课时作业8函数的极值与导数.docx
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课时作业8函数的极值与导数
课时作业8 函数的极值与导数
知识点一函数极值的概念
1.关于函数的极值,下列说法正确的是( )
A.导数为零的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值
D.若f(x)在区间(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数
答案 D
解析 易知选项A,B,C均不正确.对于D,不妨设x0是f(x)在区间(a,b)内的极小值点,则在x0附近,当x
2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
答案 C
解析 由题意可得f′(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时xf′(x)>0;排除B、D,当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0,+∞),xf′(x)>0,所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
知识点二求函数的极值
3.设三次函数f(x)的导函数为f′(x),函数y=xf′(x)的图象的一部分如图所示,则( )
A.f(x)的极大值为f(),极小值为f(-)
B.f(x)的极大值为f(-),极小值为f()
C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
答案 D
解析 由题图可知,当x∈(-∞,-3)时,xf′(x)>0,即f′(x)<0;
当x∈(-3,0)时,xf′(x)<0,即f′(x)>0;
当x∈(0,3)时,xf′(x)>0,即f′(x)>0;
当x∈(3,+∞)时,xf′(x)<0,即f′(x)<0.
故函数f(x)在x=-3处取得极小值,在x=3处取得极大值.
4.函数y=x3-3x2-9x(-2 A.极大值5,极小值-27B.极大值5,极小值-11 C.极大值5,无极小值D.极小值-27,无极大值 答案 C 解析 由y′=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3. 当x<-1或x>3时,y′>0;由-1 ∴当x=-1时,函数有极大值5;3∉(-2,2),故无极小值. 5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( ) A.,0B.0, C.-,0D.0,- 答案 A 解析 f′(x)=3x2-2px-q,由f′ (1)=0,f (1)=0 得解得 ∴f(x)=x3-2x2+x. 由f′(x)=3x2-4x+1=0,得x=或x=1, 易得当x=时,f(x)取极大值;当x=1时,f(x)取极小值0. 知识点三已知函数极值求参数 6.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值; (2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 解 (1)∵f(x)=alnx+bx2+x, ∴f′(x)=+2bx+1. 由题意可知f′ (1)=f′ (2)=0,∴ 解方程组得a=-,b=-. (2)由 (1),知f(x)=-lnx-x2+x, f′(x)=-x-1-x+1. 当x∈(0,1)时,f′(x)<0, 当x∈(1,2)时,f′(x)>0, 当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0. 故在x=1处函数f(x)取得极小值. 在x=2处函数f(x)取得极大值-ln2. ∴x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点. 7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,求f (2)的值. 解 f′(x)=3x2+2ax+b. 由题意,得即 解得或 当a=4,b=-11时,令f′(x)=0,得x1=1,x2=-. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x -∞,- - -,1 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 显然函数f(x)在x=1处取极小值,符合题意,此时f (2)=18. 当a=-3,b=3时, f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, ∴f(x)没有极值,不符合题意. 综上可知f (2)=18. 一、选择题 1.已知函数y=f(x),x∈R有唯一的极值,且x=1是f(x)的极小值点,则( ) A.当x∈(-∞,1)时,f′(x)≥0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≤0 B.当x∈(-∞,1)时,f′(x)≥0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0 C.当x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0 D.当x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≤0 答案 C 解析 由极小值点的定义,知极小值点左右两侧的导函数是左负右正,又函数f(x),x∈R有唯一的极值,故当x∈(-∞,1)时,f′(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)≥0. 2.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( ) A.-4B.-2 C.4D.2 答案 D 解析 由题意得f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以a=2. 3.设函数f(x)=+lnx,则( ) A.x=为f(x)的极大值点 B.x=为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 答案 D 解析 ∵f(x)=+lnx,∴f′(x)=-+,令f′(x)=0,即-+==0,解得x=2.当0 4.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( ) A.(0,3)B.(-∞,3) C.(0,+∞)D. 答案 D 解析 y′=3x2-2a, 因为函数在(0,1)内有极小值, 所以y′=3x2-2a=0在(0,1)内必有实数解, 记f(x)=3x2-2a,如图 所以解得0<a<,故选D. 5.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( ) A.a=0或a=21B.0≤a≤21 C.a<0或a>21D.0 答案 B 解析 f′(x)=3x2+2ax+7a,因为f(x)在R上不存在极值,则Δ=4a2-84a≤0,解得0≤a≤21. 二、填空题 6.已知函数f(x)=ax3+bx2+6,其导数f′(x)的图象如图所示,则函数的极小值是________. 答案 6 解析 依题意f′(x)=3ax2+2bx. 由题图象可知,当x<0时,f′(x)<0, 当0 故x=0时函数f(x)取极小值f(0)=6. 7.已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为________. 答案 c< 解析 ∵f′(x)=x2-x+c且f(x)有极值,∴f′(x)=0有不等的实数根,即Δ=1-4c>0,解得c<. 8.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是________. 答案 解析 由题知,x>0,f′(x)=lnx+1-2ax,由于函数f(x)有两个极值点,则f′(x)=0有两个不等的正根,即函数y=lnx+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0),则a>0;设函数y=lnx+1上任一点(x0,1+lnx0)处的切线为l,则kl=y′=,当l过坐标原点时,=⇒x0=1,令2a=1⇒a=,结合图象(略)知0 三、解答题 9.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处的极大值为4,极小值为0,试确定a,b,c的值. 解 f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b). 由题意,f′(x)=0应有根x=±1,故5a=3b, 于是f′(x)=5ax2(x2-1). (1)当a>0,x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 由表可知: 又5a=3b,解之得: a=3,b=5,c=2. (2)当a<0时,同理可得a=-3,b=-5,c=2. 10.已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围. 解 因为f(x)在x=-1处取得极值且f′(x)=3x2-3a, 所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,所以a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3, 由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 当x<-1时,f′(x)>0; 当-1 当x>1时,f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知, f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1, 在x=1处取得极小值f (1)=-3. 作出f(x)的大致图象如图所示: 因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
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