空间解析几何习题答案解析doc.docx
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空间解析几何习题答案解析doc
一、计算题与证明题
1.已知|a|
1,
|b|
4,
|c|
5,
并且a
b
c
0.计算ab
bcca.
解:
因为|a|
1,
|b|4,
|c|
5,并且a
b
c
0
所以a与b同向,且a
b与c反向
因此ab
0,bc
0,ca0
所以a
b
b
c
c
a
0
2.已知
|a
b|
3
|a
b|
4
求|a|
|b|.
解:
|a
b|
abcos
3
(1)
|a
b|
a
bsin
4
(2)
(1)2
22
得a
b
2
25
所以
a
b
5
4.已知向量x与
a(,1,5,
2)共线,
且满足a
x
3,
求向量x的坐标.
解:
设x的坐标为
x,y,z
,又a
1,5,
2
则axx5y2z3
(1)
又x与a共线,则x
a
0
即
i
j
k
y
z
x
y
x
y
x
y
z
k
5
i
1
j
1
5
1
5
2
2
2
2y5zi
z
2x
j
5x
yk
0
所以
2y
5z2
z
2x2
5xy2
0
即29x2
5y2
26z2
20yz
4xz10xy
0
(2)
又x与a共线,x与a夹角为0或
cos0
1
xa
3
x2
y2
z2
12
52
22
x2
y2
z2
30
整理得
x2
y2
z2
3
(3)
10
联立
1、2、3
解出向量x的坐标为
1,1,1
10
2
5
6.已知点A(3,8,7),B(1,2,3)求线段AB的中垂面的方程.
解:
因为A3,8,7,B(1,2,3)
AB中垂面上的点到
A、B的距离相等,设动点坐标为
M
x,y,z
,则由
MAMB得
2
2
2
2
y2
2
2
x3
y8
z7
x1
z3
化简得
2x
3y
5z
27
0
这就是线段AB的中垂面的方程。
7.向量a,
b,
c具有相同的模,
且两两所成的角相等,
若a,
b的坐标分别为
(1,1,0)和(0,1,1),
求向量
c的坐标.
解:
a
b
c
r且它们两两所成的角相等,设为
则有ab
1
0
1
1
0
1
1
则cos
a
b
1
a
b
r2
设向量c的坐标为
x,y,z
则ac
1x
1
y
0
z
x
y
a
bcos
r
1
1
(1)
r
2
r
bc
0
x
1y
1z
yz
b
ccos
rr
1
1
(2)
r2
c
x2
y2
z2
r
12
12
02
2
所以x2
y2
z2
2
(3)
x
1
x
1
3
4
联立
(1)、
(2)、(3)
求出
y
0或
y
3
z
1
z
1
3
所以向量c的坐标为
1,0,1或
1,4,
1
3
3
3
8.已知点A(3,6,1)
B(2,
4,1),
C(0,
2,3)
D(
2,0,
3),
(1)求以AB,AC,AD为邻边组成的平行六面体的体积.
(2)求三棱锥ABCD的体积.
(3)求BCD的面积.
(4)求点A到平面BCD的距离.
解:
因为
A3,0,1,B2,4,1,C0,2,3,D2,0,3
所以AB
1,
10,0
AC
3,
8,2
AD
5,
6,
4
(1)AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积
1
10
0
V
3
8
2
3
100
0
0
120
12
176
5
6
4
(2)由立体几何中知道,四面体
ABCD(三棱锥A
BCD)的体积
VT
1V
1
176
88
6
6
3
(3)因为BC
2,2,2
,BD
4,4,4
i
j
k
BCBD2
2
2
i
16
j
0
k
16
4
4
4
所以BC
BD
162
162
16
2,这是平行四边形
BCED的面积
因此SBCD
1S□BCED
1
16
2
8
2
2
2
(4)设点A到平面BCD的距离为H,由立体几何使得三棱锥A
BCD的体积
VT
1SBCD
H
3
3
88
11
11
2
所以H
3VT
3
SBCD8
2
2
2
1.求经过点A(3,2,1)和B(
1,2,
3)且与坐标平面
xOz垂直的平面的方程.
解:
与xoy平面垂直的平面平行于
y轴,方程为
Ax
Cz
D
0
(1)
把点A3,2,1和点B1,2,3代入上式得
3ACD0
A3CD0
(2)
(3)
由
(2),(3)得A
D,C
D
2
2
D
D
D
0
代入
(1)得
x
z
2
2
消去D得所求的平面方程为
x
2
z
0
2.求到两平面
:
3x
y
2z6
0和
:
x
y
z
1距离相等的点的轨迹方程.
2
5
1
解;设动点为M
x,y,z,由点到平面的距离公式得
3zy2z6
5x2y10z10
32
2
22
2
22
2
1
5
10
所以
3x
y2z
6
14
5
2
y
10
z
10
129
x
3.已知原点到平面
的距离为120,且
在三个坐标轴上的截距之比为
2:
6:
5,求
的
方程.
解:
设截距的比例系数为
k,则该平面的截距式方程为
x
y
z
1
2k
6k
5k
化成一般式为
15x5y
6z
30k
0
又因点O0,0,0
到平面
的距离为120,则有
30k
120
152
52
62
求出k4286
所以,所求平面方程为
15x
5y
6z
120
286
0
5.已知两平面
:
mx
7y
6z
24
0与平面
:
2x
3my
11z19
0相互垂直,求m
的值.
解:
两平面的法矢分别为
n1
m,
1,
6
,n2
2,
3m,11,由n1⊥n2,得
2m
21m
66
0
求出m
66
19
6.已知四点A(0,0,0),B(,2,5,3),C(0,1,2),D(2,0,7),求三棱锥DABC中ABC
面上的高.
解:
已知四点A0,0,0,B2,5,3,C0,1,2,D2,0,7,则
DA2,0,7,DB0,5,4,DC2,1,9
由DA,DB,DC为邻边构成的平行六面体的体积为
2
0
7
VDA,DB,DC
0
5
4
2
1
9
90
0
0
70
0
8
90
70
8
28
由立体几何可知,三棱锥
D
ABC的体积为
VD
ABC
1V
1
28
14
设D到平面ABC的高为H
6
6
3
则有
VD
ABC
1H
SABC
3
所以
H
3VD
ABC
SABC
又AB
2,5,3,AC
0,1,
2
i
j
k
ABAC
2
5
3
7i
4j
2k
0
1
2
所以,SABC
1
AB
AC
1
72
42
22
1
69
2
2
2
3
14
28
28
69
因此,H
3
1
69
69
69
2
7.已知点A在z轴上且到平面
:
4x
2y
7z
140的距离为7,
求点A的坐标.
解:
A在z轴上,故设A的坐标为(00z
),由点到平面的距离公式,得
7z
14
7
42
22
72
所以7z1469
则z269
那么A点的坐标为A0,0,269
8.已知点.A在z轴上且到点B(0,2,1)与到平面:
6x2y3z9的距离相等,求点A
的坐标。
解:
A在z轴上,故设
A的坐标为
0,0,z,由两点的距离公式和点到平面的距离
公式得02
22
1z2
3z9
62
2
32
2
化简得40z
因为74
2
2
74z2290
440229311640
方程无实数根,所以要满足题设条件的点不存在。
1.求经过点P(1,2,0)且与直线
x
1y1
z
1和x
y
z1都平行的平面的方
1
1
0
1
1
0
程.
解:
两已知直线的方向矢分别为
v1
1,1,0,v2
1,1,0
,平面与直线平行,则平面的法
矢a
A,B,C与直线垂直
由a⊥v1,有AB00
(1)
由a⊥v2,有AB00
(2)
联立
(1),
(2)求得A0,B
0,只有C0
又因为平面经过点P1,2,0,代入平面一般方程得
0102C0D0
所以D0
故所求平面方程Cz0,即z0,也就是xoy平面。
2.求通过点P(1,0,-2)
,而与平面3x-y+2z-1=0
平行且与直线x1
y3
z相交的直
4
2
1
线的方程.
解:
设所求直线的方向矢为
vm,n,p,
直线与平面3x2z1
0平行,则v⊥n,有
3m
n
2p
0
(1)
直线与直线x
1y3
z相交,即共面
4
2
1
m
n
p
则有
4
2
1
0
1
1
3
0
0
2
所以
7m
8n120
(2)
由
(1),
(2)得
m
2
2
n
p
,即m
n
p
1
3
3
1
4
50
31
8
12
12
7
7
8
取m4,n
50,p
31,得求作的直线方程为
x
1
y
z
2
4
50
31
3.求通过点A(0,0,0)与直线x3
y
4
z
4的平面的方程.
2
1
1
解:
设通过点A(0,0,0)
的平面方程为
A(x
0)
B(y
0)C(z0)0
即
Ax
By
Cz
0
(1)
又直线x
3
y
4
z
4在平面上,则直线的方向矢
v与平面法矢n垂直
2
1
1
所以
2A
B
C
0
(2)
直线上的点
3,
4,4
也在该平面上,则
3A4B
4C
0
(3)
由
(1),
(2),(3)得知,将A,B,C作为未知数,有非零解的充要条件为
x
y
z
2
1
1
0
3
4
4
即8x5y11z0,这就是求作的平面方程。
4.求点P(1,
1,0)到直线x2
yz
1的距离.
1
1
0
解:
点A2,0,
1在直线上,直线的方向矢
v1,1,0
AP1,1,1,则AP与v的夹角为
APv
1
1
0
0
cos
12
12
12
12
12
APv
所以900
因此点P1,1,0
到直线的距离为d
AP
12
12
12
3
5.取何值时直线
3x
y
2z
6
0
x
4y
z
15
与z轴相交?
0
3xy2z60
0,0,z,
解:
直线
4y
z
15
与z轴相交,则有交点坐标为
x
0
由直线方程得
2z
6
0
,求得
5
z150
7.求过点(
3,25)
且与两平面x
4z
3和3xyz
1平行直线方程.
解:
与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行,则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面,即直线的方向矢为
i
j
k
vn1
n2
10
4
4i13jk
3
1
1
将已知点代入直线的标准方程得
x
3
y
2
z
5
4
13
1
8.一平面经过直线(即直线在平面上)l
:
x
3
5y2z,且垂直于平面
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