高二数学归纳推理综合测试题含答案.docx
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高二数学归纳推理综合测试题含答案
高二数学归纳推理综合测试题(含答案)
选修2-22.1.1第1课时归纳推理
一、选择题
1.关于归纳推理,下列说法正确的是()
A.归纳推理是一般到一般的推理
B.归纳推理是一般到个别的推理
C.归纳推理的结论一定是正确的
D.归纳推理的结论是或然性的
答案]D
解析]归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选D.
2.下列推理是归纳推理的是()
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
答案]B
解析]由归纳推理的定义知B是归纳推理,故应选B.
3.数列{an}:
2,5,11,20,x,47,…中的x等于()
A.28
B.32
C.33
D.27
答案]B
解析]因为5-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3,猜测x-20=3×4,47-x=3×5,推知x=32.故应选B.
4.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则猜想an是()
A.2n-2-12
B.2n-2
C.2n-1+1
D.2n+1-4
答案]B
解析]∵a1=0=21-2,
∴a2=2a1+2=2=22-2,
a3=2a2+2=4+2=6=23-2,
a4=2a3+2=12+2=14=24-2,
……
猜想an=2n-2.
故应选B.
5.某人为了观看2012年奥运会,从2005年起,每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2012年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为()
A.a(1+p)7
B.a(1+p)8
C.ap(1+p)7-(1+p)]
D.ap(1+p)8-(1+p)]
答案]D
解析]到2006年5月10日存款及利息为a(1+p).
到2007年5月10日存款及利息为
a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a(1+p)2+(1+p)]
到2008年5月10日存款及利息为
a(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)
=a(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]
……
所以到2012年5月10日存款及利息为
a(1+p)7+(1+p)6+…+(1+p)]
=a(1+p)1-(1+p)7]1-(1+p)
=ap(1+p)8-(1+p)].
故应选D.
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于()
A.2(n+1)2
B.2n(n+1)
C.22n-1
D.22n-1
答案]B
解析]因为Sn=n2an,a1=1,
所以S2=4a2=a1+a2⇒a2=13=23×2,
S3=9a3=a1+a2+a3⇒a3=a1+a28=16=24×3,
S4=16a4=a1+a2+a3+a4
⇒a4=a1+a2+a315=110=25×4.
所以猜想an=2n(n+1),故应选B.
7.n个连续自然数按规律排列下表:
根据规律,从2010到2012箭头的方向依次为()
A.↓→
B.→↑
C.↑→
D.→↓
答案]C
解析]观察特例的规律知:
位置相同的数字都是以4为公差的等差数列,由234可知从2010到2012为↑→,故应选C.
8.(2010•山东文,10)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:
若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
答案]D
解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,
∴g(-x)=-g(x),选D,体现了对学生观察能力,概括归纳推理的能力的考查.
9.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于()
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
…
A.1111110
B.1111111
C.1111112
D.1111113
答案]B
解析]根据规律应为7个1,故应选B.
10.把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图),
试求第七个三角形数是()
A.27
B.28
C.29
D.30
答案]B
解析]观察归纳可知第n个三角形数共有点数:
1+2+3+4+…+n=n(n+1)2个,∴第七个三角形数为7×(7+1)2=28.
二、填空题
11.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:
第4个图形中,火柴杆有________根;第n个图形中,火柴杆有________根.
答案]13,3n+1
解析]第一个图形有4根,第2个图形有7根,第3个图形有10根,第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n+1根.
12.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中,可得一般规律是__________________.
答案]n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
解析]第1式有1个数,第2式有3个数相加,第3式有5个数相加,故猜想第n个式子有2n-1个数相加,且第n个式子的第一个加数为n,每数增加1,共有2n-1个数相加,故第n个式子为:
n+(n+1)+(n+2)+…+{n+(2n-1)-1]}
=(2n-1)2,
即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
13.观察下图中各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个圆圈,每个图案中圆圈的总数是S,按此规律推出S与n的关系式为________.
答案]S=4(n-1)(n≥2)
解析]每条边上有2个圆圈时共有S=4个;每条边上有3个圆圈时,共有S=8个;每条边上有4个圆圈时,共有S=12个.可见每条边上增加一个点,则S增加4,∴S与n的关系为S=4(n-1)(n≥2).
14.(2009•浙江理,15)观察下列等式:
C15+C55=23-2,
C19+C59+C99=27+23,
C113+C513+C913+C1313=211-25,
C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27,
……
由以上等式推测到一个一般的结论:
对于n∈N*,C14n+1+C54n+1+C94n+1+…+C4n+14n+1=__________________.
答案]24n-1+(-1)n22n-1
解析]本小题主要考查归纳推理的能力
等式右端第一项指数3,7,11,15,…构成的数列通项公式为an=4n-1,第二项指数1,3,5,7,…的通项公式bn=2n-1,两项中间等号正、负相间出现,∴右端=24n-1+(-1)n22n-1.
三、解答题
15.在△ABC中,不等式1A+1B+1C≥9π成立,
在四边形ABCD中,不等式1A+1B+1C+1D≥162π成立,
在五边形ABCDE中,不等式1A+1B+1C+1D+1E≥253π成立,猜想在n边形A1A2…An中,有怎样的不等式成立?
解析]根据已知特殊的数值:
9π、162π、253π,…,总结归纳出一般性的规律:
n2(n-2)π(n≥3).
∴在n边形A1A2…An中:
1A1+1A2+…+1An≥n2(n-2)π(n≥3).
16.下图中
(1)、
(2)、(3)、(4)为四个平面图.数一数每个平面图各有多少个顶点?
多少条边?
它们围成了多少个区域?
并将结果填入下表中.
平面区域顶点数边数区域数
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
(2)现已知某个平面图有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图有多少条边?
解析]各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表:
平面区域顶点数边数区域数关系
(1)3323+2-3=2
(2)81268+6-12=2
(3)6956+5-9=2
(4)1015710+7-15=2
结论VEFV+F-E=2
推广999E999E=999+999-2
=1996
其顶点数V,边数E,平面区域数F满足关系式V+F-E=2.
故可猜想此平面图可能有1996条边.
17.在一容器内装有浓度为r%的溶液a升,注入浓度为p%的溶液14a升,搅匀后再倒出溶液14a升,这叫一次操作,设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%),计算b1、b2、b3,并归纳出bn的计算公式.
解析]b1=a•r100+a4•p100a+a4=110045r+15p,
b2=ab1+a4•p100a+a4=1100452r+15p+452p.
b3=a•b2+a4•p100a+a4
=1100453r+15p+452p+4253P,
∴归纳得bn=110045nr+15p+452p+…+4n-15nP.
18.设f(n)=n2+n+41,n∈N+,计算f
(1),f
(2),f(3),…,f(10)的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.
解析]f
(1)=12+1+41=43,f
(2)=22+2+41=47,
f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,
f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,
f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,
f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数.
即:
当n取任何非负整数时f(n)=n2+n+41的值为质数.
但是当n=40时,f(40)=402+40+41=1681为合数.
所以,上面由归纳推理得到的猜想不正确.
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