广东省茂名市五大联盟学校届高三联考数学理试题Word版含答案.docx
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广东省茂名市五大联盟学校届高三联考数学理试题Word版含答案
茂名市五大联盟学校三月联考
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列集合运算正确的是()
A.B.
C.D.
2.12月18日至20日,中央经济工作会议在北京举行,中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光,在此期间,某电视台记者,随机采访了7名外国投资者,其中有4名投资者会说汉语与本国语,另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访,则这3人都只会使用两种语言交流的概率为()
A.B.C.D.
3.给出下列命题:
①若,则
②,;
③函数的图象关于点成中心对称;
④若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线必为抛物线的切线其中正确命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
4.利用如图所示的程序框图得到的数集中必含有()
A.520B.360C.241D.134
5.函数的部分图象大致为()
A.B.C.D.
6.在的展开式中,项的系数为()
A.200B.180C.150D.120
7.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是()
A.B.C.D.
8.若焦点在轴上的椭圆()的离心率.则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
9.已知函数在区间上单调,且函数的图象关于对称.若数列是公差不为0的等差数列.且,则数列的前100项的和为()
A.-200B.-100C.0D.-50
10.已知椭圆和双曲线有共同焦点,,是它们的一个交点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别,,则的最大值是()
A.B.C.2D.3
11.德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想:
任给一个正整数,如果是偶数,就将它减半(即);如果是奇数,则将它乘3加1(即),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:
如果对正整数(首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注:
1可以多次出现),则的所有不同值的个数为()
A.4B.5C.6D.7
12.已知函数(其中,为自然对数的底数)在处取得极大值,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题:
本题共4的小题,每小题5分
13.已知向量满足,,,则向量夹角的余弦值为.
14.某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;
(ⅱ)女学生人数多于青年教师人数;
(ⅲ)青年教师人数的两倍多于男学生人数
若青年教师人数为3,则该宣讲小组总人数为.
15.若实数满足则的最大值是.
16.已知在三棱锥中,,,底面为等边三角形,且平面平面,则三棱锥外接球的表面积为.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知的内角的对边分别为,且.
(1)求;
(2)若,,求和.
18.如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况,市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查,并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析,得到如下表格:
(单位:
人)
经常使用网络外卖
偶尔或不使用网络外卖
合计
男性
50
50
100
女性
60
40
100
合计
110
90
200
(1)根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?
(2)①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券,求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率;
②将频率视为概率,从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常使用网络外卖的人数为,求的数学期望和方差.
参考公式:
,其中.
参考数据:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19.如图,已知斜三棱柱:
的底面是直角三角形,,点在底面内的射影恰好是棱BC的中点,且.
(1)求证:
平面平面;
(2)若二面角的余弦值为,求斜三棱柱的高.
20.已知右焦点为的椭圆()过点,且椭圆关于
直线对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线与椭圆交于点(异于椭圆的左、右顶点),线段的中点为.点是椭圆的右顶点.求直线的斜率的取值范围.
21.已知函数(,为自然对数的底数,).
(1)若函数仅有一个极值点,求实数的取值范围;
(2)证明:
当时,有两个零点().且满足.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线.的极坐标方程是,点是曲线上的动点.点满足(为极点).设点的轨迹为曲线.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,已知直线的参数方程是,(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;
(2)设直线交两坐标轴于,两点,求面积的最大值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若,,证明:
.
文科数学
一、选择题
1-5:
DBBBA6-10:
CBDBA11、12:
DD
二、填空题
13.14.1215.116.
三、解答题
17.解:
(1)由已知,根据正弦定理得,
由余弦定理,得,
故.
因为,
所以.
(2)由,
得
,
由,得,
故由正弦定理得,
.
18.解:
(1)由列联表,可知的观测值
,
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.
(2)①依题意,可知所抽取的5名女网民中,经常使用网络外卖的有人,偶尔或不用网络外卖的有人.
则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.
②由列联表,可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为,
将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.
由题意得,
所以;
.
19.解:
(1)取的中点,连接,则由题意知平面.
∵平面,∴.
又,且,
∴平面.
∵平面,
∴平面平面.
(2)以为原点,,的方向为轴,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
设,又,则,,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
∴
令,得.
同理,得平面的一个法向量为.
∵二面角的余弦值为,
∴,
整理得,
解得,即,
∴斜三棱柱的高为.
20.解:
(1)∵椭圆过点.
∴,①
∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点,
∴,
∴,②
由①②得,,
∴椭圆的方程为.
(2)依题意,直线过点,且斜率不为零,
∴可设其方程为.
联立方程组消去并整理,
得.
设,,,
则.
∴,,∴.
①当时,;
②当时,,
∵,∴,
∴,且.
综合①②,可知直线的斜率的取值范围是.
21.解:
(1)
,
由,得或
因为仅有一个极值点,
所以关于的方程必无解,
①当时,无解,符合题意;
②当时,由,得,
故由,得.
故当时,若,
则,此时为减函数,
若,则,此时为增函数,
所以为的唯一极值点,
综上,可得实数的取值范围是.
(2)由
(1),知当时,为的唯一极值点,且是极小值点,
又因为当时,,
,,
所以当时,有一个零点,
当时,有另一个零点,
即,
且,
.①
所以.
下面再证明,即证.
由,得,
因为当时,为减函数,
故只需证明,
也就是证明,
因为,
由①式,
可得.
令,
则.
令,
因为为区间上的减函数,且,所以,即
在区间上恒成立,
所以在区间上是减函数,即,所以,
即证明成立,
综上所述,.
22.解:
(1)在极坐标系中,设点.
由,得,
代入曲线的方程并整理,
得,
再化为直角坐标方程,得,
即曲线的直角坐标方程为.
直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.
(2)由直线的方程为,可知.
因为点在曲线上,
所以设,,
则点到直线的距离即为底边上的高,
所以,其中,
所以,
所以,
所以面积的最大值为.
23.解:
(1)
由得,
∴
(2)∵,,∴,,
∴,,
∴,,
∴,
,∴.
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