利用矩阵进行点阵角度旋转.docx
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利用矩阵进行点阵角度旋转.docx
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利用矩阵进行点阵角度旋转
利用矩阵进行坐标转换
之前做拓扑图,本来打算整一套坐标系统在里面的,后来因为时间原因暂时用了最原始的方法实现。
现在稍稍得闲,重新开始思考这个问题。
不过在搜索的时候,意外发现.NetFramework类库中自带的有实现坐标系转换功能的类。
Reflector了一把,发现代码看不懂了——都是利用矩阵操作的。
矩阵这玩意儿,几年没用早忘完了。
于是认真学习了一把,顺便把如何用矩阵进行坐标转换的过程记录和注解一下。
文中部分内容摘取自MSDN,搜索“变换的矩阵表示形式”即可找到。
首先review一下矩阵的基础知识:
m×n矩阵是排列在m行和n列中的一系列数。
下图显示几个矩阵。
可以通过将单个元素相加来加合两个尺寸相同的矩阵。
下图显示了两个矩阵相加的示例。
m×n矩阵可与一个n×p矩阵相乘,结果为一个m×p矩阵。
第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同。
例如,一个4×2矩阵与一个2×3矩阵相乘,产生一个4×3矩阵。
矩阵的行列的平面点可视为矢量。
例如,(2,5)是具有两个组件的矢量,(3,7,1)是具有三个组件的矢量。
两个矢量的点积定义如下:
(a,b)?
(c,d)=ac+bd
(a,b,c)?
(d,e,f)=ad+be+cf
例如,(2,3)和(5,4)的点积是
(2)(5)+(3)(4)=22。
(2,5,1)和(4,3,1)的点积是
(2)(4)+(5)(3)+
(1)
(1)=24。
请注意,两个矢量的点积是数字,而不是另一个矢量。
另外请注意,只有当两个矢量的组件数相同时,才能计算点积。
将A(i,j)作为矩阵A中第i行、第j列的项。
例如,A(3,2)是矩阵A中第3行、第2列的项。
假定A、B和C是矩阵,且AB=C,则C的项计算如下:
C(i,j)=(A的第i行)?
(B的第j列)
下图显示了矩阵相乘的几个示例。
以第二个等式为例,假设等式两边的矩阵分别是a、b、c,1*3的矩阵和3*2的矩阵相乘,得到的结果为1*2的矩阵。
其中c[0][0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]+a[0][2]*b[2][0],c[0][1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]+a[0][2]*b[2][1]。
矩阵的加法、乘法,可以用来做坐标转换。
我们通常使用3*3(如果不需要旋转,则2*2的矩阵即可)的矩阵来做平面上的各种坐标转换,包括x/y轴的平移、旋转。
现在来看一个简单的坐标系转换的例子:
假设我们的客户区分辨率是100*100,要在客户区中心点画一个点,这个点的坐标是(x,y)。
现在如果我们调整了客户区分辨率为400*300,此时如果还需要保持这个点的相对位置不变,计算他的坐标应该是(x*400/100,y*300/100)。
这个计算过程很简单,那么用矩阵操作应该如何来实现呢?
我们将这个点视为一个1*2的矩阵,将其乘以一个2*2的矩阵,得出的仍然是一个1*2的矩阵,就是新的坐标了。
由于屏幕分辨率在x、y轴分别扩大为原来的4倍和3倍,那么我们只要将点的x、y轴坐标都扩大到原来的4、3倍即可。
公式如下:
等式左边的第二个矩阵,就是用来实现坐标转换的矩阵。
其中b[0][0]就是x轴的扩大倍数,b[1][1]就是在y轴上的扩大倍数。
这里面b[0][1]和b[1][0]永远是0。
坐标系的这种转换,叫做线性变换。
OK。
看完这个例子,是不是觉得用矩阵比直接计算还麻烦?
嗯,对于这种简单的情况是这样的。
不过别急,继续看坐标系旋转的情况,如果现在要求这个客户区逆时针旋转30度,要保持这个点的相对位置不变,他的新坐标应该是多少呢?
普通的计算的公式就不陈述了,这就是个初中几何题目。
我们直接来看怎样通过矩阵操作实现。
首先看公式:
在二维空间中,旋转可以用一个单一的角θ定义。
作为约定,正角表示逆时针旋转。
关于原点逆时针旋转θ的矩阵是:
也就是说,逆时针旋转30度的新坐标就是:
按照这种方法进行点阵旋转之后,可能会出现一些无法覆盖的点,如下如所示:
这个椭圆形经过45度转换之后得到下图:
红色为0值背景,当转换之后出现了一些没有规则的空白点,在地质建模领域内,这样的空白点是不能接受的,对此,可以通过平滑修补来完善,但是会产生一些不确定因素,有待完善。
当然,除此之外,坐标系还有平移,但是这个就简单了,只是一个简单的矩阵加法。
比如(x,y)向右平移一个单位,用矩阵就是[x,y]+[1,0]就是是(x+1,y)。
下图显示了应用于点(2,1)的几个变换:
前图中显示的所有变换都是线性变换。
某些其他变换(如平移)不是线性的,不能表示为与2×2矩阵相乘的形式。
假定您要从点(2,1)开始,将其旋转90度,在x方向将其平移3个单位,在y方向将其平移4个单位。
可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。
后面跟一平移(与1×2矩阵相加)的线性变换(与2×2矩阵相乘)称为仿射变换,如上图所示。
放射变换(先乘后加)可以通过乘以一个3*3的矩阵来实现,若要使其起作用,平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的1×3矩阵中。
通常的方法是使所有的第三坐标等于1。
例如,矩阵[211]代表点(2,1)。
下图演示了表示为与单个3×3矩阵相乘的仿射变换(旋转90度;在x方向上平移3个单位,在y方向上平移4个单位):
在前面的示例中,点(2,1)映射到了点(2,6)。
请注意,3×3矩阵的第三列包含数字0,0,1。
对于仿射变换的3×3矩阵而言,情况将总是如此。
重要的数字是列1和列2中的6个数字。
矩阵左上角的2×2部分表示变换的线性部分,第3行中的前两项表示平移。
在使用3*3的矩阵做仿射变换时候,表示点的矩阵变成了一个1*3矩阵,这个矩阵中的最后一个值(a[0][2])必须设置成1。
对于3*3矩阵b,其最后一列的值是多少是没有关系的,因为他们不会影响结果中的前两列。
不过如上,经常将他们设置为0,0,1。
这一列对于坐标转换的结果并没有任何影响,但是他们是必须的,因为矩阵相乘必须满足开篇所讲的“相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同”。
在.NetFramework中,又一个矩阵类“Matrix”。
其内置了点坐标转换(TransformPoints)、平移(Translate)、缩放(Scale)、旋转(Rotate)方法。
下面的示例创建了复合变换(先旋转30度,再在y方向上缩放2倍,然后在x方向平移5个单位)的矩阵:
Matrix myMatrix = new Matrix();
myMatrix.Rotate(30);
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append);
除了Matrix类以外,.NetFramework中也有其他用于坐标系转换的类,比如System.Drawing.Graphics。
具体用法请查阅相关文档。
以上只是利用矩阵进行平面坐标系转换的方法。
如果是三位坐标系,也是可以利用矩阵来操作的,但Matrix类不行,因为其本身的定位就是“封装表示几何变换的3x3仿射矩阵”。
不过,可以附上几个三维空间的旋转公式:
上面是分别绕单个轴旋转的公式。
复杂的旋转可以通过这三个公式组合而成,任何3维旋转矩阵都可以用这三个角θx,θy,和θz来刻画,并且可以表示为roll,pitch和yaw矩阵的乘积。
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