北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程110.docx
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北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程110
第二章一元二次方程
单元教材内容分析:
1、了解方程的简单分类。
2、掌握一元二次方程的一般形式,会应用多种方法解一元二次方程
重点要掌握公式法和因式分解法。
3、会用一元二次方程解决生活中的实际问题。
单元教学目标:
1、掌握一元二次方程的一般形式,会应用多种方法解一元二次方程。
2、会用一元二次方程解决生活中的实际问题
单元重点难点:
1、掌握一元二次方程的一般形式。
2、重点要掌握公式法和因式分解法解一元二次方程。
3、会用一元二次方程解决生活中的实际问题(不合题意,舍去)
课时目录
第一课时2.1花边有多宽
(一)2
第二课时2.1花边有多宽
(二)4
第三课时2.2配方法
(一)6
第四课时2.2配方法
(二)7
第五课时2.2配方法(三)8
第六课时2.3公式法10
第七课时2.4分解因式法11
第八课时2.5为什么是0.618
(1)13
第九课时2.5为什么是0.618
(2)15
第十课时一元二次方程的复习16
第一课时2.1花边有多宽
(一)
教学内容:
花边有多宽
(一)
教学目标:
1、理解并掌握一元二次方程的有关概念.
2、经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,掌握一元二次方程的一般形式,能够找到a、b、c。
教学重点及难点:
重点、一元二次方程的概念。
(特别地a≠0)
难点、一元二次方程的一般形式(abc的含义)
教具及多媒体使用准备:
多媒体课件
学情分析:
对于方程见得多,解得多,容易理解,但对于一元二次方程的概念要从多方理解和认识。
特别是二次项的系数a的认识。
教学过程:
创设情景、引入新课(阅读课本):
我们学过黄金分割,知道黄金比是多少吗?
知道黄金比为什么是0.618吗?
我们来学习能解决这些问题的知识:
一元二次方程.
讲授新课
问题一:
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?
如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m,宽为(5-2x)m,根据题意,可得方程(8-2x)(5-2x)=18
问题二:
观察下面等式102+112+122=132+142.你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
方法一:
如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面的四个数该如何表示呢?
如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.则可得到方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.
方法二:
也可以设中间的那个数为x,那么其余四个数依次为x-2,x-1,x+1,x+2,由此也可得方程(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2
这个问题可以有不同的设未知数的方法,同学们可灵活设未知数,即可设这五个数中的任意一个,其他四个数可随之变化.
问题三:
来看一个实际问题如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?
分析:
墙与地面是垂直的,因而墙、地面和梯子构成了直角三角形.已知梯子的长为10m,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,所以由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙有6m.
设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m,根据题意,利用勾股定理,可得方程.(x+6)2+(8-1)2=102,即(x+6)2+72=102.
由上面三个问题,我们可以得到三个方程:
(8-2x)(5-2x)=18,
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,
(x+6)2+72=102.
这三个方程有什么共同特点?
三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程,称为整式方程,如:
我们学习过的一元一次方程,二元一次方程等都是整式方程.这三个方程还都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程我们叫做一元二次方程,即只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
注意:
1.一元二次方程必须同时满足以下三点;
(1)方程是整式方程.
(2)它只含有一个未知数.
(3)未知数的最高次数是2,即化简为ax2+bx+c=0时,a≠0.
2.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分,不可漏掉,否则就不是一元二次方程了.
任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式,所以我们把ax2+bx+c=O(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项,a、b分别称为二次项系数和一次项系数.
注意:
(1)当一个方程是一元二次方程时,则隐含了条件:
a≠0.
(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式.
Ⅲ.应用、深化
1.把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解:
方程(3x+2)2=4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32=0.
方程的二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.
Ⅳ.课时小结
1、一元二次方程的概念.
2、一元二次方程属于“整式方程”,其次,它只含有一个未知数,并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式.
3、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=O(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的。
Ⅴ.课后作业
(一)课本P49习题2.11、2
(二)1.预习内容:
P50-P52
教学反思:
第二课时2.1花边有多宽
(二)
教学内容花边有多宽
(二)
教学目标1、探索一元二次方程的解或近似解.
2、培养学生的估算意识和能力.
3、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力.
4、通过师生的共同活动,激发学生探求知识的欲望,从而加强学生估算意识和能力的培养
教学重点及难点重点:
探索一元二次方程的解或近似解.
难点:
培养学生的估算能力(怎样估值)
教具及多媒体使用准备多媒体课件
学情分析:
对于求近似值,学生从未有过这样的经验,教师必须要进行引导分析,并示范求解。
教学过程
I.创设情景,引入新课
大家来回忆一下,一元二次方程的有关概念.
只含有一个未知数并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(a、b、c为常数,a≠0).
其中ax2称为二次项,bx称为一次项,c为常数项;a和b分别称为二次项系数和一次项系数.
例:
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如下图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?
Ⅱ.讲授新课
我们设花边的宽度为xm,那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m,宽为(5-2x)m.根据题意,就得到方程(8-2x)(5-2x)=18.
可以把它化为2x2-13x+11=0.由此可知:
只要求出2x2-13x+11=0的解,那么地毯花边的宽度即可求出.如何求呢?
完成下表:
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
11
4.75
0
-4
-7
-9
由上面的讨论可以知道:
当x=1时,2x2-13x+11=0,正好与右边的值相等.所以由此可知:
x=1是方程2x2-13x+11=0的解,从而得知;地毯花边的宽为1m.
例:
如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?
设梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102.
把这个方程化为一般形式为x2+12x-15=0.
那么你知道梯子底端滑动的距离是多少吗?
即你能求出x吗?
同学们来做一做.1.小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗?
为什么?
2.底端滑动的距离可能是2m吗?
可能是3m吗?
为什么?
3.你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
4.x的整数部分是几?
十分位是几?
因为梯子滑动的距离是正值,所以我选取了一些值,列表如下:
x
0
1
2
3
4
x2+12x-15
-15
-2
13
30
49
由表中可知,当x=1,x=2时,x2+12x-15的值分别为-2,13,而0介于负数和正数之间,所以猜测x的大致范围是在1和2之间.
由刚才的讨论可知:
x的大致范围是在1和2之间,所以x的整数部分是1.在1和2之间取了一些值,如下表:
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
5.25
6.76
8.29
由表中可知:
x在1.1和1.2之间,所以x的十分位是1.
所以1.1 Ⅲ.课堂练习 课本P51随堂练习 1.五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方和,你能求出这五个整数分别是多少吗? 解: 设五个连续整数中的第一个数为x,则根据题意,可得方程 x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2. 把它化为一般形式: x2-8x-20=0.可列表如下: x -1 -2 -3 … 9 10 11 x2-8x-20 -11 0 12 … -11 0 13 所以x=-2或x=10. 因此,这五个连续整数依次为-2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14. Ⅳ.课时小结 本节课我们通过解决实际问题,探索了一元二次方程的解或近似解,并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想. Ⅴ.课后作业 (一)课本P51习题2.21、2 (二)1.预习内容: P47~P48 (1)复习完全平方公式 (2)会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 教学反思 第三课时2.2配方法 (一) 教学内容: 配方法 (一) 教学目标1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程; 2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 3、体会转化的数学思想,用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程。 教学重点及难点: 1、完全平方公式的特点2、平方根的性质 3、配方的基本要求是什么。 教具及多媒体使用准备: 多媒体课件 学情分析: 完全平方公式已学习过,本节的重点是要逆用它,并要熟练应用平方根的性质,实为旧知识的巩固和引申,同时要注意书写格式。 教学过程 一、复习: 1、解下列方程: (1)x2=9 (2)(x+2)2=16 2、什么是完全平方式? 其特点是什么? 利用公式计算: (1)(x+6)2 (2)(x- )2 二、新授: 1、解方程: x2+12x-15=0,我们感到有困难,是否将方程转化为第1题的方程的形式呢? 2、解方程的基本思路(配方法) x2+12x-15=0转化为(x+6)2=51(这是怎样变化而来的? 学生思考) 两边开平方,得x+6=± ∴x1= ―6x2=― ―6(不合实际) 因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边开平方便可求出它的根。 3、配方: 填上适当的数,使下列等式成立: (1)x2+12x+=(x+6)2 (2)x2―12x+=(x―)2 (3)x2+8x+=(x+)2 从上可知: 常数项配上一次项系数的一半的平方。 4、讲解例题: 例1: 解方程: x2+8x―9=0 分析: 先把它变成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解。 解: 移项,得: x2+8x=9 配方,得: x2+8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方) 即: (x+4)2=25 开平方,得: x+4=±5 即: x+4=5,或x+4=―5 所以: x1=1,x2=―9 5、配方法: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。 三、巩固练习: P55,随堂练习: 1 四、小结: (1)什么叫配方法? (2)配方法的基本思路是什么? (3)怎样配方? 五、作业: P55习题2.31、2 教学反思 第四课时2.2配方法 (二) 教学内容: 配方法 (二) 教学目标: 1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。 2、进一步理解配方法的解题思路。 教学重点及难点: 1、用配方法解一元二次方程的思路;给方程配方。 2、怎样把二次项系数化为1,如何配一次项系数一半的平方 教具及多媒体使用准备: 多媒体课件 学情分析: 完全平方公式已学习过,本节的重点仍是要逆用它,怎样把二次项系数化为1,如何配一次项系数一半的平方,要注意书写格式。 教学过程 一、复习: 1、什么叫配方法? 2、怎样配方? 方程两边同加上一次项系数一半的平方。 3、解方程: (1)x2+4x+3=0 (2)x2―4x+2=0 二、新授: 1、例题讲析: 例3: 解方程: 3x2+8x―3=0 分析: 将二次项系数化为1后,用配方法解方程。 (二次项的系数怎样化为1? ) 解: 两边都除以3,得: x2+ x―1=0 移项,得: x2+ x=1 配方,得: x2+ x+( )2=1+( )2(方程两边都加上一次项系数一半的平方)(x+ )2=( )2 即: x+ =± 所以x1= ,x2=―3 2、用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把二次项系数化为1; (2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。 (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 (4)用直接开平方法求出方程的根。 3、做一做: 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系: h=15t―5t2小球何时能达到10m高? 三、巩固: 练习: P57,随堂练习: 1 四、小结: 用配方法解一元二次方程的步骤: (1)化二次项系数为1; (2)移项;(3)配方: (4)求根。 五、作业: P58,习题2.41、 教学反思 第五课时2.2配方法(三) 教学内容: 配方法(三) 教学目标: 1、经历到方程解决实际,问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,培养学生数学应用的意识和能力; 2、进一步掌握用配方法解题的技能 教学重点及难点: 1、怎样列一元二次方程解方程。 2、用配方法正确求解。 教具及多媒体使用准备: 多媒体课件 学情分析: 在熟悉了用配方法解方程后,就可以加强练习,并适当用它解决生活中的实际问题。 教学过程 一、复习: 1、配方: (1)x2―3x+=(x―)2 (2)x2―5x+=(x―)2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么? 3、用配方法解下列一元二次方程? (1)3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0 二、引入课题: 我们已经学习了用配方法解一元二次方程,在生产生活中常遇到一些问题,需要用一元二次方程来解答,课本第54页,阅读课本,并思考: 三、例题分析: 1、如图所示: (1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程? (16-2x)(12-2x)= ×16×12 (2)一元二次方程的解是什么? x1=2x2=12 (3)这两个解都合要求吗? 为什么? x1=2符合要求,x2=12不符合要求,因荒地的宽为12m,小路的宽不可能为12m,它必须小于荒地宽的一半。 2、设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程? x2π= ×12×16 (2)一元二次方程的解是什么? X1= ≈5.5X2≈-5.5 (3)合符条件的解是多少? 为什么? X1=5.5 3、你还有其他设计方案吗? 请设计出来与同伴交流。 (1)花园为菱形? (2)花园为圆形(3)花园为三角形? (4)花园为梯形 四、练习: P62随堂练习 五、小结: 1、本节内容的设计方案不只一种,只要合符条件即可。 2、设计方案时,关键是列一元二次方程。 3、一元二次方程的解一般有两个,要根据实际情况舍去不合题意的解。 六、作业: P62,习题2.5,1、2 教学反思: 第六课时2.3公式法 教学内容: 2.3公式法 教学目标: 1、知识与技能目标: 能够根据方程的各项系数,判断出方程的根的情况并能正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程。 2、过程与方法目标: 在教师的指导下,经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式,培养学生的合情推理与归纳总结的能力。 3、情感与态度目标: 在自主探究与合作交流的过程中,激发学生的求知欲,进一步发展学生合作交流的意识和能力。 教学重点及难点: 重点: 正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力。 难点: 正确地推导出一元二次方程的求根公式,理解b2-4ac对一元二次方程根的影响。 教具及多媒体使用准备: 学情分析: 这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识,亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理技能和逻辑思维能力;进一步发展学生合作交流的意识和能力.帮助学生形成积极主动的求知能力。 教学过程: 一、复习引入 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些? 2、用配方法解方程: x2-7x-18=0。 二、新授: 1、推导求根公式: ax2+bx+c=0(a≠0) 解: 方程两边都作以a,得x2+ x+ =0 移项,得: x2+ x=- 配方,得: x2+ x+( )2=- +( )2 即: (x+ )2= ∵a≠0,所以4a2>0 当b2-4ac≥0时,得 x+ =± =± ∴x= 一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2-4ac≥0时,它的根是x= 注意: 当b2-4ac<0时,一元二次方程无实数根。 2、公式法: 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3、例题讲析: 例1: 解方程: x2-7x-18=0 解: 这里a=1,b=-7,c=-18 ∵b2-4ac=(-7)2―4×1×(-18)=121>0 ∴x= 即: x1=9,x2=-2 例2: 解方程: 2x2+7x=4 解: 移项,得2x2+7x-4=0 这里,a=1,b=7,c=-4 ∵b2-4ac=72―4×1×(-4)=81>0 ∴x= = 即: x1= x2=-4 三、巩固练习: 1.P65随堂练习: 1、2 四、小结: (1)求根公式: x= (b2-4ac≥0) (2)利用求根公式解一元二次方程的步骤 五、作业: 1.P66习题2.61、2、3 2.预习内容: P67~P69 教学反思: 第七课时2.4分解因式法 教学内容: 2.4分解因式法 教学目标: 1.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。 体会解决问题方法的多样性。 2.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。 教学重点及难点: 重点: 解因式法解一元二次方程。 难点: 用分解因式法解一元二次方程。 教具及多媒体使用准备: 学情分析: 教学过程: 一、回顾交流 1、用两种不同的方法解下列一元二次方程。 1.5x2-2x-1=0 2.10(x+1)2-25(x+1)+10=0 观察比较: 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗? 如果相等,这个数是几? 你是怎样求出来的? 分析小颖、小明、小亮的解法: P67 小颖: 用公式法解正确; 小明: 两边约去x,是非同解变形,结果丢掉一根,错误。 小亮: 利用“如果ab=0,那么a=0或b=0”来求解,正确。 分解因式法: 利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。 因式分解法的理论根据是: 如果两个因式的积等于零,那么这两个因式至少有一个等于零.如: 若(x+2)(x-3)=0,那么x+2=0或.x-3=0;反之,若x+2=0或x-3=0,则一定有(x+2)(x-3)=0.这就是说,解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2=0或x-3=0. 二、范例学习 例1解下列方程。 1.5x2=4x 2.x-2=x(x-2) 想一想 你能用几种方法解方程x2-4=0,(x+1)2-25=0。 三、随堂练习 1.P69P621、2 2.习题2.7 1、 3.[拓展题] 分解因式法解方程: x3-4x2=0。 四、课堂小结 利用因式分解法解一元二次方程,能否分解是关键,因此,要熟练掌握因式分解的知识,通过提高因式分解的能力,来提高用分解因式法解方程的能力,在使用因式分解法时,先考虑有无公因式,如果没有再考虑公式法。 五、布置作业 1.P69习题2.7 2 2.用分解因式法解: (1)(2x-5)2-2x+5=0; (2)4(2x-1)2=9(x+4)2; (3)(x-1)(x+3)=12. 教学反思: 第八课时2.5为什么是0.618 (1) 教学内容: 2.5为什么是0.618 (1) 教学目标: 1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。 2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。 教学重点及难点: 重点: 掌握运用方程解决实际问题的方法。 难点: 建立方程模型。 教具及多媒体使用准备: 学情分析: 教学过程: 一、回顾交流 [课堂小测] 1、用适当的方法解一元二次方程。 (1)5x(x-3)=21-7x (2)9(x- ) =4(2x+1) (3)2x -5x+1=0(4)3x +7x+2=0 2、问题情境: 同学们还记得黄金分割吗? 你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗? 与同伴交流。 如图,如果 ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点。 3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解? 二、范例学习 由 = ,得AC2=AB·CB 设AB=1,AC=x,则CB=1-x ∴x2=1×(1-x)即: x2+x-1=0 解这个方程
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