弦振动研究试验教材分析.docx
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弦振动研究试验教材分析
弦振动研究试验
传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。
采用柔性或半柔性的弦线,能用眼睛观察到弦线的振动情况,一般听不到与振动对应的声音。
本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容,由于采用了钢质弦线,所以能够听到振动产生的声音,从而可研究振动与声音的关系;不仅能做标准的弦振动实验,还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究,因为在很多情况下,驻波波形并不是理想的正弦波,直接用眼睛观察是无法分辨的。
结合示波器,更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。
【实验目的】
1.了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。
2.测量拉紧弦不同弦长的共振频率。
3.测量弦线的线密度。
4.测量弦振动时波的传播速度。
【实验原理】
张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。
移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率,当弦长是驻波半波长的整倍数时,弦线上便会形成驻波。
仔细调整,可使弦线形成明显的驻波。
此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源,振动向两边传播,在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播,最终形成稳定的驻波。
图1
为了研究问题的方便,当弦线上最终形成稳定的驻波时,我们可以认为波动是从左端劈尖发出的,沿弦线朝右端劈尖方向传播,称为入射波,再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播,称为反射波。
入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉,在适当的条件下,弦线上就会形成驻波。
这时,弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。
如图1所示。
设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。
向右传播的用细实线表示,向左传播的用细虚线表示,当传至弦线上相应点时,相位差为恒定时,它们就合成驻波用粗实线表示。
由图1可见,两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长,这可从波动方程推导出来。
下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。
设沿X轴正方向传播的波为入射波,沿X轴负方向传播的波为反射波,取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”,且在X=0处,振动质点向上达最大位移时开始计时,则它们的波动方程分别为:
Y1=Acos2(ft-x/)
Y2=Acos2(ft+x/)
式中A为简谐波的振幅,f为频率,为波长,X为弦线上质点的坐标位置。
两波叠加后的合成波为驻波,其方程为:
Y1+Y2=2Acos2(x/)cos2ft······①
由此可见,入射波与反射波合成后,弦上各点都在以同一频率作简谐振动,它们的振幅为|2Acos2(x/)|,只与质点的位置X有关,与时间无关。
由于波节处振幅为零,即|cos2(x/)|=0
2x/=(2k+1)/2(k=0.1.2.3.······)
可得波节的位置为:
X=(2K+1)/4······②
而相邻两波节之间的距离为:
XK+1-XK=[2(K+1)+1]/4-(2K+1)/4)=/2·····③
又因为波腹处的质点振幅为最大,即|cos2(X/)|=1
2X/=K(K=0.1.2.3.······)
可得波腹的位置为:
X=K/2=2k/4·····④
这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。
因此,在驻波实验中,只要测得相邻两波节(或相邻两波腹)间的距离,就能确定该波的波长。
在本实验中,由于弦的两端是固定的,故两端点为波节,所以,只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离(弦长)L等于半波长的整数倍时,才能形成驻波,其数学表达式为:
L=n/2(n=1.2.3.···)
由此可得沿弦线传播的横波波长为:
=2L/n······⑤
式中n为弦线上驻波的段数,即半波数,L为弦长。
根据波动理论,弦线横波的传播速度为:
V=(T/ρ)1/2······⑥
即:
式中T为弦线中张力,ρ为弦线单位长度的质量,即线密度。
根据波速、频率与波长的普遍关系式V=f,和⑤式可得横波波速为:
V=2Lf/n······⑦
如果已知张力和频率f,则由⑥⑦式可得线密度为:
ρ=T(n/2Lf)2(n=1.2.3.······)······⑧
如果已知线密度和频率f,则由⑧式可得张力为:
T=ρ(2Lf/n)2(n=1.2.3.······)······⑨
如果已知线密度和张力,则由⑧式可得频率f为:
······⑩
以上的分析是根据经典物理学得到的,实际的弦振动的情况是复杂的。
我们在实验中可以看到,接收波形很多时候并不是正弦波,或者带有变形,或者没有规律振动,或者带有不稳定性振动,这就要求我们引入更新的非线性科学的分析方法。
可以参见有关的资料,例如参考文献1。
【乐理分析】
常见的音阶由7个基本的音组成,用唱名表示即:
do,re,mi,fa,so,la,si,用7个音以及比它们高一个或几个八度的音、低一个或几个八度的音构成各种组合就成为各种乐器的“曲调”。
每高一个八度的音的频率升高一倍。
振动的强弱(能量的大小)体现为声音的大小,不同物体的振动体现的声音音色是不同的,而振动的频率f则体现音调的高低。
f=261.6Hz的音在音乐里用字母c1表示。
其相应的音阶表示为:
c,d,e,f,g,a,b,在将c音唱成“do”时定为c调。
人声及器乐中最富有表现力的频率范围约为60Hz~1000Hz。
c调中7个基本音的频率,以“do”音的频率f=261.6Hz为基准,按十二平均律*的分法,其它各音的频率为其倍数,其倍数值如表1所示:
表1
音名
c
d
e
f
g
a
b
c
频率
倍数
1
2
频率
Hz
261.6
293.7
329.6
349.2
392.0
440.0
493.9
523.2
*注:
常用的音乐律制有五度相生律、纯律(自然律)和十二平均律三种,所对应的频率是不同的。
五度相生律是根据纯五度定律的,因此在音的先后结合上自然协调,适用于单音音乐。
纯律是根据自然三和弦来定律的,因此在和弦音的同时结合上纯正而和谐,适用于多声音乐。
十二平均律是目前世界上最通用的律制,在音的先后结合和同时结合上都不是那么纯正自然,但由于它转调方便,在乐器的演奏和制造上有着许多优点,在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用。
常见的乐器都是参照上述表格确定的值制造的,例如钢琴,竖琴,吉它等。
金属弦线形成驻波后,产生一定的振幅,从而发出对应频率的声音。
如果将驱动频率设置为表1所定的值,由弦振动的理论可知,通过调节弦线的张力或长度,形成驻波,就能听到与音阶对应的频率了(当然,这时候的环境噪音要小些)。
这样做的特点是能产生准确的音调,有助于我们对音阶的判断和理解。
【实验仪器】
1.DH4618型弦振动研究实验仪
2.双踪示波器
实验仪器由测试架和信号源组成,测试架的结构如图2所示。
图2
1—调节螺杆2—圆柱螺母3—驱动传感器4—弦线5—接收传感器
6—支撑板7—张力杆8—砝码9—信号源10—示波器
【实验内容】
一、实验前准备
1.选择一条弦,将弦的带有铜圆柱的一端固定在张力杆的U型槽中,把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。
2.把两块劈尖(支撑板)放在弦下相距为L的两点上(它们决定弦的长度),注意窄的一端朝标尺,弯脚朝外,如图2;放置好驱动线圈和接收线圈,按图2连接好导线。
3.挂上质量可选砝码到张力杆上,然后旋动调节螺杆,使张力杆水平(这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的张力),见图3。
因为杠杆的原理,通过在不同位置悬挂质量已知的物块,从而获得成比例的、已知的张力,该比例是由杠杆的尺寸决定的。
如图3(a),挂质量为“M”的重物在张力杆的挂钩槽3处,弦的拉紧度等于3M;如图3(b),挂质量为“M”的重物在张力杆的挂钩槽4处,弦紧度为4M,……。
注意:
由于张力不同,弦线的伸长也不同,故需重新调节张力杆的水平。
(a)张力3M(b)张力4M
图3张力大小的示意
二、实验内容
1.张力、线密度和弦长一定,改变驱动频率,观察驻波现象和驻波波形,测量共振频率。
1)放置两个劈尖至合适的间距,例如60cm,装上一条弦。
在张力杠杆上挂上一定质量的砝码(注意,总质量还应加上挂钩的质量),旋动调节螺杆,使张力杠杆处于水平状态,把驱动线圈放在离劈尖大约5~10cm处,把接收线圈放在弦的中心位置。
提示:
为了避免接收传感器和驱动传感器之间的电磁干扰,在实验过程中要保证两者之间的距离至少有10cm。
2)驱动信号的频率调至最小,合适调节信号幅度,同时调节示波器的通道增益为10mV/格。
3)慢慢升高驱动信号的频率,观察示波器接收到的波形的改变。
注意:
频率调节过程不能太快,因为弦线形成驻波需要一定的能量积累时间,太快则来不及形成驻波。
如果不能观察到波形,则调大信号源的输出幅度;如果弦线的振幅太大,造成弦线敲击传感器,则应减小信号源输出幅度;适当调节示波器的通道增益,以观察到合适的波形大小。
一般一个波腹时,信号源输出为2~3V(峰-峰值),即可观察到明显的驻波波形,同时观察弦线,应当有明显的振幅。
当弦的振动幅度最大时,示波器接收到的波形振幅最大,这时的频率就是共振频率。
4)记下这个共振频率,以及线密度、弦长和张力,弦线的波腹波节的位置和个数等参数。
如果弦线只有一个波腹,这时的共振频率为最低,波节就是弦线的两个固定端(两个劈尖处)。
5)再增加输出频率,连续找出几个共振频率(3~5个)并记录。
注意,接收线圈如果位于波节处,则示波器上无法测量到波形,所以驱动线圈和接收线圈此时应适当移动位置,以观察到最大的波形幅度。
当驻波的频率较高,弦线上形成几个波腹、波节时,弦线的振幅会较小,眼睛不易观察到。
这时把接收线圈移向右边劈尖,再逐步向左移动,同时观察示波器(注意波形是如何变化的),找出并记下波腹和波节的个数,及每个波腹和波节的位置。
2.张力和线密度一定,改变弦长,测量共振频率。
1)选择一根弦线和合适的张力,放置两个劈尖至一定的间距,例如60cm,调节驱动频率,使弦线产生稳定的驻波。
2)记录相关的线密度,弦长,张力,波腹数等参数。
3)移动劈尖至不同的位置改变弦长,调节驱动频率,使弦线产生稳定的驻波。
记录相关的参数。
3.弦长和线密度一定,改变张力,测量共振频率和横波在弦上的传播速度。
1)放置两个劈尖至合适的间距,例如60cm,选择一定的张力,改变驱动频率,使弦线产生稳定的驻波。
2)记录相关的线密度,弦长,张力等参数。
3)改变砝码的质量和挂钩的位置,调节驱动频率,使弦线产生稳定的驻波。
记录相关的参数。
4.张力和弦长一定,改变线密度,测量共振频率和弦线的线密度。
1)放置两个劈尖至合适的间距,选择一定的张力,调节驱动频率,使弦线产生稳定的驻波。
2)记录相关的弦长,张力等参数。
3)换用不同的弦线,改变驱动频率,使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。
记录相关的参数。
5.聆听音阶高低及与频率的关系
1)对照表1,选定一个频率,选择合适的张力,通过移动劈尖的位置,改变弦长,在弦线上形成驻波,聆听声音的音调和音色。
2)依次选择其他频率,聆听声音的变化。
3)换用不同的弦线,重复以上步骤。
*6.探究弦线的非线性振动
1)设定一定的张力、线密度、弦长和驱动频率,张力不要过大,频率不宜过高,在示波器上观察到驻波波形。
2)移动接收传感器的位置,注意驻波波形有无变化。
3)移动接收传感器的位置,注意驻波频率有无变化。
【数据处理】
1.张力和弦长一定,测量弦线的共振频率和横波的传播速度。
根据公式10求得的共振频率计算值,与实验得到的共振频率相比较,分析这两者存在差异的原因。
弦长(cm)张力(kg.m/S2)线密度(kg/m)
波腹位置
(cm)
波节位置
(cm)
波腹数
波长
(cm)
共振频率
(Hz)
频率计算值
传播速度V=2Lf/n(m/s)
2.张力和线密度一定,改变弦长,测量弦线的共振频率和横波的传播速度
张力(kg.m/S2)线密度(kg/m)
弦线长度(cm)
波腹位置
(cm)
波节位置
(cm)
波腹数
波长
(cm)
共振频率
(Hz)
传播速度V=2Lf/n(m/s)
作弦长与共振频率的关系图
3.弦长和线密度一定,改变张力,测量弦线的共振频率和横波的传播速度
弦长(cm)线密度(kg/m)
张力(kg.m/S2)
波腹位置
(cm)
波节位置
(cm)
波腹数
波长
(cm)
共振频率
(Hz)
传播速度V=2Lf/n(m/s)
作张力与共振频率的关系图。
根据算出波速,这一波速与
=2Lf/n(f是共振频率,
是
波长)作比较,分析存在差别的原因。
作张力与波速的关系图。
4.弦长和张力一定,改变线密度,测量弦线的共振频率和线密度。
已知弦线的静态线密度(由天平秤称出单位长度的弦线的质量)为:
弦线1:
0.562g/m;弦线2:
1.030g/m;弦线3:
1.515g/m。
弦长(cm)张力(kg.m/S2)
弦线
波腹位置
(cm)
波节位置
(cm)
波腹数
波长
(cm)
共振频率
(Hz)
线密度ρ=T(n/2Lf)2
(kg/m)
弦线1(Ф0.3)
弦线2(Ф0.4)
弦线3(Ф0.5)
比较测量所得的线密度与上述静态线密度有无差别,试说明原因。
【注意事项】
1.仪器应可靠放置,张力挂钩应置于实验桌外侧,并注意不要让仪器滑落。
2.弦线应可靠挂放,砝码的悬挂的取放应动作轻小,以免使弦线崩断而发生事故。
【思考题】
1.通过实验,说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关?
2.换用不同弦线后,共振频率有何变化?
存在什么关系?
3.如果弦线有弯曲或者不是均匀的,对共振频率和驻波有何影响?
4.相同的驻波频率时,不同的弦线产生的声音是否相同?
5.试用本实验的内容阐述吉它的工作原理。
*6.移动接收传感器至不同位置时,弦线的振动波形有何变化?
是否依然为正弦波?
试分析原因。
附录1DH4618型弦振动实验仪信号源使用说明
一、概述
在研究弦振动实验时,需要功率信号源对弦线进行激励驱动,使其产生驻波。
本信号源可配合DH4618型弦振动研究实验仪进行弦振动实验。
仪器的特点是输出阻抗低,激振信号不易失真,同时频率稳定性好,频率的调节细度和分辨率也足够小,能很好地找到弦线的共振频率。
本仪器也可在其它合适的场合作正弦波信号源用。
二、主要技术指标
1、环境条件
使用温度范围:
5℃~35℃,相对湿度范围:
25%~85%
2、电源:
交流220V±10%,50Hz。
3、频率:
频率信号为正弦波,失真度≤1%。
频率范围:
频段I为15~100Hz,频段Ⅱ为100~1000Hz。
4、频率显示:
采用等精度测频,四位数字显示。
测量范围:
0~99.99Hz,分辨率0.01Hz,测频精度:
±(0.2%+0.01Hz);
100.0~999.9Hz,分辨率0.1Hz,测频精度:
±(0.2%+0.1Hz);
1000~9999Hz,分辨率1Hz,测频精度:
±(0.2%+1Hz);
5、功率输出
输出幅度:
0~10VP-P连续可调,输出电流:
≥0.5A
三、仪器结构
仪器的信号输出及调节均在前面板上进行,附图1为仪器的前面板图。
附图1
1、四位数显频率表2、频段选择3、频率粗调4、频率细调
5、激励信号输出6、激励信号波形7、激励信号幅度调节
四、仪器的使用
1、打开信号源的电源开关,信号源通电。
调节频率,频率表应有相应的频率指示。
用示波器观察“波形”端,应有相应的正弦波;调节“幅度”旋钮,波形的幅度产生变化,当幅度调节至最大时,波形的峰-峰值应≥10V,这时仪器已基本正常,再通电预热10分钟左右,即可进行弦振动实验。
2、按DH4618型弦振动研究实验仪的讲义说明,将驱动传感器的引线接至本仪器的“激振”端,注意连线的可靠性。
3、仪器的频率“粗调”用于较大范围地改变频率,“细调”用于准确地寻找共振频率。
由于弦线的共振频率的范围很小,故应细心调节,不可过快,以免错过相应的共振频率。
4、当弦线振动幅度过大时,应逆时针调节“幅度”旋钮,减小激振信号;振动幅度过小时,应加大激振信号的幅度。
五、注意事项
1、仪器的“激振”输出为功率信号,应防止短路。
2、仪器的频率稳定度和显示精度都较高,故使用前应预热。
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- 振动 研究 试验 教材 分析