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数学思想方法的力量
数学思想方法的力量
章建跃
什么叫数学思想方法?
它有什么作用?
数学家和数学教育工作者对此有诸多论述。
通常,大家从“数学思想”和“数学方法”两个角度来阐释,认为数学思想是对数学对象的本质认识,是认识具体数学概念、命题、规律、方法等的过程中提炼概括的基本观点和根本想法,对数学活动具有普遍的指导意义,是数学活动的指导思想;数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等,是由思想转化而来的具体操作方法,可以提高效果和效率。
数学思想和数学方法是紧密联系的。
通常,在强调数学活动的指导思想时称数学思想,在强调具体操作过程时则称数学方法。
我们说,数学思想方法如根,它是发现和提出数学问题的源泉,是分析和解决数学问题的根本。
没有数学思想方法的教学,就如同一颗枯萎的树,不能生长、开花,更不能结果。
例如,大家都知道等式、不等式的基本性质“是什么”,但为什么把它们称为“基本性质”?
为什么要研究它们?
特别是,如何才能让学生自己发现这些性质?
课堂观察发现,很少有老师把这些纳入教学视野,实际上也鲜有老师去思考这些问题。
因此教学中一般都把“能用基本性质解决问题”作为目标。
我认为,这样的教学缺乏必要的数学思想,是“无根”的教学,学生学到的是没有生长力的知识,“学会思考”更是奢望。
实际上,代数学的根源在于代数运算,要研讨的是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题;引进一种新的数(量)就要定义它的运算,定义一种运算就要研究运算律;字母代表数,数满足运算律,所以关于字母的运算也满足运算律;等等。
这些就是数学教学中用来指导学生发现和解决代数问题的基本思想。
它们是宏观的,但发挥着指路明灯的作用。
例如,对字母施加运算,就要研究运算法则;由运算而得到各种代数式,就要进一步研究代数式的运算;运算结果必须保持原有代数式的意义不变,因此就要研究如何保证代数变换的等价性,而等式或不等式的基本性质保证了“运算中的不变性”。
所以,称它们为“基本性质”当之无愧,它们根源于运算,体现了运算中的不变性。
总之,代数教学中,应让学生体会到,从运算的角度入手,是发现和提出各种代数问题的“基本套路”。
我们说,数学思想方法如手,它是解决问题的直接工具。
例如,等差数列、等比数列教学中,首先是如何引导学生发现一列数具有“等差”或“等比”的特征。
通常是,举出一些数列的例子,然后问“观察上述数列,你有什么发现?
”如果没有“代数学的问题源于代数运算”的思想,就缺乏观察的角度和操作的手段,“发现规律”就成了“撞大运”。
而具备这样的思想,学生就能自觉地想到,“算一算,看看能出现什么规律”,由此而得到它们的共同特征就成为必然。
实际上,这两类数列的名称就已指明了观察的方向:
“等差”意味着“相减”(运算)——“差相等”;“等比”意味着“相除”(运算)——“比相等”。
我们说,数学思想方法如船,在没有解决问题的直接方法时,它可以助你“渡过难关”。
例如,复数源于解方程,数学史上,在《重要的艺术》(1545)中,Cardan解决了“把10分为两部分,使其乘积为40”的问题,列出的方程为x(10-x)=40,求得的根是5±
。
人们质疑,负数怎能开平方?
是“虚构的数”。
想要接受它的人就想给出几何解释,让大家实实在在地“看到”它,达到“虚数不虚”的目的。
三个世纪后,高斯等人给出了“复平面”,给出了复数及其运算的几何意义,再加上在物理学中得到应用,人们终于承认了复数。
进一步地,数学家把复数与三角、向量等联系起来,开辟了一片充满生机的数学新天地。
显然,“用图形表示复数”的思想,不仅使“虚数”渡过了“虚假”的危机,而且推动了数学的发展。
数学思想方法的力量无限,它蕴含于数学知识中,需要用心挖掘,应成为数学教与学的根、手和船。
一定要十分重视策略性知识的教学
章建跃
本期我们刊登了“中小学数学核心内容及其教学的研究”课题组的一组研究成果。
实事求是地说,这些成果还没有达到成熟的程度,但是非常值得期待的是,课题组在“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”研究基础上,进一步提出的“单元设计基础上的课堂教学设计”的研究思路,并将教学设计的研究内容扩展到中学数学教学的全部课型,特别是关于策略性知识的教学研究。
我国在世纪之交发动的中小学课程改革,基本诉求是实施素质教育,减轻学生负担,提高教学质量。
然而,课改发展到今天,人们发现应试教育愈演愈烈,学生负担越来越重,教学质量却越来越差。
这种现状,是我国社会功利化需求的体现,课程标准的不当设计也有不可推卸的责任(例如,数学的学科特性没有得到充分尊重,数学概念的逻辑体系不够重视,内容取舍有一定的随意性甚至凭某些人的个人喜好,逻辑推理和运算受到削弱等),但必须承认,我们的课堂教学确实出了问题。
其中很要害的是数学课没有把数学教好,没有把“使学生学会思考”作为最核心的教学任务,大家把大量的时间和精力都用于“题型+技巧”的训练了。
数学教学中,为了使学生掌握认识和解决问题的方法,进而“学会思考”,策略性知识的教学必须受到高度重视。
正如“第四次研讨会综述”指出的,策略性知识蕴含于数学知识体系中,在数学研究中具有“先行组织者”的作用,是研究具体问题的“指导思想”。
策略性知识的教学应该融入在日常教学中。
如何才能更好地融入呢?
除了课题组提供的一些教学设计案例外,我这里更愿意提及本期刊登的王承宣的短文“一道2012年高考题的背景探索”。
我猜想,作者是一位警官,是一位数学爱好者(看来学数学对当好警察有用),从他的文章中我们看到了策略性知识的力量。
我认为,王警官非常懂得“转化”、“特殊化”、“分类讨论”、“数形结合”等各种解决数学问题的策略,而其中最主要的是很好地应用了“从基本知识出发”的思考策略,也可以说是“复杂问题简单化”的策略。
运用这一策略,在讨论清楚二次函数y=-x2+x+c的性质后,令人生畏的“高考压轴题”变成了手到擒来的“小菜一碟”,确实令人称道。
因此,学好基础知识,并掌握一些基本的思考策略,应付高考就绰绰有余了。
我想,王警官不是教数学的,但他给我们这些教数学的人上了深刻的一课。
我们在数学课上教给了学生大量的解题技巧,学生经过模仿性训练似乎也掌握了这些技巧,但在高考考场上,真刀真枪地练的时候,他们仍然是“不知从何下手”。
什么原因呢?
显然,主要是因为我们并没有教给学生如何思考!
观过而知仁
章建跃
本期我们刊登了“提高编校质量,打造金牌品质”的读者来信,其中列举了魏强老师在阅读本刊2012年第11期时发现的问题。
看了魏老师的来信,我感到非常汗颜,甚至有些无地自容,因为其中有的错误,只要认真地读一遍稿子就很容易发现。
这里,对魏老师和广大读者诚恳地说一声对不起。
确如魏老师所言,杂志的质量,一方面是稿子的学术水平,另一方面是编校水平,只有这两个水平都高,才能称得上是高质量。
今后,我们一定在“两个水平”的提高上做出最大努力。
同时,从魏老师的来信中,我充分感受到他对本刊的厚爱和期待,而且他对编校错误也很宽容。
但作为主编,我应该为杂志的质量负责,不能文过饰非,应该“知过不讳,改过不惮”。
这是办杂志应有的基本态度,实际上也是做人、做学问应有的态度。
我想,出现错漏,客观上的原因有,当今极端功利化环境下,作者的投稿动机五花八门,有些人在写稿时确实没有做到字斟句酌,“文责自负”往往很难,但作为杂志社,我们还是要为出版物负最终的责任,应本着认真做事的态度,要做到“居之无倦,行之以忠”。
我想,有错失不可怕,“人非圣贤,孰能无过”。
关键是要懂得反省,知过,改过。
魏老师使我们“知过”,同时还给了“改过”的机会。
孔子说,“观过,斯知仁矣。
”意思是发现了错误,如果是自己的,必须进行自我反省,要做到勇于认错、勇于改错,这样才能得到真学问,才能至善至美;如果是别人的,就要反躬自问,自己是否有同样的错误,要做到“有则改之,无则加勉”,从别人的错误中吸取教训,引发“仁”的追求。
总之,“知过能改”才是智者之举,才能使自己做学问、做事情的道路越走越宽畅。
顺便还想说说我对“观过而知仁”的教育涵义的领悟。
首先,“观”就是“观察”、看出;“过”就是错误;“知”则是知道了错误的原因,并且知道了避免发生错误的方法;这样就达到了“仁”,即有了真学问。
因此,万代先师孔子告诉我们,使学生掌握学问的关键在于使他们学会“观过”,也就是学会发现错误,学会反思错误,学会分析错因,掌握避免错误的方法。
教育心理学中也有“错误是最好的学习资源”一说,相信老师们都知道这一点。
“观过而知仁”使我进一步懂得了“发挥错误的教育价值”的方法。
反观当前的数学教学,“一个定义,三项注意;几个例题,大量机械模仿练习”的做法仍很流行。
教学中都是“正面教育”,学生要做的是“按正确的方法行事”。
万一模仿出错,老师往往是“错了!
正确的做法应该是……”,并不给学生“想一想,错在哪里,为什么错,怎样改正”的机会,这就使学生失去了“观过”的时机,因此也就不可能从中获得真正的学问。
我想,这大概就是学习负担重、效果差的原因所在,也是学生只会模仿不会思考的根源!
改变现状,唯一的出路是摒弃功利化的教学行为,给学生“观过”的机会,还学生自我反思的空间和时间,促使学生随时随地地思考,随时随地地实践,随时随地地体验,这才是发挥数学的育人价值的正道,才能实现学会学习、学会做人、学会做事的教育目标。
数学教学的取势明道优术
章建跃
数学教学中的“取势,明道,优术”,意指教师要顺应数学教改的潮流;懂得数学育人的原则,掌握提高数学教学质量的规律;提高教育教学能力,优化数学教学方法。
只有这样,才能使自己的教师专业化发展不断取得进步。
孙子云,“势者,因利而制权也。
”这里,“势”是方向,“取势”则是“顺势而为”。
善教数学者,首先要能“谋势而动,因势利导”。
那么,数学教育发展的大势是什么?
我认为,回归数学教育的本来面目,发挥数学的内在力量,实现数学育人的目标,这就是大势所趋。
具体而言,就是要为学生的终生发展考虑,着眼于学生的长期利益,充分挖掘数学所蕴含的价值观资源,以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心,使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中,成为善于认识问题、解决问题的人才。
那种离开数学谈数学教育,把人文精神与理性精神对立起来,弱化“运算”“推理”“逻辑”“结构体系”等关键词的做法,是逆势而行,应彻底纠正。
数学教改的一个永恒主题是“数学课如何教好数学”,这是一个没有最好只有更好的、循序渐进厚积薄发的过程,不能投机取巧。
试图走捷径,借助于社会转型期各种功利化需求造势,搞割断历史的“改革”,结果必然给数学教育带来不可挽回的损害。
再看“明道”。
明即明白、懂得,道即规律、原则。
明道者,明白原则、掌握规律也。
老子说,“人法地,地法天,天法道,道法自然”。
因此,凡“明道”者一定懂得按客观规律办事。
“数学是自然的,数学是清楚的”,这也要求广大教师努力掌握数学的内在规律,并按这样的规律展开教学。
数学教学首先要遵循“数学的道”,懂得数学研究的“基本套路”。
例如,“代数学的根源在于代数运算……代数学要研讨的就是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题”,“数学推广过程要使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立”,这样,为了使负数能开平方而引入符号“i”,要使i能与实数一起运算,还要满足已有的实数运算律;几何中的公理化思想,即从公理出发,按“定义—表示—分类—性质(判定)”的程序,通过逻辑推理获得几何性质(如三角形内角和是180°);解析几何中,[形到数]——[数的运算]——[数到形]的研究思想;等等。
数学教学还要掌握“学生思维的道”,按学生的认知规律教学。
例如,在学了等差数列后,从“运算”出发,通过类比,可以自然地提出“等比数列”的研究任务、过程和方法;同样的,基本初等函数、圆锥曲线、向量……都可以按照这种“认知的规律”展开教学。
一段时间以来,不注重数学的内在逻辑,为体现“新课程理念”,每课都“从现实出发构建问题情境”,在学生还没有独立思考时就安排“合作学习”、“交流互动”等等,都与“数学教学的明道”背道而驰。
改革中,在“反对学科本位主义”的旗号下,试图从数学和数学教育的外部寻找答案,“废黜百家,独尊建构主义”等,都不能给数学教改带来福音。
第三是“优术”。
“术”的基本解释是方法、技艺,如技术、艺术、学术、战术、心术等,是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体,也是解决问题的流程和策略。
“术”是“明道”后转化而来的具体操作方法,是可以提高办事效果和效率的技巧。
“优术”即提升方法、技艺的水平,积累实用的策略,总结经验并从中发现规律(经验之中有规律)等等。
数学教学中,在引入课题、激发兴趣、问题引导、启发思考、有效训练、巩固提高等方面的研究与实践,变革教学方式、改进教学方法、提高教学水平等追求,以及信息技术与数学教学的整合等等,都是“优术”的体现。
当前的主要问题是,将“术”局限于“解题技巧”,把教学过程演化成“一个定义,三项注意,几个例题,大量习题”的流程,缺乏“以道为魂”的追求,导致方法、技巧的僵化,“术”失去了变通性,使数学教学的效果、效率双低下。
最后,取势明道优术的关系是辩证的。
取势务虚,明道求实,虚实结合,方可行事;道为术之魂,术为道之体,以道统术、以术得道才能相得益彰,道不明,术再优也难免功亏一篑。
取势,远见也;明道,真知也;优术,实效也。
取势明道优术并重,则数学育人可如愿成功。
课堂教学要注重数学的整体性
章建跃
增效减负、提高质量是数学教学的基本追求。
广大数学教师对这个问题的研究,大多集中在如何提高解题教学的有效性上。
许多老师给出的答案是:
选择“牵一发而动全身”的题目,先引导学生“一题多解”,再让学生进行反思,总结解题的方法,找出其中的规律,再对题目进行变式、推广和拓展,使学生掌握解决“这一类”问题的方法,从而实现“解一题,通一类”的目的。
他们都以波利亚的下列论述为支撑:
“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域。
”
值得注意的是,绝大多数老师都是“二传手”,自己并没有真正读过原著,对“有意义的但又不复杂的题目”到底指什么并没有直接感受,这样可能造成理解偏差。
我查阅了波利亚的《怎样解题》,没有发现这段论述(也许在他的别的著作中,希望知道的老师告诉我)。
但无论怎样,“从一个题目出发……把学生引入一个完整的理论领域”确实是一个好想法,我认为其中体现了“解题教学要有整体观,要体现数学的整体性”的思想。
“挖掘问题的各个方面”实际上是要求关注问题所涉及的不同数学知识及其内在的一致性、联系性,从问题的发展中找到数学知识的生长点,从而把学生引入“一个完整的理论领域”。
显然,波利亚提出的做法是“从具体到抽象,从特殊到一般”,是一种归纳的方法。
必须注意到的是,他心目中的真正目标是那个“完整的理论领域”,“题目的挖掘”只是手段而已。
所以,仅就解题教学而言,“解一题,通一类”的想法,关注的只是“这一类题目”,往往把目标局限在“这一类题目怎么解,有多少不同的解法”,与“完整的理论领域”相去甚远,因此并不是波利亚的本意,至少不是他的主要想法。
对解题教学,注重数学的整体性很重要。
但从“以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心,使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中,成为善于认识问题、解决问题的人才”的要求出发,更重要的是要在数学概念、定理、公式、法则……的教学中树立“整体观”。
这是因为数学基础知识中蕴含的数学思想更加本质,体现的思考方法更加基本,适用范围更广,迁移能力更强。
例如,“代数的根本在于数的运算和运算律”。
因此,代数的教学,无论是数、式、方程、不等式,还是向量,都应强调从运算的角度发现和提出问题、分析和解决问题,这就是“代数的整体性”。
而在具体对象的研究中,则要遵循“定义——表示——性质、公式、法则……”的“基本套路”。
例如,等差数列的研究中:
首先要给定义,即回答“什么叫等差数列”。
从名称就可以想到,这类数列的本质特征就是“施行减法运算所得的‘差相等’”,稍作细化就可以得到定义。
然后是表示等差数列。
an=a1+(n-1)d实际上是“从定义出发”得到的代数表达式,具有普遍意义;其中的a1,d是数列的“基本量”;它可以有an=am+(n-m)d等多种变式;几何表示则是均匀落在一条射线上的点,这条射线的起点是(1,a1),斜率是d;等等。
接着研究性质。
这里主要考察“运算中的不变性、规律性”,以及对“特例”的研究。
例如,“当n+m=p+q时,有an+am=ap+aq”就是从运算入手的;其特例则是a,b,c成等差数列时有2b=a+c。
等差数列的前n项和公式,也是等差数列的一个特有性质,其基本思想是“用基本量表示”:
Sn=a1+a2+…+an=na1+[1+2+…+(n-1)d]=na1+
d,而它又可以看成是1+2+…+n=
的一般推广。
当然,它也是从等差数列性质推出的一个结果:
利用“如果n+m=p+q,则an+am=ap+aq”,将不同数求和化归为相同数求和,这是等差数列特有的方法。
上述研究中,注重了“运算”的核心作用,强调了研究问题的“基本套路”,用数形联系的观点看问题,注意从概念出发思考问题,特殊与一般相互转化,以及通过对基本性质的变式、推广等深化认识等等,所有这些都与“数学的整体性”紧密相关,与解答一些特定题目相比,在提高学生认识和解决问题能力上发挥的作用更大。
“经验之中有规律”的教学涵义
章建跃
经验之中有规律,是我们认识问题的一般过程和方法,也阐明了一个简单但很深刻的教学原理。
“经验”是具体的,“规律”则是抽象的。
“规律”不是从天而降的,而是从具体经验中经过不断归纳、概括才能得到的。
如何才能培养学生“从经验中发现规律”的能力呢?
我想,如下两点很要紧:
首先,要培养学生“从一般规律的高度考察具体事例”的意识,逐步养成“透过现象看本质”的习惯。
这是观念问题,是思维习惯问题,也是思想方法问题,需要一个长期的、潜移默化的过程,需要有意识地培养。
其次,要让学生掌握观察事例、从经验中归纳规律、把具体事例中得到的东西概括到全体中去的基本方法,使他们逐步学会归纳、学会抽象、学会概括,进而形成“从经验中发现规律”的能力。
众所周知,“具体”中蕴含的信息具有丰富性、多样性,观察也可以有不同角度,因而从同一事例中可发现不同规律;同时,表面的东西大家都能看到,“藏”在背后的才有“含金量”。
所以,面对具体事例,关键是“你怎么看?
”这是看问题的角度、高度以及切入点,需要知识的支撑,还需要历练。
学生经常出现“不是做不到,而是想不到”的尴尬,主要是他们的阅历还不足以使自己“想得到”。
这似乎是一层“窗户纸”,但捅破它却并不容易,需要有数学知识、思想方法的灵活运用能力。
例如对于公式1+2+…+n=
,能将右边看成n个
相加的结果,进而想到
是数列1,2,…,n的“等差中项”,是这n个数的“平均数”,并最终形成对等差数列求和具有一般意义的“利用平均数,将求等差数列的前n项和转化为n个相同数的求和”,这就体现了看问题的高度,需要很好地把握等差数列的性质(特别是“当m+n=p+q时,am+an=ap+aq”)。
把简单的事情搞清楚,并能从中发现规律,这是需要高层次思维和高水平能力的。
再看“二项式定理”的例子。
从乘法公式的角度,通过整式运算,学生在初中就知道(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。
如何升华这些经验,使之能用于“归纳规律,获得猜想”呢?
这里需要一个新的观察角度,要用排列组合的观点分析原始运算过程:
对于(a+b)2=a2+2ab+b2,还原到(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2,分析展开式(从什么角度?
),看项数、每一项的次数和系数。
因为目标是要得到(a+b)n的展开式,因此要有“从特殊性中寻找一般性”的思想:
n=2时,项数3,次数2,每一项的形式是a2-kbk(k=0,1,2)(这是“一般化”的观点,需要归纳,需要教师引导)。
接下来的关键是要用组合知识对“如何获得展开式的某一项”作出解释。
当k=0时,
=a2,是由2个(a+b)都不选b得到的,相当于从2个(a+b)中取0个b(即都取a)的组合数
;当k=1时,
=ab,是由一个(a+b)选a,另一个(a+b)选b得到的,由于b选定后,a的选法就唯一确定,因此,ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数,即ab共有
个;当k=2时,
=b2,是由2个(a+b)都选b得到的,相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数
。
最终有:
。
显然,学生具备上述分析过程中用到的所有知识,但他们缺“看问题的高度”,不会“从新角度看旧问题”。
因此,为了有利于学生找到“规律”,需要进一步提供经验支持,即让学生仿照上述过程独立完成对
,
的展开式的探究。
顺便提及,代数中的公式和定理,绝大部分都是用归纳法由低次到高次,由一元、二元到多元逐步归纳而发现,然后再用归纳论证去确立其正确性。
因此,代数教学中,一定要强调让学生积累“归纳地去探索、发现,再归纳地定义、归纳地论证”的经验。
逻辑的连贯性和思想方法的一致性
章建跃
当前,在极端功利化的社会环境下,数学教学以“教育GDP”(高考分数、升学率)为主要目标,“数学教学就是解题教学”成为主流观点,“题型+技巧+模仿+记忆”充斥课堂,教师的工作重点是搜集题目编“学案”,挖空心思搞“一题多解”(有的老师是只看解答不做题),平时热议的是“这道题目怎么解?
”“还有什么解?
”而对中学数学的一些基本而重要的问题却疏于思考。
例如,在最近的培训中,我提出如下问题:
(1)为什么要引进分数?
(2)为什么分数加法要定义为
,而不是
?
(3)为什么(-1)×(-1)=1,而不是(-1)×(-1)=-1?
(4)数系扩充过程中,定义运算法则的基本思想是什么?
运算律与运算法则有什么关系?
运算律的证明要用哪些知识?
(5)“数系扩充与复数的引入”体现了怎样的数学思想?
扩充过程中体现了怎样的“逻辑连贯性”(数学研究的“基本套路”)?
结果是,大量老师不能顺利回答,许多老师表示“想也没想过”。
这种现状,不仅暴露出教师的数学素养和专业化发展水平有待提高,而且也是数学教学质量和效益低下的主要原因。
能否主动思考和正确回答这些问题,在很大程度上反映了教师的数学素养,同时也在无形中反映出教师的数学教学观(课堂中应该教什么)。
我认为,在数学教学中渗透、明确并解决这些问题,与数学教育的一些根本目标相关:
让学生掌握数学研究的基本方法,对学生进行一以贯之的逻辑思维训练,使学生学会数学地思考,培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力,成为善于认识和解决问题的人才。
这些目标与学生的长期利益直接相关,解再多的题目也无益于它们的实现。
实际上,数系的扩充体现了数学的发现和创造过程,体现了数学发生发展的客观需求和背景,体现了人类理性思维的强大力量。
数系扩充的原则——使得在原来范围内成立的规律在更大范围内仍然成立,是数学中遵循“逻辑的连贯性和思想方法的一致性”的典范。
非常幸运,数系的每一次扩充,不仅保持了数学内部的和谐性,实现了数学的继承、发展和创新的完美统一,而且完全满足了用数及其运算来刻画现实世界规律性的客观需要。
因此,复数的教学,基本而重要的是在问题情境中,使学生再次经历数系扩充的过程,在知识的学习中体会人类理性思维的作用。
具体而言,则要为学生构建一个研究复数的整体思路,使学生形成研究复数问题的基本框架:
复数的背景——为了使负数能开方,从而使任意多项式方程都能解;
复数的定义——引入一个新符号i(虚数单位),其意义是
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