学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元能力达标测评附答案.docx
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学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元能力达标测评附答案
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元能力达标测评(附答案)
一.选择题(共10小题,满分30分)
1.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3,另一直角边长为9,则斜边长为( )
A.15B.12C.10D.9
2.如图,四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形,若直角三角形的较长直角边长为a,较短直角边长为b,大正方形面积为S1,小正方形面积为S2,则(a+b)2可以表示为( )
A.S1﹣S2B.S1+S2C.2S1﹣S2D.S1+2S2
3.下列各组数中,是勾股数的为( )
A.1,2,3B.4,5,6C.3,4,5D.7,8,9
4.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15cm,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )
A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.无法计算
5.在△ABC中,已知AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则△ABC的周长为( )
A.14B.42C.32D.42或32
6.如图字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12B.13C.144D.194
7.如图,方格中的点A,B称为格点(格线的交点),以AB为一边画△ABC,其中是直角三角形的格点C的个数为( )
A.3B.4C.5D.6
8.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),请观察图案,指出以下关系式中不正确的是( )
A.x2+y2=49B.x﹣y=2C.2xy+4=49D.x+y=9
9.如图,圆柱形容器中,高为1.2米,底面周长为1米,在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子.此时,一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为( )米.
A.1.3米B.1.4米C.1.5米D.1.2米
10.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2
二.填空题(共7小题,满分28分)
11.木工师傅为了让尺子经久耐用,常常在尺子的直角顶点A处与斜边BC之间加一根小木条AD.已知∠BAC=90°,AB=5dm,AC=12dm,则小木条AD的最短长度为 dm.
12.如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,则△ABD的面积是 .
13.已知甲、乙两人在同一地点出发,甲往东走4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距 km.
14.如图,有一直立旗杆,它的上部被风从点A处吹折,旗杆顶点B落地,离杆脚6米,修好后又被风吹折,因新断处点D比上一次高1米,故杆顶E着地点比上次近2米,则原旗杆的高度为 米.
15.如图所示,一棵大树高8米,一场大风过后,大树在离地面3米处折断倒下,树的顶端落在地上,则此时树的顶端离树的底部有 米.
16.将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm,高为16cm的圆柱形水杯中,则筷子露在杯子外面的最短长度为 cm.
17.如图,某校的生物园形状是一个直角三角形,∠ACB=90°,AC=40m,BC=30m.现要修建一条水渠CD,D点在边AB上,若水渠的造价为800元/m,则修建水渠CD最少要 元.
三.解答题(共6小题,满分62分)
18.如图,小颖和她的同学荡秋千,秋千AB在静止位置时,下端B′离地面0.6m,荡秋千到AB的位置时,下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m,距地面1.4m,求秋千AB的长.
19.如图,∠ABC=90°,AB=6cm,AD=24cm,BC+CD=34cm,C是直线l上一动点,请你探索当C离B多远时,△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形?
20.如图所示,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°,求四边形ABCD的面积.
21.已知:
如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=6,BC=8.
(1)求AB的长;
(2)求斜边上的高CD的长.
22.有一块等腰三角形草地,测得腰CA=CB,AB=6m,腰比底边上的高多1米,求该草坪的面积?
23.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明.将两个全等的直角三角形按如图所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:
a2+b2=c2.
参考答案
一.选择题(共10小题,满分30分)
1.解:
设斜边长为x,则一直角边长为x﹣3,
根据勾股定理得92+(x﹣3)2=x2,
解得x=15.
故选:
A.
2.解:
如图所示:
设直角三角形的斜边为c,
则S1=c2=a2+b2
S2=(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab,
∴2ab=S1﹣S2,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=S1+S1﹣S2=2S1﹣S2,
故选:
C.
3.解:
A、错误,∵12+22=5≠32=9,∴不是勾股数;
B、错误,∵42+52=41≠62=36,∴不是勾股数;
C、正确,∵32+42=25=52=25,∴是勾股数;
D、错误,∵72+82=113≠92=81,∴不是勾股数.
故选:
C.
4.解:
正方形ADEC的面积为:
AC2,
正方形BCFG的面积为:
BC2;
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,
则AC2+BC2=225cm2.
故选:
C.
5.解:
此题应分两种情况说明:
(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,
BD=9,
在Rt△ACD中,
CD=5,
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为:
15+13+14=42;
(2)当△ABC为钝角三角形时,
在Rt△ABD中,BD=9,
在Rt△ACD中,CD=5,
∴BC=9﹣5=4.
∴△ABC的周长为:
15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.
故选:
D.
6.解:
由题可知,在直角三角形中,斜边的平方=169,一直角边的平方=25,
根据勾股定理知,另一直角边平方=169﹣25=144,即字母B所代表的正方形的面积是144.
故选:
C.
7.解:
如图所示:
以AB为一边画△ABC,其中是直角三角形的格点C共有4个,
故选:
B.
8.解:
由题意
,
①﹣②可得2xy=45③,
∴2xy+4=49,
①+③得x2+2xy+y2=94,
∴(x+y)2=94,
∴选项A、B、C不符合题意,选项D符合题意.
故选:
D.
9.解:
如图:
∵高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,
此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,
∴A′D=0.5m,BD=1.2m,
∴将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A′,
连接A′B,则A′B即为最短距离,
A′B=1.3(m).
故选:
A.
10.解:
将此长方形折叠,使点B与点D重合,∴BE=ED.
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.
∴BE=9﹣AE,
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.
解得AE=4.
∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选:
C.
二.填空题(共7小题,满分28分)
11.解:
∵∠BAC=90°,AB=5dm,AC=12dm,
∴BC=13(dm),
当AD⊥BC时,AD最短,则
AD×BC=
AB×AC,
则AD=
=
=
(dm).
故答案是:
.
12.解:
延长AD到点E,使DE=AD=6,连接CE,
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
在△ABD和△CED中,
,
∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴CE=AB=5,∠BAD=∠E,
∵AE=2AD=12,CE=5,AC=13,
∴CE2+AE2=AC2,
∴∠E=90°,
∴∠BAD=90°,
即△ABD为直角三角形,
∴△ABD的面积=
AD•AB=15,
故答案为:
15.
13.解:
如图,
∵∠AOB=90°,OA=4km,OB=3km
∴AB=
=5km.
14.解:
依题意得BC=6,AD=1,CE=6﹣2=4,AB=DE+1
设原标杆的高为x米,
∵∠ACB=90°,
∴由题中条件可得BC2+AC2=AB2,即AC2+62=(x﹣AC)2,
整理,得x2﹣2ACx=36①,
同理,得(AC+1)2+42=(x﹣AC﹣1)2,
整理,得x2﹣2ACx﹣2x=16②,
由①②解得x=10,
∴原来标杆的高度为10米,
故答案为:
10.
15.解:
设此时树的顶端离树的底部有x米,由勾股定理得:
x2=(8﹣3)2﹣32=42,
解得:
x=4,x=﹣4(舍去),
答:
此时树的顶端离树的底部有4米.
故答案为:
4.
16.解:
设筷子露在杯子外面的长度为h,
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小,
如图所示:
此时,AB=20(cm),
故h=24﹣20=4(cm).
故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm.
故答案为:
4.
17.解:
当CD为斜边上的高时,CD最短,从而水渠造价最低,
∵∠ACB=90°,AC=40m,BC=30m,
∴AB=50m,
∵CD•AB=AC•BC,
即CD•50=40×30,
∴CD=24m,
此时,最低造价为19200元,
所以,CD长为24米,水渠的造价最低,其最低造价为19200元,
故答案为:
19200.
三.解答题(共6小题,满分62分)
18.解:
设AB=AB′=x,由题意可得出:
B′E=1.4﹣0.6=0.8(m),
则AE=AB﹣0.8,
在Rt△AEB中,∵AE2+BE2=AB2,
∴(x﹣0.8)2+2.42=x2
解得:
x=4,
答:
秋千AB的长为4m.
19.解:
设BC=xcm时,三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形,
∵BC+CD=34,
∴CD=34﹣x,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=36+x2,
在Rt△ACD中,AC2=CD2﹣AD2=(34﹣x)2﹣576,
∴36+x2=(34﹣x)2﹣576,
解得x=8.
∴当C离点B8cm时,△ACD是以DC为斜边的直角三角形.
20.解:
连接BD,
∵AB=3cm,AD=4cm,∠A=90°
∴BD=5cm,S△ABD=
×3×4=6cm2
又∵BD=5cm,BC=13cm,CD=12cm
∴BD2+CD2=BC2
∴∠BDC=90°
∴S△BDC=
×5×12=30cm2
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2.
21.解:
(1)由勾股定理得:
AB=10;
(2)∵Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,
∴△ABC的面积=
AB×CD=
AC×BC,
∴AB×CD=AC×BC,
∴CD=
=
=
.
22.解:
过点C作CD⊥AB于点D,
∵CA=CB
∴
,
设CD为xm,则AC=(x+1)m,
在Rt△ACD中,
AC2=CD2+AD2,
即(x+1)2=x2+33,
解得:
x=4,
∴CD=4m,
∴S△ABC=
,
∴该草坪的面积为12m2.
23.证明:
连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b﹣a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=
b2+
ab.
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=
c2+
a(b﹣a)
∴
b2+
ab=
c2+
a(b﹣a)
∴a2+b2=c2.
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