数列求和讲义及练习题.docx
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数列求和讲义及练习题
数列求和
数列求和这类问题在初中、高中乃至大学的课本里都占有一定的比例,我们在小学学习数列求和问题的目的旨在发散思维,断炼学生观察事物的能力,通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律。
【知识要点】
数列:
若干个数排成一列称为数列。
项:
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。
特殊的数列——等差数列:
数列中任意相邻两项的差相当
公差:
等差数列中相邻两项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式:
“通项公式”和“项数公式”。
通项公式:
第n项=首项+(项数-1)×公差
项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1
【例题讲解及思维拓展训练题】
例1:
有一等差数列:
3,7,11,15,……,这个等差数列的第100项是多少?
分析:
这个等差数列的首项是3.公差是4,项数是100。
要求第100项
列表分析找规律:
项数
1
2
3
4
5
……
n
和第一项的差
0
4
8
12
16
……
(n-1)×4
每一项的计算
3
3+1×4
3+2×4
3+3×4
3+4×4
……
3+(n-1)×4
解:
第100项=3+(100-1)×4=399.
总结:
通项公式:
第n项=首项+(项数-1)×公差
思维拓展训练一:
1.一等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少?
2.求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2,6,10,14……的第100项。
例2:
有一个数列:
4,10,16,22,…,52.这个数列共有多少项?
分析:
容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52.
总结例1:
要求一列数有多少项,可以先求出末项比首项多的公差的个数,再加1.
解:
项数=(52-4)÷6+1=9,即这个数列共有9项。
总结:
项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1
思维拓展训练二:
1.等差数列中,首项=1.末项=39,公差=2.这个等差数列共有多少项?
2.有一个等差数列:
2,5,8,11.…,101.这个等差数列共有多少项?
3.已知等差数列11,16,21,26,…,1001.这个等差数列共有多少项?
例3:
有这样一个数列:
1,2,3,4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
分析:
如果我们把1,2,3,4,…,99,100与列100,99,…,3,2,1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2.就是所求数列的和。
解:
1+2+3+…+99+100=(1+2+3+…+99+100+100+99+98+…+2+1)=(1+100)×100÷2=5050
总结:
所有的等差数列都可以用下面的公式求和:
等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
思维拓展训练三:
1.计算数列1+2+3+…+49+50的值
2.计算数列6+7+8+…+74+75的值
3.计算数列100+99+98+…+61+60的值
例4:
求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
分析:
这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。
解:
要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:
项数=(末项-首项)÷公差+1=(50-2)÷2+1=25
首项=2.末项=50,项数=25
等差数列的和=(2+50)×25÷2=650.
思维拓展训练四:
1.计算数列2+6+10+14+18+22的值
2.计算数列5+10+15+20+…+195+200的值
3.计算数列9+18+27+36+…+261+270的值
例5:
计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
分析:
容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。
进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。
因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。
解:
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)
=1+1+1+…+1
=50
思维拓展训练五:
1.用简便方法计算(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)
2.用简便方法计算(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)
3.用简便方法计算(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
例6:
刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。
这本书共有多少页?
分析:
根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11.因此可以很快得解:
解:
(30+60)×11÷2=495(页)
想一想:
如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答?
思维拓展训练六:
1.刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。
这批零件共有多少个?
2.胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页?
3.丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?
例7:
30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,最多要试多少次?
分析:
开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次;同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。
所以,至多需试
解:
29+28+27+…+2+1=(29+1)×29÷2=435(次)。
思维拓展训练七:
1.有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
2.有一些锁的钥匙搞乱了,已知最多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
3.有10只盒子,44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?
例8:
某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手?
分析:
假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次。
依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为:
解:
50+49+48+…+2+1=(50+1)×50÷2=1275(次).
思维拓展训练八:
1.学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛?
2.在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手?
3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?
例9:
求数列1+2+3+...+97+98+99的所有数字之和。
分析:
首先应该弄清楚这题是求99个数的数字之和,而不是求这99个数之和。
为了能方便地解决问题,我们不妨把0算进来(它不影响我们计算数字之和)计算0~99这100个数的数字之和。
这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等,是9+9=18,一共有100÷2=50对
解:
数列1+2+3+...+97+98+99的所有数字之和是18×50=900。
思维拓展训练九:
1.求数列1+2+3+...+197+198+199的所有数字之和。
2.求数列1+2+3+...+997+998+999的所有数字之和。
3.求数列1+2+3+...+2997+2998+2999的所有数字之和。
例10:
求数列1+2+3+...+207+208+209的所有数字之和。
分析:
不妨先求0~199的所有数字之和,再求200~209的所有数字之和,然后把它们合起来。
0~199的所有数字之和为(1+9×2)×(200÷2)=1900,200~209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。
解:
数列1+2+3+...+97+98+99的所有数字之和是1900+65=1965。
思维拓展训练十:
1.求数列1+2+3+...+307+308+309的所有数字之和。
2.求数列1+2+3+...+2018+2019的所有数字之和。
3.求数列2000+2001+2002+...+4997+4998+4999的所有数字之和。
数列求和练习题
1.求193+187+181+…+103的值.
2.求50-49+48-47+……+4-3+2-1的值
3.求1,3,7,13,21,……的第10项是多少?
4.全部三位数的和是多少?
5.有一个等差数列:
2,6,10,14,……,202.这个等差数列共有多少项?
6.有一个等差数列:
2,7,12,17,……,202.这个等差数列共有多少项?
7.计算数列11+12+13+…+49+50的值
8.计算数列99+98+…+51+50的值
9.计算数列1+3+5+7+…+197+199的值
10.计算数列4+8+12+16+…+196+200的值
11.用简便方法计算(2020+2019+2018+2017)-(2019+2018+2017+2016)
12.求99-98+97-96+95-94+……-4+3-2+1的值
13.小明从1月1日开始写大字,第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月共写589个大字,小明每天比前一天多写几个大字?
(1月一共31天)
14.某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.这个剧院一共有多少个座位?
15.某市举行数学竞赛,比赛前规定,前15名可以获奖,比赛结果第一名1人;第二名并列2人;第三名并列3人;……;第十五名并列15人.用最简便方法计算出得奖的一共有多少人?
16.学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场,一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?
17.假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了55次电话,问有多少位同学相约互通电话?
18.求数列1+2+3+...+297+298+299的所有数字之和
19.求数列1+2+3+...+597+598+599的所有数字之和
20.求数列1+2+3+...+217+218+219的所有数字之和
21.求数列2000+2001+2002+...+3997+3998+3999的所有数字之和。
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