湖北省襄阳老河口市学年八年级上学期期中考试数学试题.docx
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湖北省襄阳老河口市学年八年级上学期期中考试数学试题
[首发]湖北省襄阳老河口市2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.等腰三角形的两边长分别为5cm,4cm,则它的周长是()
A.14cmB.13cmC.16cm或9cmD.13cm或14cm
2.一个多边形的每一个内角都等于140°,那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )
A.6条B.7条C.8条D.9条
3.如图,在Rt∆ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt∆ABC沿CD折叠,使B点落在C边上的B’处,则∠CDB’等于()
A.40°B.60°C.70°D.80°
4.如图所示,三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形,那么这两个三角形完全重合的依据是( )
A.SSSB.SASC.AASD.ASA
5.点P在∠AOB的平分线上,点P到OA边的距离等于5,点Q是OB边上的任意一点,则下列选项正确的是()
A.PQ≤5B.PQ<5C.PQ≥5D.PQ>5
6.△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线,如果两条平分线交于点O,那么下列选项中不正确的是( )
A.点O一定在△ABC的内部B.点O到△ABC的三边距离一定相等
C.∠C的平分线一定经过点OD.点O到△ABC三顶点的距离一定相等
7.如图,点D,E分别在AB,AC上,AB=AC,∠B=∠C,若AD=2,BD=3,则CE的长为()
A.2B.3C.5D.无法确定
8.点A(3,4)关于x轴对称的点的坐标为( )
A.(-3,4)B.(4,3)C.(-3,-4)D.(3,-4)
9.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1和点P关于OA对称,点P2和点P关于OB对称,则P1、O、P2三点构成的三角形是()
A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
10.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=20°,则∠ACF的度数为( )
A.60°B.50°C.40°D.20°
11.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别在PA,PB,AB上,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=40°,则∠P的度数为( )
A.140°B.90°C.100°D.110°
二、填空题
12.若一个三角形的3个内角度数之比为4:
3:
2,则这个三角形的最大内角为____°.
13.如图,∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE,还需添加一个条件是____.(填上一个条件即可)
14.超重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等,都是采用三角形结构,这样做的数学道理是利用了______________.
15.如图,过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE,则∠1的度数为____________.
16.等腰三角形的一外角为80°,则它的底角为________度.
17.如图,在
中,
垂直平分
,点P为直线
上一动点,则
周长的最小值是________.
18.如图,在△ABC中,D在边AC上,如果AB=BD=DC,且∠C=40°,那么∠A=__°.
19.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=________.
20.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE,垂足分别为D、E,若BD=3,CE=2,则DE=_____.
21.如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别是BC,AC边上的点,且CD=AE,AD,BE交于点F,延长AD至点P,使PF=BF,连接BP,CP,若BP=5,CP=3,则AP的长为_______.
三、解答题
22.如图,在△ABC中,∠C=60°,△ABC的高AD,BE相交于点F.求∠AFB的度数.
23.如图,请按下列要求用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹:
(1)作出△ABC的角平分线CD;
(2)作出△ABC的高AE.
24.如图CE=CB,CD=CA,∠DCA=∠ECB,求证:
DE=AB.
25.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:
AD=AE.
26.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠DAB与∠DCB的平分线分别交DC,AB于E,F.求证:
AE∥CF.
27.如图18,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,若AD=1,求BC的长.
28.如图19,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.若BC=EC,求∠BED的度数.
29.如图:
在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;
求证:
(1)CF=EB;
(2)AB=AC+CF.
30.如图,在△ABC中,CD是中线,∠ACB=90°,AC=BC,点E,F分别为AB,AC上的动点(均不与端点重合),且CE⊥BF,垂足为H,BF与CD相交于G.
(1)求证:
AE=CG;
(2)当线段AE,CF之间满足什么数量关系时,BF为△ABC的角平分线?
请说明理由.
参考答案
1.D
【详解】
解:
当5cm为腰时,周长为5+5+4=14cm;
当4cm为腰时,周长为5+4+4=13cm;
故选D.
2.A
【解析】
设这个多边形的边数为
,则由题意可得:
,解得
,
∴从此多边形的一个顶点出发可引对角线的条数为:
9-3=6(条).
故选A.
点睛:
(1)
边形的内角和为:
;
(2)从
边形的一个顶点可引
条对角线.
3.C
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数,再由翻折变换的性质得出△BCD≌△B′CD,据此可得出结论.
【详解】
解:
∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,
∴∠ABC=90°-25°=65°.
∵△B′CD由△BCD翻折而成,
∴∠BCD=∠B′CD=
×90°=45°,∠CB′D=∠CBD=65°,
∴∠CDB′=180°-45°-65°=70°.
故选C.
【点睛】
本题考查的是翻折变换,熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.
4.D
【分析】
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边,根据全等三角形的判定方法解答即可.
【详解】
解:
由图可知,三角形两角及夹边还存在,
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形,
所以,依据是ASA.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
5.C
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5,再根据垂线段最短解答.
【详解】
解:
∵点P在∠AOB的平分线上,点P到OA边的距离等于5,
∴点P到OB边的距离为5,
∵点Q是OB边上的任意一点,
∴PQ≥5.
故选C.
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,垂线段最短的性质,熟记性质是解题的关键.
6.D
【解析】由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知:
A、C正确;而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等,所以B正确;而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等,所以D错误.
故选D.
7.B
【解析】
∵在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD,
∴AC=AB=AD+BD=5,AE=AD=2,
∴CE=AC-AE=5-2=3.
故选B.
8.D
【解析】
∵关于
轴对称的两个点的横坐标相等,而纵坐标互为相反数,
∴点A(3,4)关于
轴的对称点的坐标为(3,-4).
故选D.
点睛:
(1)关于
轴对称的两个点,横坐标相等,纵坐标互为相反数;
(2)关于
轴对称的两个点纵坐标相等,横坐标互为相反数;(3)关于原点对称的两个点横坐标、纵坐标分别对应互为相反数.
9.D
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质可知:
OP1=OP2=OP,∠P1OP2=60°,即可判断△P1OP2是等边三角形.
【详解】
如图,
根据轴对称的性质可知,
OP1=OP2=OP,∠P1OP2=60°,
∴△P1OP2是等边三角形.
故选D.
【点睛】
主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质.轴对称的性质:
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分;
(2)对应线段相等,对应角相等.
10.A
【解析】
∵BD平分∠ABC,∠ABD=20°,
∴∠DBC=∠ABD=20°,∠ABC=2∠ABD=40°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-40°=80°.
∵EF垂直平分BC,
∴BF=CF,
∴∠FCB=∠FBC=20°,
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=80°-20°=60°.
故选A.
11.C
【解析】
∵∠MKN=40°,
∴∠MKA+∠NKB=180°-∠MKN=140°.
∵PA=PB,
∴∠A=∠B.
∵在△MKA和△KNB中,
,
∴△MKA≌△KNB,
∴∠NKB=∠KMA,
∴∠KMA+∠MKA=140°,
∴∠A=180°-140°=40°,
∴∠B=40°,
∴∠P=180°-40°-40°=100°.
故选C.
12.80
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和是180°,再根据三角形的三个内角之比为4:
3:
2即可求出这个三角形的最大内角.
【详解】
这个三角形的最大内角为:
180°×
=80°.
13.∠B=∠C或BE=CE或∠BAE=∠CAE(答案不唯一,任写一个即可)
【分析】
根据题意,易得∠AEB=∠AEC,又AE公共,所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件.
【详解】
∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠AEC,
又AE公共,
∴当∠B=∠C时,△ABE≌△ACE(AAS);
或BE=CE时,△ABE≌△ACE(SAS);
或∠BAE=∠CAE时,△ABE≌△ACE(ASA).
【点睛】
此题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
14.三角形的稳定性
【分析】
根据三角形的三边一旦确定,则形状大小完全确定,即三角形的稳定性作答.
【详解】
起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等,都是采用三角形结构,这样做的数学道理是利用了三角形的稳定性.
故答案为三角形的稳定性.
15.36°
【解析】
∵多边形ABCDE是正五边形,
∴∠BAE=
=108°,
∴∠1=∠2=
(180°-∠BAE),
即2∠1=180°-108°,
∴∠1=36°.
16.40
【解析】
∵等腰三角形的一个外角为80°,
∴与这个外角相邻的内角度数为180°-80°=100°,
∴这个100°的角只能是等腰三角形的顶角,
∴这个等腰三角形的底角为:
(180°-100°)=40°.
点睛:
(1)三角形的一个外角与相邻的内角是互补的数量关系;
(2)等腰三角形中顶角可以是锐角、直角和钝角中的任意一种,但底角只能是锐角,不能是直角或钝角.
17.7
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C,故当点P与点D重合时,AP+BP的最小值,求出AC长度即可得到结论.
【详解】
解:
∵
垂直平分
,
∴B,C关于直线
对称.设
交
于点D,
∴当P和D重合时,
的值最小,最小值等于
的长,
∴
周长的最小值是
.
【点睛】
本题考查了勾股定理,轴对称-最短路线问题的应用,解题的关键是找出P的位置.
18.80
【解析】
∵AB=BD=DC,
∴∠A=∠BDA,∠DBC=∠C=40°,
又∵∠BDA=∠DBC+∠C,
∴∠A=∠DBC+∠C=40°+40°=80°.
19.2
【解析】
试题分析:
根据角平分线性质求出∠BAD的度数,根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD.
∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,AD平分∠CAB,∴∠BAD=30°,∴BD=AD=2CD=2,
考点:
含30度角的直角三角形;角平分线的性质
20.5
【解析】
在△ABD和△CAE中,
则△ABD≌△CAE(AAS),
则AD=CE=2,AE=BD=3,
则DE=AD+AE=5.
【点睛】运用AAS证明两三角形全等是能解决该问题的前提条件,根据全等三角形的对应边相等,从而得解.
21.8
【解析】
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°,
又∵AE=CD,
∴△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠BFP=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°,
又∵PF=BF,
∴△BFP是等边三角形,
∴PF=BP=5,∠FBP=∠ABC=60°,
∴∠ABF=∠CBP,
又∵AB=BC,
∴△ABF≌△CBP,
∴AF=CP=3,
∴AP=AF+PF=3+5=8.
22.120°.
【解析】
试题分析:
由AD、BE是△ABC的高易得∠CEF=∠CDF=90°,结合∠C=60°,由四边形内角和为360°可得∠EFD=120°,最后由对顶角相等可得∠AFB=120°.
试题解析:
∵AD,BE是△ABC的高,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
∵∠C=60°,四边形EFDC的内角和为360°,
∴∠DFE=360°-∠C-∠ADC-∠AEB=120°.
∴∠AFB=∠DFE=120°.
23.作图见解析.
【解析】
试题分析:
按尺规作图的要求画出相应的图形,并保留作图痕迹即可.
试题解析:
(1)作△ABC的角平分线CD如下图:
(2)作△ABC的高AE如下图:
24.见解析
【分析】
全等三角形的判定和性质.求出∠DCE=∠ACB,根据SAS证△DCE≌△ACB,根据全等三角形的性质即可推出答案.
【详解】
证明:
∵∠DCA=∠ECB
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE
∴∠DCE=∠ACB.
∵在△DCE和△ACB中
DC=AC,∠DCE=∠ACB,CE=CB,
∴△DCE≌△ACB(SAS)
∴DE=AB.
25.利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C,然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论.
【解析】
分析:
证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△ABD与△ACE中,∵
,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE.
26.证明见解析.
【解析】
试题分析:
由四边形内角和为360°及∠B=∠D=90°,易得∠DAB+∠BCD=180°,∠BFC+∠BCF=90°,再由AE,CF分别平分∠DAB与∠DCB可得∠EAB+∠BFC=90°,从而可得∠EAB=∠BFC,就可证得AE∥CF.
试题解析:
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°,∠B=∠D=90°,
∴∠DAB+∠BCD=360°-∠B-∠D=180°,∠BFC+∠BCF=90°.
∵AE,CF分别平分∠DAB与∠DCB,
∴
,
.
∴
∴∠EAB=∠BFC.
∴AE∥CF.
27.3
【解析】
试题分析:
由AB=AC,∠BAC=120°,易得∠B=∠C=30°;由AD⊥AC可得∠DAC=90°,由此可得DC=2AD=2,∠BAD=∠BAC-∠DAC=30°,由此可证得BD=AD=1,就可得BC=DC+BD=3.
试题解析:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=
(180°-∠BAC)=
(180°-120°)=30°.
∵AD⊥AC,
∴∠DAC=90°.
∴DC=2AD=2,∠BAD=∠BAC-∠DAC=30°.
∴∠BAD=∠B.
∴BD=AD=1.
∴BC=BD+DC=3.
28.126°.
【解析】
试题分析:
由DE垂直平分AC可得AE=CE=BC,由此可得∠A=∠ECA,∠CEB=∠ABC;由AB=AC可得∠ABC=∠ACB,又因为∠CEB=∠A+∠ECA=2∠A,所以∠ABC=∠ACB=2∠A,再由三角形内角和为180°,在△ABC中可解得∠A的度数,最后由∠BED=∠A+∠EDC可求得∠BED的度数.
试题解析:
∵DE垂直平分AC,
∴AE=CE,∠ADE=90°.
∴∠A=∠ACE.
∵AB=AC,BC=EC,
∴∠ACB=∠B=∠BEC.
设∠A=x,则∠BEC=∠A+∠ACE=2x.
∴∠ACB=∠B=∠BEC=2x.
∴∠A+∠B+∠ACB=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
∴∠BED=∠A+∠ADE=36°+90°=126°.
29.
(1)证明见解析;
(2)证明见解析
【分析】
(1)根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD,得CF=EB;
(2)利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE,AC=AE,再将线段AC进行转化.
【详解】
解:
(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC,
在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL),
∴CF=EB;
(2)在△ADC与△ADE中,
∴△ADC≌△ADE(HL),
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+CF.
【点睛】
本题主要考查平分线的性质,全等三角形的性质与判定,由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离,即CD=DE,是解题关键.
30.
(1)证明见解析;
(2)当AE=CF时,BF为△ABC的角平分线.理由见解析.
【分析】
(1)由等腰直角三角形的性质可证得∠A=∠BCG=45°,再由∠ACE+∠BCE=90°,∠CBG+∠BCE=90°,得到∠ACE=∠CBG,这样结合AC=BC,由“ASA”可证△ACE≌△CBG就可得到结论了;
(2)当AE=CF时,BF是△ABC的角平分线;由AE=CF,AE=CG,可得CF=CG,这样∠CFG=∠CGF,进一步就可证得∠CBF=∠DBF,从而可得BF平分∠ABC.
【详解】
解:
(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,CD是中线,
∴∠ACE+∠BCE=90°,∠A=∠ABC=∠BCG=45°.
∵CE⊥BF,垂足为H,∴∠BHC=90°.
∴∠CBG+∠BCE=90°.
∴∠ACE=∠CBG.
在△ACE和△CBG中:
∴△ACE≌△CBG.
∴AE=CG.
(2)当AE=CF时,BF为△ABC的角平分线.
理由如下:
∵AE=CF,AE=CG.
∴CF=CG.
∴∠CFG=∠CGF.
∵∠CFG=∠A+∠ABF,∠CGF=∠BCG+∠CBF,∠A=∠BCG,
∴∠ABF=∠CBF.即BF为△ABC的角平分线.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,角平分线的有关证明.在解本题第2小问时,采用逆向分析很容易找到解题思路:
要使BF是△ABC的角平分线,就需使∠CBF=∠ABF,而由题意可知∠CBF和∠ABF分别与∠CFB和∠BGD互为余角,而∠BGD=∠CGF,因此只需∠CGF=∠CFB即可,即只需CF=CG即可,而由
(1)可知CG=AE,所以只需AE=CF即可,这样就找到了所需的条件.
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