数学课本二元一次联立方程式.docx
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数学课本二元一次联立方程式
第1章
二元一次联立方程式
1-1二元一次方程式
1-2解二元一次联立方程式
1-3应用问题
温故学习
1.化简下列各式:
(1)6x+(-6x)= 0 。
(2)5x-(-2x)= 7x _。
(3)-6x-8x= -14x 。
(4)5x-x= 4x 。
2.已知x=-5,求下列各式的值:
(1)3x+10= -5 。
(2)-2x-6= 4 。
3.解下列各一元一次方程式:
(1)-7x+9=-5 x=2
(2)8x-2(3x-1)=8 x=3
P5
篮球一直是大家热爱的运动之一,阿豪在一场NBA篮球比赛中,投进2分球或3分球共16球,总共得到38分。
你知道阿豪投进了2分球与3分球各多少个吗?
P6
1-1二元一次方程式
1.二元一次式
2.二元一次式的化简
3.二元一次方程式
1二元一次式
对应能力指标7-a-06
在第一册第3章的一元一次方程式中,已学过根据题意列出含有x的一次式。
例如:
买每个25元的面包x个,一共需付25x元。
现在我们要学习含有两个未知数(如x、y)的一次式,例如:
买每个25元的面包x个和每瓶18元的果汁y瓶,一共要付(25x+18y)元。
例1 列二元一次式 搭配习作P4基础题1
志宏为了响应爱心活动,想要将扑满中的拾元及伍元硬币全部捐出来。
如果拾元硬币有x枚,伍元硬币有y枚,则志宏总共捐出多少元?
解
拾元硬币有x枚,共10x元;
伍元硬币有y枚,共5y元;
所以志宏总共捐出(10x+5y)元。
随堂练习
心怡买每张15元的卡片x张及每张12元的卡片y张,回答下列问题:
(1)买15元的卡片x张需 15x 元,12元的卡片y张需 12y 元。
(2)心怡共付 15x+12y 元。
P7
例2 列二元一次式 搭配习作P4基础题1
一桶5000毫升的水,倒满每杯容量x毫升的杯子3杯,及每杯容量y毫升的杯子5杯后,桶内剩下多少毫升的水?
解一逐一减去先后倒出的量
倒满每杯容量x毫升的杯子3杯,就是倒出了3x毫升的水;
5000-3x-5y与
5000-(3x+5y)
两个式子代表的水量相等。
倒满每杯容量y毫升的杯子5杯,就是倒出了5y毫升的水;
所以桶内剩下(5000-3x-5y)毫升的水。
解二一次减去全部倒出的量
因为分别倒出了3x毫升及5y毫升的水,
也就是共倒出(3x+5y)毫升的水,
所以桶内剩下5000-(3x+5y)毫升的水。
随堂练习
1.志忠有83元,买文具花掉了x枚壹元硬币与y枚拾元硬币,则志忠剩下
83-x-10y 元。
2.佩君有200元,买了每枝x元的原子笔2枝与每枝y元的铅笔3枝后,剩下
200-2x-3y 元。
在例题1与例题2中,像10x+5y、5000-3x-5y这种只含有两种文字符号(二元),且这两种文字符号的最高次方都是一次的式子,称为二元一次式。
例题1中,志宏捐出x枚拾元硬币,y枚伍元硬币,总共捐出(10x+5y)元。
如果捐出的硬币中,拾元硬币有64枚及伍元硬币有17枚,即表示x=64,y=17,所以总共捐出10x+5y=10×64+5×17=640+85=725(元)。
由上面的说明,可以发现二元一次式的值,须由x与y分别所代表的数为多少来决定。
P8
例3 代入求值 搭配习作P4基础题2
依据下列各小题的x、y值,分别求出二元一次式3x-4y的值。
(1)x=5,y=2
(2)x=-2,y=3
(3)x=-
,y=-
解
(1)当x=5,y=2时,
3x-4y=3×5-4×2
=15-8
=7
(2)当x=-2,y=3时,
3x-4y=3×(-2)-4×3
=(-6)-12
=-18
(3)当x=-
,y=-
时,
3x-4y=3×(-
)-4×(-
)
=(-2)+10
=8
也可以用表格的方式来呈现例题3,如下表:
x
5
-2
-
y
二元一次式
2
3
-
3x-4y
7
-18
8
随堂练习
在下表空格中,填入各二元一次式的值。
x
1
2
0
-
y
二元一次式
3
-1
-2.5
x+4y
13
-2
-10
3x-5y-2
-14
9
10.5
-16
P9
2二元一次式的化简 对应能力指标7-a-06
学习二元一次式时,同类项须先合并化简,如果含有不同文字符号就不是同类项,是不能合并的。
例如:
(1)2x+3x中,2x与3x是同类项,可以合并为5x。
(2)25x+18y中,25x与18y不是同类项,所以不能合并。
例4 合并同类项 搭配习作P4基础题3
(1)
化简下列各式:
(1)2x+2y+4x+y
(2)3x-4y+9+5x+y-7
解
(1)2x+2y+4x+y
=2x+4x+2y+y ←2x与4x为同类项,2y与y为同类项。
=6x+3y ←6x与3y不是同类项,不能再合并。
(2)3x-4y+9+5x+y-7
=3x+5x-4y+y+9-7
=8x-3y+2
随堂练习
化简下列各式:
(1)x+4y-3x+2
解
=-2x+4y+2
(2)5x-6y-4-6x-2y+4
解
=-x-8y
P10
例5 去括号再合并 搭配习作P4基础题3
(2)
化简下列各式:
(1)(2x+4y-5)+(4x-5y+6)
(2)2(3x-y+9)+3(x-2y-5)
解
(1)(2x+4y-5)+(4x-5y+6)
=2x+4y-5+4x-5y+6
=6x-y+1
(2)2(3x-y+9)+3(x-2y-5)
=6x-2y+18+3x-6y-15
=9x-8y+3
随堂练习
化简下列各式:
(1)(4x-5y-9)+(3x+4y-8)
解
=7x-y-17
(2)4(-2x+y+3)+3(x-2y-5)
解
=-5x-2y-3
例题5的第
(1)小题,也可以将同类项上下对齐,用直式运算:
2x
+4y
-5
+)
4x
-5y
+6
6x
-y
+1
↑
↑
↑
(2x+4x)
〔4y+(-5y)〕
〔(-5)+6〕
随堂练习 搭配习作P5基础题3(3)
化简下列各式:
(1)
(2)
解
7x
-y
+5
解
3x
-5y
-7
+)
3x
-5y
-9
+)
-x
+8y
+8
10x
-6y
-4
2x
+3y
+1
P11
例6 去括号再合并 搭配习作P5基础题3(5)、(6)
化简下列各式:
(1)(3x-2y-1)-(2x+y-3)
(2)
(2x-y+2)-
(3x+y+6)
解
(1)(3x-2y-1)-(2x+y-3)
=3x-2y-1-2x-y+3
=x-3y+2
(2)
(2x-y+2)-
(3x+y+6)
=3x-
y+3-x-
y-2
=2x-
y+1
随堂练习
化简下列各式:
(1)(5x+2y-8)-(2x-4y+3)
解
=3x+6y-11
(2)
(2x-6y+3)-
(3x+5y-1)
解
=-4x-9y+
例题6的第
(1)小题中,也可以将同类项上下对齐,用直式运算:
3x
-2y
-1
+)
2x
+y
-3
x
-3y
+2
↑
↑
↑
(3x-2x)
〔(-2y)-y〕
〔(-1)-(-3)〕
随堂练习 搭配习作P5基础题3(4)
化简下列各式:
解
(1)
3x
-5y
+2
(2)
-2x
+5y
-7
-)
6x
-2y
-7
-)
4x
-y
-9
-3x
-3y
+9
-6x
+6y
+2
P12
3二元一次方程式 对应能力指标7-a-06
现在练习将一个二元一次式进一步列成含等号的式子。
例如:
可晴买了每个25元的面包x个和每瓶18元的果汁y瓶,共花了147元。
可列得等式:
25x+18y=147
一桶5000毫升的水,倒满每杯容量x毫升的杯子3杯,及每杯容量y毫升的杯子5杯后,桶内还剩2000毫升的水。
可列得等式:
5000-3x-5y=2000
像25x+18y=147和5000-3x-5y=2000这种含有两种未知数,且这两种未知数的最高次方都是一次的等式,称为二元一次方程式。
随堂练习
根据下列各问题,列出二元一次方程式︰
(1)佳怡买了每枝15元的铅笔x枝及每个12元的橡皮擦y个,一共花了120元。
可列出二元一次方程式:
15x+12y=120 。
(2)建成有83元,买文具花了x枚壹元硬币和y枚拾元硬币后,还剩下21元。
可列出二元一次方程式:
83-x-10y=21或83-(x+10y)=21 。
当二元一次方程式中的未知数(例如:
x与y),以一组特定的数代入,可使等号左右两边的值相等时,称该组x、y所代表的数为此方程式的一组解。
例如:
判别
(1)x=3,y=4、
(2)x=1,y=2,是否为二元一次方程式5x+8y=47的一组解
x、y的值
5x+8y的值
是否为解
x=3,y=4
5×3+8×4=47
是
x=1,y=2
5×1+8×2=21
否
P13
例7 解的判别 搭配习作P5基础题4
判别下列各组x、y所代表的数,是否为方程式-2x+y=3的解。
(1)x=0,y=3
(2)x=-1,y=-1
解
(1)以x=0,y=3代入时,
-2x+y=-2×0+3=3,
所以x=0,y=3是方程式-2x+y=3的一组解。
(2)以x=-1,y=-1代入时,
-2x+y=-2×(-1)+(-1)=1,不等于3,
所以x=-1,y=-1不是方程式-2x+y=3的一组解。
随堂练习
1.判别下列各组x、y所代表的数,是否为方程式-2x-3y=8的解。
(1)x=-1,y=-2
(2)x=1,y=-4(3)x=-4,y=0
解
(1)是
(2)否(3)是
2.x=2、y=-3是下列哪些二元一次方程式的解?
(复选)
(1)3x+4y=-6
(2)-5x-6y=-28(3)-3x+y=-9
解
(1)、(3)
3.已知x=1、y=a是二元一次方程式3x+2y=5的解,则a=?
解
3×1+2×a=5
2a=2
a=1
P14
例8 代入法求解 搭配习作P5基础题4
找出二元一次方程式2x+3y=12的任意四组解。
解
假设x是一个特定的数,代入2x+3y=12求y。
(1)x=0代入2x+3y=12
得2×0+3y=12
3y=12
y=4
(2)x=1代入2x+3y=12
得2×1+3y=12
3y=10
y=
(3)x=2代入2x+3y=12
得2×2+3y=12
3y=8
y=
(4)x=3代入2x+3y=12,
得2×3+3y=12
3y=6
y=2
因此
(1)x=0,y=4
(2)x=1,y=
(3)x=2,y=
(4)x=3,y=2
为方程式2x+3y=12的四组解。
在上述的解法中,也可以假设y是一个特定的数,代入方程式中求x的值。
P15
随堂练习
1.小星求二元一次方程式2x-y=8的解,他选定四个x值与四个y值。
完成下列两个表格,使各组x、y的值是此方程式的解。
x
0
1
2
3
……
y
-8
-6
-4
-2
……
x
4
5
……
y
0
1
2
3
……
2.在下列空格中填入适当的数,使x、y的值是二元一次方程式3x-y=12
的解。
x
4
3
5
6
y
0
-3
3
4
5
6
当x继续以4、5、6、……依序代入随堂练习第1题的方程式时,y的值都能由方程式求得。
同理,当y继续以4、5、6、……依序代入随堂练习第1题的方程式时,也都能由方程式求得x的值。
事实上,将x以任意数代入二元一次方程式时,都可以求得y值;将y以任意数代入二元一次方程式时,都可以求得x值。
因此可知,一个二元一次方程式的解有无限多组。
P16
例9 非负整数解的应用 搭配习作P5基础题4
七年5班上课时进行分组教学,每组6人或4人,其中6人一组的有x组,4人一组的有y组。
已知学生共有30人,写出所有分组的方法。
解
依题意可列得方程式6x+4y=30,并化简为3x+2y=15。
因为x、y都代表组数,所以x与y为正整数或0。
因此方程式中,x以0、1、2、3、……依序代入,
解得y后,再检查y是否也符合正整数或0的条件,如下表。
x
0
1
2
3
4
5
6
……
y
6
3
0
-
负数
检查
不合
合
不合
合
不合
合
不合
不合
由上表可知符合条件的解为:
(1)x=1,y=6,表示6人的有1组,4人的有6组,
(2)x=3,y=3,表示6人的有3组,4人的有3组,
(3)x=5,y=0,每组都是6人,共有5组。
随堂练习
小琳买两种卡片共花了75元,其中有每张10元的卡片x张、15元的卡片y张。
小琳可能买了几张10元的卡片?
(两种都要买)
解
依题意可列得方程式10x+15y=75,并化简为2x+3y=15。
x
6
3
0
-
负数
y
1
2
3
4
5
6
……
检查
合
不合
合
不合
不合
不合
不合
由上表可知,小琳可能买了3张或6张10元的卡片。
由例题9与随堂练习可知,一个二元一次方程式虽然有无限多组解,但是如果加上条件的限制,会影响该方程式的解。
P17
重点回顾
1.二元一次式:
只含有两种代表数的文字符号,且这两种文字符号的最高次方都是一次的式子,称为二元一次式。
-2x+y-5、x-3y皆为二元一次式。
2.项的合并:
式子做加减运算时,必须是同类项才能合并。
x、3x是同类项,2y、3y是同类项,x、2y不是同类项。
因此(x+2y+1)+(3x+3y+5)可以合并成
(x+3x)+(2y+3y)+(1+5)
=4x+5y+6
3.二元一次方程式:
只含有两种未知数,且这两种未知数的最高次方都是一次的等式,称为二元一次方程式。
3x-7y=5、8x=3y皆为二元一次方程式。
4.二元一次方程式的解:
(1)二元一次方程式中的未知数(例如:
x与y),如果以一组特定的数代入,可使其等号左右两边的值相等,便称该组x、y所代表的数为此方程式的一组解。
(2)一个二元一次方程式虽然有无限多组解,但是如果加上条件的限制,会影响该方程式的解。
P18
1-1自我评量
1.小莉与家人聚餐,共点了每份100元的一号餐x份和每份150元的二号餐y份,则一共花了 100x+150y 元。
课P6〜7例1、例2
2.小虹带400元,到夜市买了每个x元的发饰3个与每双2y元的袜子5双,则小虹还剩下 400-3x-10y 元。
课P6〜7例1、例2
3.在下表的空格中,填入各二元一次式的值。
课P8例3
x
1
3
0
-0.4
y
二元一次式
-1
0
-
1
-5x+3y+8
0
-7
7
13
-3x+5y
-8
-9
-
6.2
4.化简下列各式:
课P9〜11例4〜例6
(1)-5x+y-8-4y-3+9x
解
=4x-3y-11
(2)-(-x+2y-4)
解
=x-2y+4
P19
(3)3(2x-y+5)-2(4x+y-1)
解
=-2x-5y+17
(4)
(x+2y-4)+
(3x-y+5)
解
=
x+
y-
(5)
(6)
解
3x
+5y
-12
解
5x
-3y
+8
-)
2x
-7y
-6
-)
9x
-7y
-5
5x
-2y
-18
-4x
+4y
+13
课P13、14例7、例8
5.下列哪几组x、y所代表的数是方程式3x-4y=-2的解?
(复选)
(1)x=-2,y=-2
(2)x=2.4,y=1.3
(3)x=0,y=
(4)x=-
,y=-
解
(3)、(4)
6.已知x=3,y=4是方程式ax-
y=1的解,求a的值。
解课P13、14例7、例8
a×3-
×4=1
3a-6=1
3a=7
a=
答:
a=
。
7.已知协志买每枝20元的原子笔x枝和每枝30元的荧光笔y枝,两种都有买,且一共花了160元。
则:
课P16例9
(1)依题意可列得二元一次方程式:
20x+30y=160 。
(2)协志可能买几枝原子笔?
(A)
(A)5枝 (B)6枝 (C)7枝 (D)8枝
解
x
6.5
5
3.5
2
0.5
-1
(作法仅供参考)
y
1
2
3
4
5
6
检查
不合
合
不合
合
不合
不合
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