三角形的内角和与外角的性质祥解.docx
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三角形的内角和与外角的性质祥解
1、(2011•昭通)将一副直角三角板如图所示放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为( )
A、45°B、60°C、75°D、85°
2、(2011•义乌市)如图,已知AB∥CD,∠A=60°,∠C=25°,则∠E等于( )
A、60°B、25°C、35°D、45°
3、(2011•台湾)如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确( )
A、∠2=∠4+∠7B、∠3=∠1+∠6
C、∠1+∠4+∠6=180°D、∠2+∠3+∠5=360°
4、(2011•台湾)若△ABC中,2(∠A+∠C)=3∠B,则∠B的外角度数为何( )
A、36B、72
C、108D、144
5、(2011•台湾)若钝角三角形ABC中,∠A=27°,则下列何者不可能是∠B的度数?
( )
A、37B、57
C、77D、97
6、(2011•宁波)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C=20°,则∠EAB的度数为( )
A、57°B、60°C、63°D、123°
7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是( )
A、45°B、135°C、45°或135°D、都不对
8、(2009•荆门)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB=( )
A、40°B、30°C、20°D、10°
9、关于三角形的内角,下列判断不正确的是( )
A、至少有两个锐角B、最多有一个直角
C、必有一个角大于60°D、至少有一个角不小于60°
10、如图,BE、CF都是△ABC的角平分线,且∠BDC=110°,则∠A=( )
A、50°B、40°C、70°D、35°
11、如图,将等边三角形ABC剪去一个角后,则∠1+∠2的大小为( )
A、120°B、180°C、200°D、240°
12、在三角形的三个外角中,钝角的个数最多有( )
A、3个B、2个C、1个D、0个
13、如图在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠BPC的大小是( )
A、100°B、110°C、115°D、120°
14、以下说法中,正确的个数有( )
(1)三角形的内角平分线、中线、高都是线段;
(2)三角形的三条高一定都在三角形的内部;
(3)三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形;
(4)三角形的3个内角中,至少有2个角是锐角.
A、1B、2C、3D、4
15、若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°,则这个三角形的形状为( )
A、锐角三角形B、直角三角形
C、钝角三角形D、等腰三角形
16、已知:
△ABC,现将∠A的度数增加1倍,∠B的度数增加2倍,刚好使∠C是直角,则∠A的度数可能是( )
A、75°B、60°C、30°D、45°
17、如图,BE、CF是△ABC的角平分线,且∠A=70°,那么∠BDC的度数是( )
A、70°B、115°C、125°D、145°
18、如图,∠ABC=31°,又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点,则∠AEC为( )
A、14.5°B、15.5°C、16.5°D、20°
19、(2010•武汉)如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是( )
A、100°B、80°C、70°D、50°
20、(2010•聊城)如图,l∥m,∠1=115°,∠2=95°,则∠3=( )
A、120°B、130°C、140°D、150°
21、(2009•湘西州)如图,l1∥l2,∠1=120°,∠2=100°,则∠3=( )
A、20°B、40°C、50°D、60°
22、(2007•临沂)如图,△ABC中,∠A=50°,点D,E分别在AB,AC上,则∠1+∠2的大小为( )
A、130°B、230°C、180°D、310°
23、(2005•吉林)如图,在Rt△ADB中,∠D=90°,C为AD上一点,则x可能是( )
A、10°B、20°C、30°D、40°
24、(2003•台湾)如图是A、B两片木板放在地面上的情形.图中∠1、∠2分别为A、B两木板与地面的夹角,∠3是两木板问的夹角.若∠3=110°,则∠2﹣∠1=( )
A、55°B、70°C、90°D、l10°
25、(2002•烟台)如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O,设∠BOC=a,则∠A等于( )
A、90°﹣2αB、90°﹣
C、180°﹣2αD、180°﹣
26、如图,把△ABC纸片沿DE折叠,点A落在四边形BCDE的内部,则( )
A、∠A=∠1+∠2B、2∠A=∠1+∠2
C、3∠A=2∠1+∠2D、3∠A=2(∠1+∠2)
27、如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为( )
A、15°B、20°C、25°D、30°
28、(2006•黑龙江)如图,AB∥CD,∠A=120°,∠1=72°,则∠D的度数为 _________ 度.
29、如图所示,△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC和外角∠ACE,若∠D﹦24°,则∠A﹦ _________ 度.
30、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 _________ 度.
答案与评分标准
一、选择题(共27小题)
1、(2011•昭通)将一副直角三角板如图所示放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为( )
A、45°B、60°
C、75°D、85°
考点:
三角形内角和定理。
专题:
计算题。
分析:
根据三角形三内角之和等于180°求解.
解答:
解:
如图.
∵∠2=60°,∠3=45°,
∴∠1=180°﹣∠2﹣∠3=75°.
故选C.
点评:
考查三角形内角之和等于180°.
2、(2011•义乌市)如图,已知AB∥CD,∠A=60°,∠C=25°,则∠E等于( )
A、60°B、25°
C、35°D、45°
考点:
三角形内角和定理;平行线的性质。
专题:
几何图形问题。
分析:
由已知可以推出∠A的同旁内角的度数为120°,根据三角形内角和定理得∠E=35°
解答:
解:
设AE和CD相交于O点
∵AB∥CD,∠A=60°
∴∠AOD=120°
∴∠COE=120°
∵∠C=25°
∴∠E=35°
故选C.
点评:
本题主要考查平行线的性质、三角新股内角和定理,关键看出∠A的同旁内角的对顶角是三角形的一个内角
3、(2011•台湾)如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确( )
A、∠2=∠4+∠7B、∠3=∠1+∠6
C、∠1+∠4+∠6=180°D、∠2+∠3+∠5=360°
考点:
三角形内角和定理;对顶角、邻补角;三角形的外角性质。
分析:
根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB,再用三角形内角和定理得出得出∠AOB+∠4+∠6=180°,即可得出答案.
解答:
解:
∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角,
∵∠1=∠AOB,
∵∠AOB+∠4+∠6=180°,
∴∠1+∠4+∠6=180°.
故选C.
点评:
此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理,正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键.
4、(2011•台湾)若△ABC中,2(∠A+∠C)=3∠B,则∠B的外角度数为何( )
A、36B、72
C、108D、144
考点:
三角形内角和定理;解二元一次方程组;对顶角、邻补角。
专题:
计算题。
分析:
由∠A+∠B+∠C=180°,得到2(∠A+∠C)+2∠B=360°,求出∠B=72°,根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案.
解答:
解:
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴2(∠A+∠B+∠C)=360°,
∵2(∠A+∠C)=3∠B,
∴∠B=72°,
∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°,
故选C.
点评:
本题主要考查对二元一次方程组,三角形的内角和定理,邻补角等知识点的理解和掌握,能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键.
5、(2011•台湾)若钝角三角形ABC中,∠A=27°,则下列何者不可能是∠B的度数?
( )
A、37B、57
C、77D、97
考点:
三角形内角和定理。
专题:
推理填空题。
分析:
根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°,①∠C>90°,②∠B>90°,分类讨论解答.
解答:
解:
∵钝角三角形△ABC中,∠A=27°,
∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°,
又∵△ABC为钝角三角形,有两种可能情形如下:
①∠C>90°,
∴∠B<153°﹣90°=63°,
∴选项A、B合理;
②∠B>90°,
∴选项D合理,
∴∠B不可能为77°.
故选C.
点评:
本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理,体现了分类讨论思想.
6、(2011•宁波)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C=20°,则∠EAB的度数为( )
A、57°B、60°
C、63°D、123°
考点:
三角形内角和定理;对顶角、邻补角;平行线的性质。
分析:
根据三角形内角和为180°,以及对顶角相等,再根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠EAB的度数.
解答:
解:
∵AB∥CD,
∴∠A=∠C+∠E,
∵∠E=37°,∠C=20°,
∴∠A=57°,
故选A.
点评:
本题考查了三角形内角和为180°,对顶角相等,以及两直线平行同旁内角互补,难度适中.
7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是( )
A、45°B、135°
C、45°或135°D、都不对
考点:
三角形内角和定理;角平分线的定义。
分析:
利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义计算.
解答:
解:
如图:
∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线,
∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°,
两角平分线组成的角有两个:
∠BOE与∠EOD这两个交互补,
根据三角形外角和定理,∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°,
∴∠EOD=180°﹣45°=135°,
故选C.
点评:
①几何计算题中,如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程的思想;
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件;
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.
8、(2009•荆门)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB=( )
A、40°B、30°
C、20°D、10°
考点:
三角形内角和定理;三角形的外角性质;翻折变换(折叠问题)。
分析:
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B,又折叠前后图形的形状和大小不变,∠CA'D=∠A=50°,易求∠B=90°﹣∠A=40°,从而求出∠A′DB的度数.
解答:
解:
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠B=90°﹣50°=40°,
∵将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠CA'D=∠A,
∵∠CA'D是△A'BD的外角,
∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°.
故选D.
点评:
本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质.关键是要理解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化.解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等.
9、关于三角形的内角,下列判断不正确的是( )
A、至少有两个锐角B、最多有一个直角
C、必有一个角大于60°D、至少有一个角不小于60°
考点:
三角形内角和定理。
分析:
可以利用反证的方法来判定各个命题是否正确.
解答:
解:
根据三角形的内角和定理,不正确的是:
必有一个角大于60°.
因为当三角形是等边三角形时三个角都相等,都是60度.
故选C.
点评:
本题主要考查三角形的内角和定理,三角形的内角和是180度.
10、如图,BE、CF都是△ABC的角平分线,且∠BDC=110°,则∠A=( )
A、50°B、40°
C、70°D、35°
考点:
三角形内角和定理;角平分线的定义。
分析:
根据数据线的内角和定理以及角平分线的定义,可以证明.
解答:
解:
∠BDC=90°+
∠A,
故∠A=2(110°﹣90°)=40°.
故选B.
点评:
注意此题中的∠A和∠BDC之间的关系:
∠BDC=90°+
∠A.
11、如图,将等边三角形ABC剪去一个角后,则∠1+∠2的大小为( )
A、120°B、180°
C、200°D、240°
考点:
三角形内角和定理;多边形内角与外角。
分析:
根据等边三角形的性质求出∠B、∠C的度数,再根据四边形的内角和定理求出∠1+∠2的大小.
解答:
解:
因为△ABC为等边三角形,
所以∠B+∠C=60°+60°=120°,
根据四边形内角和为360°,
可知∠1+∠2=360°﹣120°=240°.
故选D.
点评:
此题通过剪切,将四边形的内角和等边三角形的知识结合起来,是一道好题.
12、在三角形的三个外角中,钝角的个数最多有( )
A、3个B、2个
C、1个D、0个
考点:
三角形内角和定理。
分析:
在锐角三角形的外角中,有三个钝角;在直角三角形外角中,有两个钝角;在钝角三角形外角中,有两个钝角.综上可知,在三角形的三个外角中,钝角的个数最多有3个.
解答:
解:
根据三角形的内角和是180度可知:
三角形的三个内角中最多可有3个锐角,
所以对应的在三角形的三个外角中,钝角的个数最多有3个.
故选A.
点评:
主要考查了三角形的内角和外角之间的关系.
(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.
(2)三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件.
13、如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠BPC的大小是( )
A、100°B、110°
C、115°D、120°
考点:
三角形内角和定理;角平分线的定义。
分析:
根据三角形内角和定理计算.
解答:
解:
∠ABC=50°,∠ACB=80°,
BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC=25°,∠PCB=40°,
∴∠BPC=115°.
故选C.
点评:
此题主要考查了三角形的内角和定理:
三角形的内角和为180°.
14、以下说法中,正确的个数有( )
(1)三角形的内角平分线、中线、高都是线段;
(2)三角形的三条高一定都在三角形的内部;
(3)三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形;
(4)三角形的3个内角中,至少有2个角是锐角.
A、1B、2
C、3D、4
考点:
三角形内角和定理;三角形的角平分线、中线和高。
分析:
分别根据三角形的内角平分线、中线、高的定义及三角形内角和定理进行逐一判断即可.
解答:
解:
(1)正确,符合三角形的内角平分线、中线、高的定义;
(2)错误,当三角形为直角三角形或钝角三角形时不成立;
(3)正确,可根据三角形的中线把原三角形分成的小三角形中,一个小三角形与原三角形同底但高为原三角形的一半进行证明;
(4)正确,根据三角形的内角和定理即可证明.
故选C.
点评:
本题涉及面较广,涉及到三角形内角平分线、中线、高的定义及性质、三角形内角和定理,涉及面较广但难度适中.
15、若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°,则这个三角形的形状为( )
A、锐角三角形B、直角三角形
C、钝角三角形D、等腰三角形
考点:
三角形内角和定理;角平分线的定义。
分析:
如图,CD,BD分别是∠ACB,∠ABC的角的平分线,∠D=145°.要判断△ABC的形状,需算出△ABC中内角的度数.
解答:
解:
如图,CD,BD分别是∠ACB,∠ABC的角的平分线,∠D=145°.
在△BCD中,∠1+∠2+∠D=180°,
∴∠1+∠2=180°﹣145°=35°.
∵∠1=
∠ACB,∠2=
∠ABC,
∴∠ACB+∠ABC=2(∠1+∠2)=70°,
∴∠A=180°﹣(∠ACB+∠ABC)=110°,
∴△ABC的形状为钝角三角形.
故选C.
点评:
本题先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2=35°,再根据角的平分线的性质求出∠ACB+∠ABC的值,再次利用三角形内角和定理求出∠A的度数,从而判断三角形的形状为钝角三角形.
16、已知:
△ABC,现将∠A的度数增加1倍,∠B的度数增加2倍,刚好使∠C是直角,则∠A的度数可能是( )
A、75°B、60°
C、30°D、45°
考点:
三角形内角和定理。
分析:
根据三角形内角和定理判断.
解答:
解:
A、当∠A为75°时,∠A的度数增加1倍,变为150°,∠C不可能是直角;
B、当∠A为60°时,∠A的度数增加1倍,变为120°,∠C不可能是直角;
C、当∠A为30°,∠B为10°时,∠A的度数增加1倍为60°,∠B的度数增加2倍为30°,∠C刚好是直角;
D、当∠C为45°时,∠A的度数增加一倍,变为90°,∠C不可能是直角.
故选C.
点评:
本题有一定的开放性,需要对各条件进行验证和猜想,各角之和符合三角形内角和定理.
17、如图,BE、CF是△ABC的角平分线,且∠A=70°,那么∠BDC的度数是( )
A、70°B、115°
C、125°D、145°
考点:
三角形内角和定理。
专题:
计算题。
分析:
根据三角形的内角和定理和∠A的度数求得另外两个内角的和,利用角平分线的性质得到这两个角和的一半,用三角形内角和减去这两个角的一半即可.
解答:
解:
∵∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°,
∵BE、CF是△ABC的角平分线,
∴∠EBC+∠FCB=
(∠ABC+∠ACB)=55°,
∴∠BDC=180°﹣55°=125°.
故选C.
点评:
本题考查了三角形的内角和定理,此定理对学生来说比较熟悉,但有时运用起来却不很熟练,难度较小.
18、如图,∠ABC=31°,又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点,则∠AEC为( )
A、14.5°B、15.5°
C、16.5°D、20°
考点:
三角形内角和定理。
专题:
计算题。
分析:
设∠BAC=2x°,根据三角形外角的性质得:
∠BCE=(x+
)°,然后根据AE平分∠BAC和外角的性质得∠E+x=x+
,解得:
∠E=15.5°.
解答:
解:
设∠BAC=2x°,
则根据三角形外角的性质得:
∠BCD=(2x+31)°,
∵∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点,
∴∠EAC=x°,∠ECD=(∠E+x)°,
∵∠ECD是△AEC的外角,
∴∠ECD=∠E+∠EAD,
即:
∠E+x=x+
,
解得:
∠E=15.5°.
故选B.
点评:
本题综合考查了三角形的内角和定理及三角形的外角的性质,解题时设出了一个中介值,从而使运算方便.
19、(2010•武汉)如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是( )
A、100°B、80°
C、70°D、50°
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
如果延长BD交AC于E,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠BDC=∠DEC+∠ECD,∠DEC=∠ABE+∠BAE,所以∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD,又DA=DB=DC,根据等腰三角形等边对等角的性质得出∠ABE=∠DAB=20°,∠ECD=∠DAC=30°,进而得出结果.
解答:
解:
延长BD交AC于E.
∵DA=DB=DC,
∴∠ABE=∠DAB=20°,∠ECD=∠DAC=30°.
又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°,
∠BDC=∠DEC+∠ECD,∠DEC=∠ABE+∠BAE,
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°.
故选A.
点评:
本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质,解答的关键是沟通外角和内角的关系.
20、(2010•聊城)如图,l∥m,∠1=115°,∠2=95°,则∠3=( )
A、120°B、130°
C、140°D、150°
考点:
三角形的外角性质;平行线的性质。
专题:
计算题。
分析:
先根据两直线平行,同旁内角互补,求出∠4,再求出∠2的邻补角∠5,然后利用三角形外角性质即可求出∠3.
解答:
解:
∵l∥m,∠1=115°,
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°,
又∠5=180°﹣∠2=180°﹣95°=85°,
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°.
故选D.
点评:
本题利用平行线的性质和三角形外角的性质求解.
21、(2009•湘西州)如图,l1∥l2,∠1=120°,∠2=100°,则∠3=( )
A、20°B、40°
C、50°D、60°
考点:
三角形的外角性质;平行线的性质。
专题:
计算题。
分析:
先延长∠1和∠2的公共边交l1于一点,利用两直线平行,同旁内角互补求出∠4的度数,再利用外角性质求解.
解答:
解:
如图,延长∠1和∠2的公共边交l1于一点,
∵l1∥l2,∠1=120°,
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°,
∴∠3=∠2﹣∠4=100°﹣60°=40°.
故选B.
点评:
本题主要考查作辅助线构造三角形,然后再利用平行线的性质和外角性质求解.
22、(2007•临沂)如图,△ABC中,∠A=50°,点D,E分别在AB,AC上,则∠1+∠2的大小为( )
A、130°B、230°
C、180°D、310°
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
根据三角形内角和以及平角定义即可解答.
解答:
解:
∵△ABC中,∠A=50°,
∴∠AED+∠ADE=130°,
∴∠1+∠2=360°﹣(∠AED+∠ADE)=230°.
故选B.
点评:
正确理解三角形的内角和定理是解决本题的关键.
23、(20
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- 关 键 词:
- 三角形 内角 外角 性质