将∠B折叠,使点B恰好落在AC上的D处.当△ADE恰好为直角三角形时,BE的长为______.
3.(2017·河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上.若△MB′C为直角三角形,则BM的长为__________.
4.(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,点M、N分别在边AD、AB上,且MN⊥AC,垂足为P,把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形,则AP的长为____________.
5.(2017·三门峡一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点C′,连接C′D交AB于点E,连接BC′.当△BC′D是直角三角形时,DE的长为______.
6.(2018·盘锦)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,点M、N分别在线段AC、AB上.将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN的长为__________.
7.(2018·乌鲁木齐)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F,若△AB′F为直角三角形,则AE的长为________.
8.(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF垂直AC交AD于点E,交AB于点F,将△AEF折叠,使点A落在点A′处,当△A′CD为等腰三角形时,AP的长为______.
9.(2018·濮阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E为AC,BC上两个动点.若将∠C沿DE折叠,点C的对应点C′恰好落在AB上,且△ADC′恰好为直角三角形,则此时CD的长为__________.
类型二点的位置不确定
(2016·河南)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为________.
【分析】根据勾股定理,可得EB′,根据相似三角形的性质,可得EN的长,根据勾股定理,可得答案.
【自主解答】由翻折的性质,得AB=AB′,BE=B′E.①当MB′=2,B′N=1时,设EN=x,得B′E=.由△B′EN~△AB′M,=,即=,x2=,BE=B′E==;
②当MB′=1,B′N=2时,设EN=x,得B′E=,△B′EN∽△AB′M,=,即=,解得x2=,BE=B′E==,故答案为:
或.
1.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使D点落在BC边上的点E处,折痕为GH.若点E是BC的三等分点,则线段CH的长是_______.
2.(2018·林州一模)在矩形ABCD中,AB=4,BC=9,点E是AD边上一动点,将边AB沿BE折叠,点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,则AE的长为__________.
3.(2015·河南)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时,DE的长为______.
4.(2017·商丘模拟)如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为__________.
5.如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=8,点P是AB上(不含端点A,B)任意一点,把△PBC沿PC折叠,当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时,BP=________.
6.(2018·河南模拟)如图,△ABC中,AB=,AC=5,tanA=2,D是BC中点,点P是AC上一个动点,将△BPD沿PD折叠,折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半,则AP的长为____________.
7.在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D的对应点分别为C′,D′,折痕与边AD交于点F,当点B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF的长为__________________.
类型三根据图形折叠探究最值问题
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是________.
【分析】以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE.当点A′在线段CE上时,A′C的长取最小值,根据折叠的性质可知A′E=1,在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度,用CE-A′E即可求出结论.
例3题解图
【自主解答】以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE,当点A′在线段CE上时,A′C的长取最小值,如解图所示.根据折叠可知:
A′E=AE=AB=1.在Rt△BCE中,BE=AB=1,BC=3,∠B=90°,∴CE==,∴A′C的最小值=CE-A′E=-1.故答案为-1.
1.(2019·原创)如图,在边长为10的等边三角形△ABC中,D是AB边上的动点,E是AC边的中点,将△ADE沿DE翻折得到△A′DE,连接BA′,则BA′的最小值是__________.
2.在矩形ABCD中,AD=12,E是AB边上的点,AE=5,点P在AD边上,将△AEP沿EP折叠,使得点A落在点A′的位置,如图,当A′与点D的距离最短时,△A′PD的面积为________.
3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E为AB边的中点,F是BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D.则当B′D取得最小值时,tan∠BEF的值为__________.
4.(2017·河南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF的长取最小值时,BF的长为_________.
参考答案
类型一
针对训练
1.+1或2-2 【解析】
(1)当点E在边AD上时,过点E作EF⊥CD于F,如解图①,设CF=x,
第1题解图①
∵∠ABC=30°,∴∠BCD=150°.∵△BCD′是等边三角形,∴∠DCD′=90°.由折叠可知,∠ECD=∠D′CE=45°,∵EF=CF=x,在直角三角形DEF中,∠D=30°,∴DE=2x,∴DF=x,∴CD=CF+DF=x+x=2,解得x=x-1,∴DE=2x=2-2.
(2)当E在DA的延长线上时,如解图②.
第1题解图②
过点B作BF⊥DA于点F,根据折叠可知,∠ED′C=∠D=30°,又∵三角形BD′C是等边三角形,∴D′E垂直平分BC,∵AD∥BC.∴D′E⊥AD,∵∠ABC=30°∴∠BAF=30°,又∵AB=2,∴AF=.令D′E与BC的交点为G,则易知EF=BG=BC=1,∴AE=-1,∴DE=+1,综上所述,DE的长度为+1或2-2.
2.或 【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=5,AC=4,∴BC=3.沿直线EF将∠B折叠,使点B恰好落在BC上的D处,当△ADE恰好为直角三角形时,根据折叠的性质:
BE=DE,设BE=x,则DE=x,AE=5-x,①当∠ADE=90°时,则DE∥BC,∴=,∴=,解得x=;②当∠AED=90°时,则△AED∽△ACB,∴=,∴=,解得x=,故所求BE的长度为:
或.
3.+或1 【解析】①如解图①,当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,∴BM=BC=+;②如解图②,当∠MB′C=90°,∵∠A=90°,AB=AC,∴∠C=45°,∴△CMB′是等腰直角三角形,∴CM=MB′.∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点为B′,∴BM=B′M,∴CM=BM.∵BC=+1,∴CM+BM=BM+BM=+1,∴BM=1,综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为+或1.
图①
图②
第3题解图
4.或2-2 【解析】①如解图①,当A′D=A′C时,∠A′DC=∠A′CD=30°,∴∠AA′D=60°.又∵∠CAD=30°,∴∠ADA′=90°,在Rt△ADA′中,AA′===,由折叠可得AP=AA′=;
图①
图②
第4题解图
②如解图②,当CD=CA′=4时,连接BD交AC于O,则Rt△COD中,CO=CD×cos30°=4×=2,∴AC=4,∴AA′=AC-A′C=4-4,由折叠可得AP=AA′=2-2;故答案为或2-2.
5.或 【解析】如解图①所示,点E与点C′重合时.在Rt△ABC中,BC==4.由翻折的性质可知;AE=AC=3、DC=DE,则EB=2.设DC=ED=x,则BD=4-x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4-x)2.解得x=.∴DE=.
图①
图②
第5题解图
如解图②所示:
∠EDB=90°时.由翻折的性质可知:
AC=AC′,∠C=∠AC′D=90°.∵∠C=∠AC′D=∠CDC′=90°,∴四边形ACDC′为矩形.又∵AC=AC′,∴四边形ACDC′为正方形.∴CD=AC=3.∴DB=BC-DC=4-3=1.∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA.∴==,即=.解得DE=.点D在CB上运动,∠DBC′<90°,故∠DBC′不可能为直角.故答案为:
或.
6.或 【解析】分两种情况:
①如解图①,当∠CDM=90°,△CDM是直角三角形,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,∴∠C=30°,AB=AC=+2,由折叠可得,∠MDN=∠A=60°,∴∠BDN=30°,∴BN=DN=AN,∴BN=AB=,∴AN=2BN=+,∵∠DNB=60°,∴∠ANM=∠DNM=60°,∴∠ANM=60°,∴AN=MN=.②如解图②,当∠CMD=90°时,△CDM是直角三角形,由题可得∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,∴∠BDN=60°,∠BND=30°,∴BD=DN=AN,BN=BD,又∵AB=+2,∴AN=2,BN=,过N作NH⊥AM于H,则∠ANH=30°,∴AH=AN=1,HN=,由折叠可得∠AMN=∠DMN=45°,∴△MNH是等腰直角三角形,∴HM=HN=,∴MN=,故答案为或.
图①
图②
第6题解图
7.3或 【解析】∴∠C=90°,BC=2,AC=2,∴tanB===,∴∠B=30°,∴AB=2AC=4.∵点D是BC的中点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′D′E的位置,B′D交AB于点F,∴DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°.设AE=x,则BE=4-x,EB′=4-x,当∠AFB′=90°时,在Rt△BDF中,cosB=,∴BF=cos30°=,∴EF=-(4-x)=x-.在Rt△B′EF中,∵∠EB′F=30°,∴EB′=2EF,
则4-x=2(x-),解得x=3,此时AE为3;
第7题解图
当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如解图,∵DC=DB′,AD=AD,∴Rt△ADB′≌Rt△ADC,∴AB′=AC=2.∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°,∴∠EB′H=60°.在Rt△EHB′中,B′H=B′E=(4-x),EH=B′H=(4-x),在Rt△AEH中,∵EH2+AH2=AE2,∴(4-x)2+[(4-x)+2]2=x2,解得x=,此时AE为.综上所述,AE的长为3或.
8.或 【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=5,∠DAC=∠BAC.∵EF⊥AA′,∴∠EPA=∠FPA′=90°,∴∠EAP+∠AEP=90°,∠FAP+∠AFP=90°,∴∠AEP=∠AFP,∴AE=AF.∵△A′EF是由△AEF翻折,∴AE=EA′,AF=FA′,∴AE=EA′=A′F=FA,∴四边形AEA′F是菱形,∴AP=PA′.①当CD=CA′时,∵AA′=AC-CA′=3,∴AP=AA′=.②当A′C=A′D时,∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC,∴△A′CD∽△DAC,∴=,∴A′C=,∴AA′=8-=,∴AP=AA′=,故答案为或.
9.或 【解析】①如解图①,当∠ADC′=90°时,∠ADC′=∠C,
第9题解图①
∴DC′∥CB,∴△ADC′∽△ACB.又∵AC=3,BC=4,∴=,设CD=C′D=x,则AD=3-x,∴=,解得x=,经检验:
x=是所列方程的解,∴CD=;②如解图②,当∠DC′A=90°时,∠DCB=90°,
第9题解图②
由折叠可得,∠C=∠DC′E=90°,∴C′B与CE重合,由∠C=∠AC′D=90°,∠A=∠A,可得△ADC′∽△ABC,在Rt△ABC中,AB=5,∴==,设CD=C′D=x,则AD=3-x,∴=,解得x=,∴CD=.综上所述,CD的长为或.
类型二
针对训练
1.4或 【解析】设CH=x,则DH=EH=9-x,当BE∶EC=2∶1时,BC=9,∴CE=BC=3.在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,即(9-x)2=32+x2,解得x=4,即CH=4.当BE∶EC=1∶2时,CE=BC=6.在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,即(9-x)2=62+x2,解得:
x=,即CH=.故CH的长为4或.
2.或 【解析】如解图,过点A′作A′M⊥AD于M交BC于N,则四边形ABNM是矩形,∴AB=MN=4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,∴A′M=1,A′N=3或A′M=3,A′N=1.①当A′M=1,A′N=3时,在Rt△BA′N中,BN==,∴AM=BN=.由△A′EM~△BA′N,∴=,∴=,∴EM=,∴AE=;②当A′M=3,A′N=1时,同理可得AE=.
第2题解图)
第3题解图
3.或 【解析】如解图,连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P.∵点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上,∴MD′=PD′.设MD′=x,则PD′=BM=x,∴AM=AB-BM=7-x,又由折叠图形可得AD=AD′=5,∴x2+(7-x)2=25,解得x=3或4,即MD′=3或4.在Rt△END′中,设ED′=a,①当MD′=3时,AM=7-3=4,D′N=5-3=2,EN=4-a,∴a2=22+(4-a)2,解得a=,即DE=;②当MD′=4时,AM=7-4=3,D′N=5-4=1,EN=3-a,∴a2=12+(3-a)2,解得a=,即DE=.综上所述,DE的长为或.
4.或10 【解析】分两种情况:
①如解图①,当点F在矩形内部时,∵点F在AB的垂直平分线MN上,∴AN=4.∵AF=AD=5,由勾股定理得FN=3,∴FM=2.设DE为x,则EM=4-x,FE=x,在△EMF中,由勾股定理,得x2=(4-x)2+22,∴x=,即DE的长为;
图①
图②
第4题解图
②如解图②,当点F在矩形外部时,同①的方法可得FN=3,∴FM=8,设DE为y,则EM=y-4,FE=y,在△EMF中,由勾股定理,得y2=(y-4)2+82,∴y=10,即DE的长为10.综上所述,点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,DE的长为或10.
5.3或 【解析】①点A落在矩形对角线BD上,如解图①,∵在矩形ABCD中,AB=8,BC=6∴∠ABC=90°,AC=BD,∴AC=BD==10.根据折叠的性质,得PC⊥BB′,∴∠PBD=∠BCP,∴△BCP∽△ABD,∴=,即=,解得BP=;②点A落在矩形对角线AC上,如解图②,根据折叠的性质,得BP=B′P,∠B=∠PB′C=90°,∴∠AB′A=90°,∴△APB′∽△ACB,∴=,即=,解得BP=3,故答案为:
3或.
图①
图②
第5题解图
6.2或5- 【解析】分两种情况:
①当点B′在AC的下方时,如解图①,∵D是BC中点,∴S△BPD=S△PDC,∵S△PDF=S△BPD,∴S△PDF=S△PDC.∴F是PC的中点,∴DF是△BPC的中位线,∴DF∥BP,∴∠BPD=∠PDF,由折叠得:
∠BPD=∠B′PD,∴∠B′PD=∠PDF,∴PB′=B′D,即PB=BD,过B作BE⊥AC于E,在Rt△ABE中,tanA==2,∵AB=,∴AE=1,BE=2,∴EC=5-1=4,由勾股定理,得BC===2,∵D为BC的中点,∴BD=,∴PB=BD=,在Rt△BPE中,PE=1,∴AP=AE+PE=1+1=2;
图①
图②
第6题解图
②当点B′在AC的上方时,如解图②,连接B′C,同理得:
F是DC的中点,F是PB′的中点,∴DF=FC,PF=FB′,∴四边形DPCB′是平行四边形,∴PC=B′D=BD=,∴AP=5-,综上所述,AP的长为2或5-.
7.8+2或8-2 【解析】由折叠的性质得,∠EC′D′=∠C=90°,C′E=CE.∵点B、C′、D′在同一直线上,∴∠BC′E=90°,∵BC=12,BE=2CE,∴BE=8,C′E=CE=4,在Rt△BC′E中,=2,∴∠C′BE=30°.①当点C′在BC的上方时,如解图①,过E作EG⊥AD于G,延长EC′交AD于H,则四边形ABEG是矩形,∴EG=AB=6,AG=BE=8,∵∠C′BE=30°,∠BC′E=90°,∴∠BEC′=60°,由折叠的性质得,∠C′EF=∠CEF=60°.∵AD∥BC,∴∠HFE=∠CEF=60°,∴△EFH是等边三角形,∴在Rt△EFG中,EG=6,∴GF=2,∴AF=8+2;②当点C′在BC的下方时,如解图②,过F作FG⊥AD于G,D′F交BE于H,同①可得,四边形ABGF是矩形,△EFH是等边三角形,∴AF=BG,FG=AB=6,∠FEH=60°,在Rt△EFG中,GE=2.∵BE=8,∴BG=8-2,∴AF=8-2.
图①
图②
第7题解图
类型三
针对训练
1.5-5 【解析】如解图,连接BE.
第1题解图
∵AB=BC=AC=10,∴∠C=60°.∵AB=BC,E是AC的中点,∴BE⊥AC.∴BE===5.∵AC=10,E是AC边的中点,∴AE=5.由翻折的性质可知A′E=AE=5.∵BA′+A′E≥BE,∴当点B、A′、E在一条直线上时,BA′有最小值,最小值=BE-A′E=5-5.
2. 【解析】连接DE,DE==13,∵将△AEP沿FP折叠,使得点A落在点A′的位置,∴EA′=EA=5,∵A′D≥DE-EA′
第2题解图
(当且仅当A′点在DE上时,取等号),∴当A′与点D的距离最短时,A′点在DE上,∴DA′=13-5=8,设PA′=x,则PA=x,PD=12-x,在Rt△DPA′中,x2+82=(12-x)2,解得x=,∴△A′PD的面积=×8×=.
3. 【解析】在Rt△ADE中,DE==2,当B′在ED上时,B′D最小,在ED上截取EB′=EB=2,连接B′F,FD,则B′D=ED-EB′=2-2,设BF=x,则B′F=x,CF=4-x,在Rt△B′FD和Rt△FCD中,利用勾股定理,可得DB′2+B′F2=DF2=CF2+DC2,即(2-2)2+x2=(4-x)2+42,解得x=+1,∴Rt△BEF中,tan∠BEF==.
第3题解图
4. 【解析】由题意得:
DF=DB,
第4题解图
∴点F在以D为圆心,BD为半径的圆上,作⊙D;连接AD交⊙D于点F,此时AF值最小,∵点D是边BC的中点,∴CD=BD=3;而AC=4,由勾股定理得:
AD2=AC2+CD2,∴AD=5,而FD=3,∴FA=5-3=2,即线段AF长的最小值是2,连接BF,过F作FH⊥BC于H,∵∠ACB=90°,∴FH∥AC,∴△DFH∽△DAC,∴==,即==,∴HF=,DH=,∴BH=,∴BF==.
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