学年湘教版八年级数学下册 25矩形.docx
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学年湘教版八年级数学下册25矩形
2.5矩形
2.5.1矩形的性质
要点感知1有一个角是__________角的平行四边形叫作矩形.
预习练习1-1四边形ABCD是平行四边形,根据矩形的定义,添加一个条件:
_______________,可使它成为矩形.
要点感知2矩形的四个角都是__________,对边相等,对角线__________,对角线__________.
预习练习2-1(2014·重庆)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为()
A.30°B.60°C.90°D.120°
要点感知3矩形是中心对称图形,__________是它的对称中心.矩形是轴对称图形,__________都是矩形的对称轴.
预习练习3-1矩形是轴对称图形,矩形的对称轴有__________条.
知识点1矩形的定义
1.在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件,使四边形ABCD是矩形.你添加的条件可以是__________.
2.如图,在2×3的矩形方格图中,矩形个数有__________个.
3.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1),使AB=CD,EF=GH;
(2)摆放成如图2所示的四边形,则这时窗框的形状是__________,根据数学道理是:
____________________;
(3)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图3),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4),说明窗框合格,这时窗框是__________形,根据的数学道理是:
____________________.
知识点2矩形的性质
4.如图,在矩形ABCD中,若AC=2AB,则∠AOB的大小是()
A.30°B.45°C.60°D.90°
5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是()
A.4B.6C.8D.10
6.(2013·邵阳)如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论不正确的是()
A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC
7.(2014·衡阳)如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为__________.
8.(2014·桂林)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是__________.
9.(2013·遵义)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长=__________cm.
10.(2014·泉州)已知:
如图,在矩形ABCD中,E,F分别在AB,CD边上,BE=DF,连接CE,AF.求证:
AF=CE.
11.(2014·呼和浩特)已知矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线AC,BD相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为()
A.△CDE与△ABF的周长都等于10cm,但面积不一定相等
B.△CDE与△ABF全等,且周长都为10cm
C.△CDE与△ABF全等,且周长都为5cm
D.△CDE与△ABF全等,但它们的周长和面积都不能确定
12.(2014·黔东南)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为()
A.6B.12C.2
D.4
13.(2013·江西)如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,CN,MN,若AB=2
,BC=2
,则图中阴影部分的面积为__________.
14.(2013·济南)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOD=120°,求AC的长.
15.(2014·湘潭)如图,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F,若AD=3,BD=6.
(1)求证:
△EDF≌△CBF;
(2)求∠EBC.
挑战自我
16.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:
BD=BE;
(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.
参考答案
课前预习
要点感知1直
预习练习1-1答案不唯一,如∠ABC=90°
要点感知2直角互相平分相等
预习练习2-1B
要点感知3对角线的交点过每一组对边中点的直线
预习练习3-12
当堂训练
1.答案不唯一,如∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°
2.18
3.
(2)平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)矩有一个角是直角的平行四边形是矩形
4.C5.C6.A7.108.4个9.9
10.证明:
在矩形ABCD中,AD=BC,∠D=∠B=90°,
∵BE=DF,
∴△ADF≌△CBE.
∴AF=CE.
课后作业
11.B12.D13.2
14.∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD.
∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°.
∴△AOB是等边三角形.
∴AO=AB=4.
∴AC=2AO=8.
15.
(1)证明:
由折叠的性质可得:
DE=BC,∠E=∠C=90°,
在△DEF和△BCF中,∠DFE=∠BFC,∠E=∠C,DE=BC,
∴△DEF≌△BCF(AAS).
(2)在Rt△ABD中,∵AD=3,BD=6.∴∠ABD=30°.
由折叠的性质可得:
∠DBE=∠ABD=30°,
∴∠EBC=90°-30°-30°=30°.
16.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴BE=AC.
∴BD=BE.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=OC=BO=OD=4,即BD=8.
∵∠DBC=30°,
∴∠ABO=90°-30°=60°.
∴△ABO是等边三角形,即AB=OB=4,
于是AB=DC=CE=4.
在Rt△DBC中,DC=4,BD=8,BC=
=4
.
∵AB∥DE,AD与BE不平行,
∴四边形ABED是梯形,且BC为梯形的高.
∴四边形ABED的面积=
·(AB+DE)·BC=
·(4+4+4)·4
=24
.
2.5.2矩形的判定
要点感知1三个角是__________角的四边形是矩形.
预习练习1-1在四边形ABCD中,若∠A=∠B=∠C=∠D,则四边形ABCD是__________形.
要点感知2对角线__________的平行四边形是矩形.
预习练习2-1(2014·娄底)如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,应添加的条件是__________(只填一个).
知识点1三个角是直角的四边形是矩形
1.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案,其中正确的是()
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否为直角
D.测量四边形的其中三个角是否都为直角
2.如图,从下列图中选择四个拼图板,可拼成一个矩形,正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).
3.已知:
如图,□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH为矩形.
知识点2对角线相等的平行四边形是矩形
4.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是()
A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠1=∠2
5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知下列6个条件:
①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是()
A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥
6.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.当∠ACB为__________度时,四边形ABFE为矩形.
7.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,∠1=∠2.求证:
四边形ABCD是矩形.
8.在□ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是()
A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC
9.下列关于矩形的说法,正确的是()
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直且平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
10.如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是()
A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC
11.如图△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是()
A.2
B.3
C.4D.4
12.(2014·娄底)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).
13.(2013·南通)如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE,求证:
四边形BCDE是矩形.
14.(2014·枣庄)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.
(1)求证:
△BOE≌△DOF;
(2)若OD=
AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
挑战自我
15.(2013·张家界)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E,交∠ACB的外角角平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
参考答案
直
矩
相等
答案不唯一,如∠BAD=90°或AC=BD等
课前预习
要点感知1预习练习1-1
要点感知2
预习练习2-1
当堂训练
1.D2.①②③④
3.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,AB∥CD.
∴∠ABC+∠BCD=180°,∠BAD+∠ABC=180°.
又□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.
∴∠BAF+∠ABF=90°,∠GBC+∠GCB=90°.
∴∠GFE=∠AFB=90°,∠G=90°.
同理可证∠GHE=90°,∠E=90°.
∴四边形EFGH为矩形.
4.C5.C6.60
7.证明:
∵∠1=∠2,
∴BO=CO,即2BO=2CO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=OD.
∴AC=2CO,BD=2BO.
∴AC=BD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形.
课后作业
8.A9.D10.C11.A12.答案不唯一,如:
∠ABC=90°或AC=BD
13.证明:
∵AC=AB,AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD-∠CAB=∠CAE-∠CAB,即∠CAD=∠BAE.
∴△ADC≌△AEB(SAS).
∴DC=BE.
又∵DE=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形.
连接BD,CE.
∵AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
∴四边形BCDE是矩形.
14.
(1)证明:
∵O是AC的中点,∴OA=OC.
∵AE=CF,∴OE=OF.
∵DF∥BE,∴∠OEB=∠OFD.
又∵∠EOB=∠FOD,
∴△BOE≌△DOF.
(2)∵△BOE≌△DOF,∴OD=OB.
∵OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵OD=
AC,OD=
BD,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
15.
(1)证明:
∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.
∴OF=OC,
同理可证:
OC=OE,
∴OE=OF.
(2)由
(1)知:
OF=OC,OC=OE,
∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC.
∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC,
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,
∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°,
∴EF=
=
=13.
∴OC=
EF=
.
(3)当点O移动到AC中点时,四边形AECF为矩形.
理由:
由
(1)知OE=OF,当点O移动到AC中点时有OA=OC,
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF为矩形.
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