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数学悖论推理题
数学悖论推理题
数学悖论推理题
1=2?
史上最经典的“证明”
设 a=b ,则 a·b=a^2 ,等号两边同时减去 b^2 就有 a·b-b^2=a^2-b^2 。
注意,这个等式的左边可以提出一个 b ,右边是一个平方差,于是有 b·(a-b)=(a+b)(a-b) 。
约掉 (a-b) 有 b=a+b。
然而 a=b ,因此 b=b+b ,也即 b=2b 。
约掉 b ,得 1=2 。
这可能是有史以来最经典的谬证了。
TedChiang 在他的短篇科幻小说 DivisionbyZero 中写到:
引用
Thereisawell-known“proof”thatdemonstratesthatoneequalstwo.Itbeginswithsomedefinitions:
“Leta=1;letb=1.”Itendswiththeconclusion“a=2a,”thatis,oneequalstwo.Hiddeninconspicuouslyinthemiddleisadivisionbyzero,andatthatpointtheproofhassteppedoffthebrink,makingallrulesnullandvoid.Permittingdivisionbyzeroallowsonetoprovenotonlythatoneandtwoareequal,butthatanytwonumbers
是,
a+b=t
(a+b)(a-b)=t(a-b)
a^2-b^2=t·a-t·b
a^2-t·a=b^2-t·b
a^2-t·a+(t^2)/4=b^2-t·b+(t^2)/4
(a-t/2)^2=(b-t/2)^2
a-t/2=b-t/2
a=b
怎么回事儿?
问题出在倒数第二行。
永远记住, x^2=y^2 并不能推出 x=y ,只能推出 x=±y 。
平方根的阴谋
(2)
1=√1=√(-1)(-1)=√-1·√-1=-1
嗯?
只有 x 、 y 都是正数时, √x·y=√x·√y 才是成立的。
-1 的平方根有两个, i 和 -i 。
√(-1)(-1) 展开后应该写作 i·(-i) ,它正好等于 1 。
复数才是王道
考虑方程
x^2+x+1=0
移项有
x^2=-x-1
等式两边同时除以 x ,有
x=-1-1/x
把上式代入原式中,有
x^2+(-1-1/x)+1=0
即
x^2-1/x=0
即
x^3=1
也就是说 x=1。
把 x=1 代回原式,得到 1^2+1+1=0 。
也就是说, 3=0 ,嘿嘿!
其实, x=1 并不是方程 x^2+x+1=0 的解。
在实数范围内,方程 x^2+x+1=0 是没有解的,但在复数范围内有两个解。
另一方面, x=1 只是 x^3=1 的其中一个解。
x^3=1 其实一共有三个解,只不过另外两个解是复数范围内的。
考虑方程 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0 ,容易看出 x^3=1 的两个复数解正好就是x^2+x+1 的两个解。
因此, x^2+x+1=0 与 x^3=1 同时成立并无矛盾。
注意,一旦引入复数后,这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。
或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。
颇具喜剧色彩的错误
众所周知,
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
让我们用 n-1 去替换 n ,可得
1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n/2
等式两边同时加 1 ,得:
1+2+3+…+n=(n-1)n/2+1
也就是
n(n+1)/2=(n-1)n/2+1
展开后有
n^2/2+n/2=n^2/2-n/2+1
可以看到 n=1 是这个方程的唯一解。
也就是说⋯⋯ 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 仅在 n=1 时才成立!
这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。
等式两边同时加 1 后,等式左边得到的应该是
1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+1
1 块钱等于 1 分钱?
我要用数学的力量掏空你的钱包!
请看:
1 元 =100 分 =(10 分)^2=(0.1 元)^2=0.01 元 =1 分
用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽,因为小学(甚至中学)教育忽视了一个很重要的思想:
单位也是要参与运算的。
事实上, “100 分 =(10 分)^2” 是不成立的, “10 分” 的平方应该是 “100 平方分”,正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一样。
数学归纳法的杯具
(1)
下面这个“证明”是由数学家 GeorgePólya 给出的:
任意给定 n 匹马,可以证明这 n 匹马的颜色都相同。
对 n 施归纳:
首先,当 n=1 时命题显然成立。
若命题对 n=k 成立,则考虑 n=k+1 的情形:
由于 {#1,#2,…,#k} 这 k 匹马的颜色相同, {#2,#3,…,#k+1} 这 k 匹马也相同,而这两组马是有重叠的,可知这 k+1 匹马的颜色也都相同了。
这个证明错在,从 n=1 推不出 n=2 ,虽然当 n 更大的时候,这个归纳是正确的。
这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子:
基础情形和归纳推理都没啥问题,偏偏卡在归纳过程中的某一步上。
数学归纳法的杯具
(2)
下面,我来给大家证明,所有正整数都相等。
为了证明这一点,只需要说明对于任意两个正整数 a 、 b ,都有 a=b 。
为了证明这一点,只需要说明对于所有正整数 n ,如果 max(a,b)=n ,那么 a=b 。
我们对 n 施归纳。
当 n=1 时,由于 a 、 b 都是正整数,因此 a 、 b 必须都等于 1 ,所以说 a=b 。
若当 n=k 时命题也成立,现在假设 max(a,b)=k+1 。
则 max(a-1,b-1)=k ,由归纳假设知 a-1=b-1 ,即 a=b 。
这个问题出在, a-1 或者 b-1 有可能不是正整数了,因此不能套用归纳假设。
所有三角形都是等腰三角形
别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的。
下面就是一个经典的几何谬论。
画一个任意三角形 ABC 。
下面我将证明, AB=AC ,从而说明所有三角形都是等腰三角形。
令 BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线交于点 P 。
过 P 作 AB 、 AC 的垂线,垂足分别是 E 、 F 。
由于 AP 是角平分线,因此 P 到两边的距离相等,即 PE=PF 。
于是,由 AAS 可知 △APE ≌△APF 。
由于 DP 是中垂线,因此 P 到 B 、 C 的距离相等,由 SSS 可知 △BPD ≌ △CPD 。
另外,由于 PE=PF , PB=PC ,且 ∠BEP= ∠CFP=90° ,由 HL 可知 △BEP ≌ △CFP 。
现在,由第一对全等三角形知 AE=AF ,由最后一对全等三角形知 BE=CF ,因此 AE+BE=AF+CF ,即 AB=AC 。
这个证明过程其实字字据理,并无破绽。
证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的!
事实上, BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线不可能交于三角形的内部。
我们可以证明, P 点总是落在 △ABC 的外接圆上。
如图, P 是 BC 的中垂线与外接圆的交点,显然 P 就是弧 BC 的中点,即弧 BP= 弧 PC 。
因此, ∠BAP= ∠CAP ,换句话说 P 恰好就在 ∠A 的角平分线上。
P 在 △ABC 外的话,会对我们的证明产生什么影响呢?
你会发现,垂足的位置发生了本质上的变化——F 跑到 AC 外面去了!
也就是说,结论 AE+BE=AF+CF 并不错,只是 AF+CF 并不等于AC 罢了。
一个可怕的逻辑错误
下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的 TheAmericanMathematicalMonthly 杂志上:
假设勾股定理是正确的,于是我们可以得到
AB^2=AC^2+BC^2
BC^2=CD^2+BD^2
AC^2=AD^2+CD^2
把后两式代入第一个式子,有
AB^2=AD^2+2·CD^2+BD^2
但 CD^2=AD·BD ,因此
AB^2=AD^2+2·AD·BD+BD^2
即
AB^2=(AD+BD)^2
即
AB=AD+BD
而这显然成立。
因此,我们的假设也是成立的。
这个证明是错误的。
假设结论正确,推出一个矛盾,确实能说明这个假设是错误的(这就是反证法);但假设结论正确,推出它与条件吻合,这却并不能说明假设真的就是正确的。
错误的假设也有可能推出正确的结果来。
最经典的例子就是,不妨假设 1=2 ,由等式的对称性可知 2=1 ,等量加等量有1+2=2+1 ,即 3=3 。
但 3=3 是对的并不能表明 1=2 是对的。
如此反证
下面这个有趣的故事来源于 LewisCarroll 的一篇题为 ALogicalParadox 的小论文。
Joe 去理发店理发。
理发店有 A 、 B 、 C 三位师傅,但他们并不总是待在理发店里。
Joe 最喜欢C 的手艺,他希望此时 C 在理发店里。
他远远地看见理发店还开着,说明里面至少有一位师傅。
另外, A 是一个胆小鬼,没有 B 陪着的话 A 从不离开理发店。
Joe 推出了这么一个结论:
C 必然在理发店内。
让我们来看看他的推理过程。
反证,假设 C 不在理发店。
这样的话,如果 A 也不在理发店,那么 B 就必须在店里了,因为店里至少有一个人;然而,如果 A 不在理发店, B 也理应不在理发店,因为没有 B 陪着的话 A 是不会离开理发店的。
因此,由 “C 不在理发店” 同时推出了 “若 A 不在则 B 一定在” 和 “若 A 不在则 B 也一定不在” 两个矛盾的结论。
这说明, “C 不在理发店” 的假设是错误的。
从已有的条件看, C 当然有可能不在理发店。
但是,为什么 Joe 竟然证出了 C 一定在理发店呢?
因为他的证明是错的。
其实, “若 A 不在则 B 一定在” 和 “若 A 不在则 B 也一定不在” 并不矛盾——如果事实上 A 在理发店,那么这两个条件判断句都是真的。
“若 A 不在则 B 一定在” 真正的否定形式应该是 “A 不在并且 B 也不在”。
自然语言的表达能力
我曾在《另类搞笑:
自我指涉例句不完全收集》一文中写过:
引用
定理:
所有的数都可以用 20 个以内的汉字表达(比如 25852016738884976640000 可以表达为“二十三的阶乘”, 100000000000000000000000 可以表达为“一后面二十三个零”)
证明:
反证,假设存在不能用 20 个以内的汉字表达的数,则必有一个最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数,而这个数已经用“最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数”表达出来了,矛盾。
当然,这个定理明显是错的,因为 20 个汉字的组合是有限的,而数是无限多的。
这个证明错在哪儿了呢?
我也没办法一针见血地道出个所以然来,大家一起来讨论吧。
有趣的是,我们有一个与之相关的(正确的)定理:
存在一个实数,它不能用有限个汉字来表达。
这是因为,有限长的汉字字符串是可数的,而实数是不可数的。
更有趣的是,这个定理的证明必然是非构造性的。
两边同时取导数
(1)
取一个正整数 N 。
则有
N^2=N+N+N+…+N ( N 个 N )
两边同时取导数,有
2N=1+1+1+…+1=N
两边同时除以 N ,得
2=1
数学威武!
这个推理是有问题的(废话)。
随着 N 的增加,等式右边的 N 的个数却没变,因此 N^2 的增长率比等式右边更大。
两边同时取导数
(2)
令 x=1 ,两边同时取导数, 1=0 。
哈哈!
问题出在哪儿?
这里有意略去答案不写,呵呵。
链式法则也出错?
下面这个例子告诉我们,数学符号混淆不得,分清每个数学符号的意义有多重要。
定义 f(x,y):
=(x+y)^2 ,然后令 x=u-v ,令 y=u+v 。
我们有:
∂f/∂x=∂f/∂y=2(x+y)
∂x/∂v=-1
∂y/∂v=+1
根据链式法则,有
∂f/∂v=(∂f/∂x)·(∂x/∂v)+(∂f/∂y)·(∂y/∂v)
=2(x+y)·(-1)+2(x+y)·
(1)
=0
但是, f(u,v)=(u+v)^2 ,因此 ∂f/∂v=2(u+v)=2y 。
这岂不是说明 y=0 了么?
但是,条件里并没有什么地方规定 y=0 呀?
这怎么回事?
问题出在,整个推理过程把两个不同的函数都用 f 来表示了。
事实上,一个函数是 f(x,y):
=(x+y)^2,另一个函数是 F(u,v)=f(u-v,u+v)=(2u)^2 。
链式法则求的并不是 ∂f/∂v ,而是 ∂F/∂v 。
不定积分的困惑
我们尝试用分部积分法求解 ∫(1/x)dx 。
令 u=1/x , dv=dx
du=-1/x^2dx , v=x
于是 ∫(1/x)dx=(1/x)x-∫x(-1/x^2)dx=1+∫(1/x)dx
怎么回事?
不怎么回事。
这个等式是成立的。
别忘了,不定积分的最后结果要加上一个常数 C 。
记得学高数时,求一积分,两哥们儿做出来的答案差别很大,而且试了很久也没能把其中一个答案变形成另外一个。
后来终于恍然大悟:
他们的答案是有可能不相同的,可以差一个常数嘛!
貌似漏掉了什么
很多 Goldbach 猜想、孪生素数猜想的“证明”都栽在了下面这个有时候很不容易注意到漏洞。
让我们来证明一个看上去有些不可思议的结论:
π^e 是一个有理数。
首先注意到,对任意有理数 r ,logπr 都是无理数,否则令 s=logπr ,我们就有 π^s=r ,这与 π 是超越数矛盾。
现在,假设 π^e 是无理数,也就是说对任意有理数 r , π^e 都不等于 r 。
这也就是说,对任意一个r , logππ^e 都不等于 logπr 。
由前面的结论, logππ^e 就不等于任意一个无理数。
但 logππ^e是等于 e 的,这与 e 的无理性矛盾了。
因此,我们的假设是错的——π^e 是一个有理数。
对于有理数 r , logπr 确实是无理数;但遍历所有的有理数 r ,并不能让 logπr 遍历所有的无理数,而 e 正好就等于某个漏掉的无理数。
不过,也不要想当然地认为, π^e 当然是一个无理数。
目前为止, π^e 是否有理还是一个谜。
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