圆的培优专题含解答.docx
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圆的培优专题含解答.docx
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圆的培优专题含解答
一运用辅助圆求角度
1、如图,△ABC内有一点D,DA=DB=DC,若DAB=20,DAC=30,
1
贝U乙BDC=.(•BDC="2-■BAC=100)
2、如图,AE=BE=DE=BC=DC,若C=100,则BAD=.(50)
3、如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,/CBD=20,/BDC=30,贝卩
乙BAD=.(厶BAD=ZBAC+ZCAD=40°+60°=100*)
第1题第2题第3题
解题策略:
通过添加辅助圆,把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题,思维更明朗!
4、如图,口ABCD中,点E为AB、BC的垂直平分线的交点,若•D=60,
贝UAEC=.(/AEC=2^B=2^D=120)
5、如图,O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,ABC=ADC=70,
贝UDAO+DCO=.(所求=360-ZADC—乙AOC=150)
6、如图,四边形ABCD中,ACB=■ADB=90,-ADC=25,则ABC=
ACBD共圆.
运用圆周角和圆心角相互转化求角度
7、如图,AB为OO的直径,C为AB的中点,
D为半圆AB上一点,则•ADC=
8、如图,AB为OO的直径,
CD过OA的中点E并垂直于OA,则.ABC=
9、如图,AB为OO的直径,
BC=3AC,则—ABC=
解题策略:
以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!
10、如图,AB为OO的直径,点C、D在OO上,•BAC=50,则.ADC=
11、如图,OO的半径为1,弦AB=,弦AC=3,则•BOC=12、如图,PAB、PCD是OO的两条割线,PAB过圆心O,若AC=CD,-P=30,
则•BDC=.(设.ADC=x,即可展开解决问题)
解题策略:
在连接半径时,时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰
直角三角形或等边三角形,是解题的另一个关键点!
圆的四接四边形的外角等于内对角,是一个非常好用的一个重要性质!
1、如图,AB是OO的弦,OD_AB,垂足为C,交OO于点D,点E在OO上,若.BED
=30,OO的半径为4,则弦AB的长是.
略解:
•••OD_AB,•••AB=2AC,且.ACO=90,
•••.BED=30.AOC=2BED=60
•.OAC=30,OC=-^-OA=2,贝UAC=2、3,因此AB=43.
2、如图,弦AB垂直于OO的直径CD,OA=5,AB=6,贝UBC=.
1
略解:
•••直径CD_弦AB,•AE=BE=1AB=3
•OE=52—3=4,贝UCE=5+4=9
•BC=-9232=3.10
第1题第2题第3题
3、如图,OO的半径为25,弦AB丄CD,垂足为P,AB=8,CD=6,贝UOP=
略解:
如图,过点O作OE_AB,OF_CD,连接OB,OD.
则BE=2AB=4,DF=十CD=3,且OB=OD=25
OE=,(2、、5)2-42=2,OF=•.(2i5)2-32T1
又AB_CD,则四边形OEPF是矩形,则OP=,22(.11)2
4、如图,在OO内,如果OA=8,AB=12,•A=■B=60,则OO的半径为
略解:
如图,过点O作OD_AB,连接OB」AD=|AB=4,因此,BD=8,OD=4、3
•OB=4.7.
5、如图,正△ABC内接于OO,D是OO上一点,.DCA=15,CD=10,贝UBC=略解:
如图,连接OC,OD,则.ODC=.OCD
•/△ABC为等边三角形,则OCA=■OCE=30,二ODC=•OCD=45
•••△OCD是等腰三角形,则OC=5、2
6、如图,OO的直径AB=4,C为AB的中点,E为OB上一点,•AEC=60,CE的延
长线交OO于点D,贝yCD=
略解:
如图,连接OC,贝UOC=2
则DE=2CD=2.2002-1502=100・7,
所以受影响的时间为100--7“10・7=10(时)
1、如图,OO的直径AB=10,弦AC=6,-ACB的平分线交OO于D,求CD的长.
解:
如图,连接AB,BD,在CB的延长线上截取BE=AC,连接DE
••••ACD=■BCD,•••AD=BD
又乙CAD=ZEBD,AC=BE
•△CAD◎△EBD(SAS)
•CD=DE,ADC=.BDE
•/AB为OO的直径,则.ACB=.ADB=90
•BC=一102_62=8;ADC+.CDB=.CDB+.BDE=90,即.CDE=90
•△CDE是等腰直角三角形且CE=14,•CD=72
2、如图,AB是OO的直径,C是半圆的中点,M、D分别是CB及AB延长线上一点,且
MA=MD,若CM=\2,求BD的长.
解:
如图,连接AC,贝UAC=BC,.C=90,即△ABC是等腰直角三角形
过点M作MN//AD,则NMA=MAD
则厶CMN也是等腰直角三角形,则MN=.2CM
•乙ANC=ZMBD=135,
又MA=MD,•.D=.NMA=.MAD
•△AMN◎△BMD(AAS)
BD=MN=2
3、如图,AB为OO的直径,点N是半圆的中点,点C为AN上一点,NC=■.3.
求BC—AC的值.
解:
如图,连接AN,BN,则△ABN是等腰直角三角形
在BC上截取BD=AC,连接DN
•/AN=BN,CAN=DBN,AC=BD
•△ACN◎△BDN(SAS)
•CN=DN,CNA=DNB,
•••厶CND=ZCNA+ZAND=ZADN+乙DNB=90,即△CND是等腰直角三角形
•CD=.2NC=,6,
•BC—AC=BC—BD=CD=、、6
4、如图,点A、B、C为OO上三点,AC二BC,点M为BC上一点,CE_AM于E,
AE=5,ME=3,求BM的长.
解:
如图,在AM上截取AN=BM,连接CN,CM.
•/AC=BC,•••AC=BC,又/A=ZB
•••△ACN◎△BCM(SAS)
•CN=CM,又CE_AM
•NE=ME=3,
BM=AN=AE—NE=2
5、如图,在OO中,P为BAC的中点,PD_CD,CD交OO于A,若AC=3,AD=1,求AB的长.
解:
如图,连接BP、CP,贝UBP=CP,.B=.C
过点P作PE_AB于点E,又PD—CD
•BEP=CDP
•••△BEP也厶CDP(AAS)
BE=CD=3+1=4,PE=PD
连接AP,贝URt△AEP也Rt△ADP(HL),贝UAE=AD=1
•AB=AE+BE=5
6、如图,AB是O的直径,MN是弦,AE—MN于E,BF—MN于F,AB=10,MN=8.
求BF—AE的值.
解:
vAE_MN,BF_MN,贝UAE//BF,•/A=ZB
如图,延长EO交BF于点G,
贝U•AOE=BOG,AO=BO
•△AOE◎△BOG(AAS),贝UOE=OG
过点O作OH—MN,FG=2OH,HN=4
连接ON,贝UON=5,OH=■52-42=3,贝UBG—AE=FG=6.
1、如图,OO是厶BCN的外接圆,弦AC_BC,点N是AB的中点,.BNC=60,
亠BN»+
求BC的值•
解:
如图,连接AB,贝UAB为直径,••••BNA=90
连接AN,则BN=AN,则△ABN是等腰直角三角形
J2
•-BN=AB;又/BAC=■BNC=60,
解:
如图,作直径AE,连接DE,则/ADE=90
3、如图,AB为OO的直径,C为OO上一点,D为CB延长线上一点,且ZCAD=45
•EF=CG,CE//DG,则ECB=CDG=CAE
•△ACEDCG(AAS),贝UCE=CG=EF
(2)略解:
AC=CD=、4262=2.13.
2
4、如图,AB为OO的直径,CD_AB于点D,CD交AE于点F,AC=CE.
(1)
EH=AH=1AE=4
求证:
AF=CF;
(2)若OO的半径为5,AE=8,求EF的长
(1)证:
如图,延长CD交OO于点G,连接AC
•.•直径ABICG,贝UAG=AC=CE
•••.CAE=■ACG,贝UAF=CF
(2)解:
如图,连接OC交AE于点H,则OC_AE,
OH=..52-42=3,贝UCH=5-3=2
设HF=X,贝VCF=AF=4—X
22233
则x2=(4-x),•x,即HF=—
22
11
•EF=
2
5、如图,在OO中,直径CD—弦AB于E,AM—BC于M,交CD于N,连接AD.
(1)求证:
AD=AN;
3
h
丿
(2)若AB=4*2,ON=1,求OO的半径.
(1)证:
TCD_AB,AM_BC
—C+—CNM=•-C+—B=90
•匚B=ZCNM,
又B=D,AND=CNM
••D=■AND,即AD=AN
(2)解:
•••直径CD_弦AB,则AE=2、Q
又AN=AD,贝UNE=ED
如图,连接OA,设OE=x,贝UNE=ED=x1
OA=OD=2x1
•x2(2,2)2=(2x1)2,则x=1
•OO的半径OA=3
1、在OO中,弦AB_CD于E,求证:
AOD+BOC=证:
如图,连接AC,
•/AB_CD,则.CAB+.ACD=90
又.AOD=2ACD,BOC=2・BAC
•••.AOD+.BOC=180.
222
2、在OO中,弦AB—CD于点E,若OO的半径为R,求证:
AC+BD=4R.
证:
•••AB_CD,则.CAB+.ACD=90
如图,作直径AM,连接CM
则三ACM=ZACD+ZDCM=90
•/CAB=ZDCM,
•-BC=DM
•CM=BD
22
•/AC2+CM2=AM
•AC2+BD2=4R23、在OO中,弦AB—CD于点E,若点M为AC的中点,求证ME—BD.
证:
如图,连接ME,并延长交BD于点F
•••AB—CD,且点M为AC的中点
•ME为RtAAEC斜边上的中线
•AM=ME
•乙A=AEM=乙BEF
又B=C,A+C=90
••BEF+B=90,即BFE=90
•ME—BD.
1
4、在OO中,弦AB_CD于点E,若ON_BD于N,求证:
ON=—AC.
2
证:
如图,作直径BF,连接DF,
贝UDF_BD,又ON_BD,
•••ON//FD,又OB=OF
1
•ON=-DF
2
连接AF,贝UAF_AB,又CD_AB
•AF//CD
•••AC=FD,贝UAC=FD
1
--ON=—AC
2
5、在OO中,弦AB_CD于点E,若AC=BD,ON_BD于N,OM_AC于M.
(1)
求证:
ME//ON;
(2)求证:
四边形OMEN为菱形.
证:
(1)如图,延长ME交OD于点F
•AM=EM,
.A=■AEM=BEF
又B=C,A+C=90
•B+BEF=90,则BFE=90
•MF_BD,又ON—BD
•MF//ON
(2)由
(1)知MF//ON,同理可证OM//NE,
•四边形OMEN是平行四边形
•/AC=BD,•OM=ON
•四边形OMEN为菱形.
一圆与内角平分线问题往往与线段和有关,实质是对角互补的基本图形
1、如图,OOABC的外接圆,弦CD平分.ACB,-ACB=90.
求证:
CA+CB=.2CD.
证:
如图,在CA的延长线上截取AE=BC,连
•/CD平分/ACB,•••AD=BD
•△CDE是等腰直角三角形,则CA+CB=CE=、、2CD.
2、如图,OOABC的外接圆,弦CD平分•ACB,-ACB=120,求一CD的值
解:
如图,在CA的延长线上截取AE=BC,
•/CD平分乙ACB,•AD=BD
又/DAE=乙DBC,AE=BC
•△DAE◎△DBC(SAS)
•CD=DE,又/ACD=60
•△CDE是等边三角形
“CA+CB
CD=CE=CA+BC,即-CD=1
3、如图,过0、M(1,1)的动圆O01交y轴、X轴于点解:
如图,过点M作ME_y轴,MF_X轴,连AM、
由M(1,1)知:
四边形OFME是正方形
.••OE=OF=4,EM=FM,又乙MBF=乙MAE,
•△AEM◎△BFM(AAS),贝UAE=BF
•OA+OB=AE+OE+OF—BF=8.
6、如图,A(4,0),B(0,4),OO1经过A、B、O三点,
PB—PA…
求—的值•
解:
如图,在BP上截取BC=AP
•••A(4,0),B(0,4),则OA=OB=4又/OAP=ZOBC
•△OAPOBC(SAS)
点这P为OA上动点(异于0、A)
•••OC=OP,且NCOP=AOB=90:
则PBPOPA=PO=血.
切线与一个圆答案:
1、70;2、20;3、80;4、120;5、130;6、45
1、如图,AD切OO于A,BC为直径,若ZACB=20,则ECAD=.
2、如图,AP切OO于P,PB过圆心,B在OO上,若.ABP=35,则.APB=.
3、如图,PA、PB为OO的切线,C为ACB上一点,若.BCA=50,则.APB=
9、如图,O01和002外切于D,AB过点D,右—A02D=100,C为优弧BD上任一点,
则・DCB=答案:
7、140;&40;9、50(过点D作两圆的切线)
1、如图,在OO的内接△ACB中,乙ABC=30,AC的延长线与过点D的切线BD交于
点D,若OO的半径为1,BD//OC,贝UCD=.(CD=-—)
3
2、如图△ABC内接于OO,AB=BC,过点A的切线与OC的延长线交于D,■BAC=75,
CD=,贝UAD=.(AD=3)3、如图,OOBCD的外接圆,过点C的切线交BD的延长线于A,■ACB=75,
-ABC=45,则DB的值为.(CDi2)
4、如图,AB为OO的直径,弦DC交AB于E,过C作OO的切线交DB的延长线于M,
若AB=4,ADC=45,M=75,则CD=.(CD=2,3)
5、如图,等边△ABC内接于OO,BDBOO于B,AD—BD于D,AD交OO于E,OO
的半径为1,贝UAE=.(AE=1)
6、如图,△ABC中,/C=90,BC=5,OO与ABC的三边相切于D、E、F,若OO的
半径为2,则厶ABC的周长为.(C=30)
7、如图,△ABC中,/C=90,AC=12,BC=16,点O在AB上,OO与BC相切于D,
1、如图,AB为OO的直径,C为AE的中点,CD丄BE于D
(1)判断DC与OO的位置关系,并说明理由;
(2)若DC=3,0O的半径为5,求DE的长.
解:
(1)DC是OO的切线,理由如下:
如图,连接OC,BC,则NABC=ZCBD=ZOCB
•••OC//BD,又CD丄BE•••OC_CD,又OC为OO的半径
•DC是OO的切线
(2)如图,过O作OF_BD,则四边形OFDC是矩形,且BE=EF
•-OF=CD=3,DF=OC=5,
EF=BF=-52-324,•DE=DF—EF=1
2、如图,AB为OO的直径,D是BC的中点,DE—AC交AC的延长线于E,OO的切线BF交AD的延长线于点F.
(1)求证:
DE为OO的切线;
(2)若DE=3,OO的半径为5,求DF的长
(1)证:
显然,■CAD=■OAD=■ODA
•OD//AE,又DE_AC,
•OD_DE,又OD为OO半径
•DE为OO的切线
(2)解:
如图,过点O作OG_AC,贝UOGDE是矩形,即OG=DE=3,DE=OD=5
•AG=.52-32=4,贝yAE=5+4=9,•-9232=3.10
连接BD,贝UBD—AD,•BD=,102—(3.10)^:
:
10
设DF=X,则X2010)2=BF=(x310)2-102,•DF=X=—^0.
3、如图,四边形ABCD内接于OO,BD是OO的直径,AE_CD于E,DA平分.BDE.
(1)求证:
AE是OO的切线;
(2)
若AE=2,DE=1,求CD的长.
(1)证:
如图,连接0A,则.ADE=.ADO=.OAD
•••OA//CD,又AE_CD
•••OA_AE,又OA为OO的半径
•AE是OO的切线
(2)解:
如图,过点O作OF丄CD,贝UCD=2DF,且四边形OFEA是矩形
EF=OA=OD,OF=AE=2
设DF=X,贝UOD=EF=X1
222
•x2=(x1),•x=1.5
CD=2CF=2x=3
4、如图,AE是OO的直径,DFBOO于B,AD—DF于D,EF—DF于F.
(1)
求证:
EF+AD=AE;
(2)若EF=1,DF=4,求四边形ADFE的周长.
(1)证:
如图,连接CE,则四边形CDFE是矩形
连接OB交CE于点G,
•/DF是OO的切线
•OB_DF,OB_CE•BG=CD=EF,OG//AC,又AO=OE
•AC=2OG
•EF+AD=AC+CD+EF=2OG+2BG=2OB=AE.
(2)解:
显然CE=DF=4,CD=EF=1
设AC=x,贝UAD=x1,AE=x2
222
•x4=(x2),贝yX=3,贝yAC=3,AD=4,AE=5
•四边形CDFE的周长为14.
1、如图,已知点A是OO上一点,半径0C的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,
1
AC=-OB.
2
(1)求证:
AB是O0的切线;
(2)若.ACD=45,0C=2,求弦CD的长.
(1)证:
TOC=0B,
1
•••AC为OAB的OB边上的中线,又AC=-OB
2
•
△OAB是直角三角形,且•OAB=90,又
•AB是OO的切线
(2)解:
显然,OA=OC=人。
,即厶OAC是等边三角形
•乙AOC=60,•/D=30
如图,过点A作AE_CD于点E,
••••ACD=45,•△AEC是等腰直角三角形,
•AE=CE=—2AC=—^OC―2,DE=■.3AE=,6
22
2、如图,PA、PB切OO于A、B,点M在PB上,且OM//AP,MN—AP于N.
(1)求证:
OM=AN;
(2)若OO的半径r=3,PA=9,求OM的长.
(1)证:
如图,连接OA,TPA为OO的切线,
•OA_AP,又MN_AP
•OA//MN,又OM//AP,
•四边形OANM是矩形,即OM=AN
(2)解:
如图,连接OB,tPB、PA为OO的切线
•OBM=MNP=90,PB=PA=9•/OM//AP,.・.・OMB=P,又OB=OA=MN,•△OBMMNP(AAS)
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