高中数学集合13集合的基本运算学案北师大版.docx
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高中数学集合13集合的基本运算学案北师大版
1.3集合的基本运算
第1课时 交集与并集
[核心必知]
1.交集与并集的定义
自然语言
符号语言
图形语言
交集
由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”)
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”)
A∪B={x|x∈A或x∈B}
2.交集、并集运算的性质
(1)交集运算性质:
A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩∅=∅,(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,A⊆B⇔A∩B=A,(A∩B)∩C=A∩(B∩C).
(2)并集运算性质:
A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪∅=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),A⊆B⇔A∪B=B,(A∪B)∪C=A∪(B∪C).
[问题思考]
1.数学活动课上,小强说:
“若x∉(A∩B),则x∉A且x∉B.”小刚说:
“若x∉(A∪B),则x∉A且x∉B.”这两个同学说的都对吗?
为什么?
提示:
A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合,x∉(A∩B)可分三种情况:
x∉A且x∈B,x∈A且x∉B,x∉A且x∉B,即小强同学说的不正确.A∪B是由属于A或属于B的元素确定的集合,即A、B两集合的元素都在A∪B中,若x∉(A∪B),则必有x∉A且x∉B,即小刚同学说的正确.
2.当集合A与B没有公共元素时,A与B没有交集,对吗?
提示:
不对,当A与B没有公共元素时,A与B的交集为空集,即A∩B=∅.
3.能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合?
为什么?
提示:
不能,因为A与B可能有公共元素,上述观点违背了集合元素的互异性.
讲一讲
1.
(1)设集合M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则M∩N等于( )
A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}
(2)已知集合A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},求A∩B,A∪B.
[尝试解答]
(1)选B 由已知M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},
∴M∩N={-2,-1,0,1}∩{-1,0,1,2,3}={-1,0,1}.
(2)分别在数轴上表示集合A和B,根据A∩B、A∪B的定义,由图知,
A∩B={x|-1<x<2},A∪B={x|-4≤x≤3}.
若本例
(2)中集合B={x|x≤a},求A∩B.
解:
因为A={x|-4≤x<2},
∴当a<-4时,A∩B=∅,
当-4≤a<2时,A∩B={x|-4≤x≤a},
当a≥2时,A∩B=A={x|-4≤x<2}.
解决此类题目首先应看清集合中元素的属性,是数集还是点集,并化简.然后再按下列规律进行运算:
(1)如果集合是有限集,则需先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交、并集的定义分别求出;
(2)如果集合中的元素是部分连续实数构成时,则常借助于数轴,把集合分别表示在数轴上,然后再利用交、并集的定义去求解,这样处理比较形象直观,但解答过程中需注意边界问题.
练一练
1.(重庆高考)已知集合A={1,2,3},B={1,3},则A∩B= ( )
A.{2} B.{1,2}
C.{1,3}D.{1,2,3}
解析:
选C A∩B={1,2,3}∩{1,3}={1,3}.
2.已知集合A={x|1≤x<3},B={x|x>2},试求A∩B和A∪B.
解:
利用数轴易知A∩B={x|2<x<3},A∪B={x|x≥1}.
讲一讲
2.已知A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},求p,q,r的值.
[尝试解答] ∵A∩B={-2},∴-2∈A.
将x=-2代入x2-px-2=0,得p=
-1.∴A={1,-2}.
∵A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},
∴B={-2,5}.∴4-2q+r=0且25+5q+r=0.
解得q=-3,r=-10.故p=-1,q=-3,r=-10.
应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系,从而构造方程,不等式(组)等求解,但当出现交集为空集的情形,应首先讨论集合是否为空集.
练一练
3.设集合A={|a+1|,3,5},集合B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当A∩B={2,3}时,求A∪B.
解:
∵2∈A,
∴|a+1|=2.
∴a=1或a=-3.
当a=1时,集合B的元素a2+2a=3,2a+1=3.
由集合中元素的互异性知a≠1.
当a=-3时,2a+1=-5,a2+2a=3,a2+2a-1=2,
即集合B={-5,3,2}.
∴A∪B={-5,2,3,5}.
讲一讲
3.设A={x|x2-2x=0};B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.
[尝试解答] 由x2-2x=0,得x=0或x=2.
∴A={0,2}.
(1)∵A∩B=B,
∴B⊆A,B=∅,{0},{2},{0,2}.
当B=∅时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;
当B={0}时,
∴a=0;
当B={2}时,
无解;
当B={0,2}时,
得a=1.
综上所述,得a的取值范围是{a|a=1或a≤0}.
(2)∵A∪B=B,∴A⊆B,
又∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,
∴A=B,由
(1)知a=1.
解答此类题的关键是利用交集与并集的运算性质,A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A,将运算结果转化为两集合间的关系,从而构造方程或不等式求解.
练一练
4.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.
(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.
解:
(1)∵A∪B=B,
∴A⊆B,
由图可得
∴-6≤m≤-2为所求范围.
(2)∵A∩B≠∅,
∴
∴-11<m<3为所求范围.
在2016年春季召开的校运会上,某班共有28名运动员参加比赛,有15人参加径赛,有8人参加田赛,有14人参加球类比赛.同时参加田赛和径赛的有3人,同时参加径赛和球类比赛的有3人,没有同时参加三项比赛的运动员.则同时参加田赛和球类比赛的有多少人?
只参加径赛的运动员有多少人?
[巧思] 设同时参加田赛和球类比赛的人数为x,利用Venn图和题设条件向图中填数,然后利用总人数为28得关于x的方程求解即可.
[妙解] 设参加径赛的运动员组成集合A,参加田赛的运动员组成集合B,参加球类比赛的运动员组成集合C.根据题意画出Venn图,如图所示.设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意,得
9+3+3+(8-3-x)+x+(14-3-x)=28,解得x=3.
所以,同时参加田赛和球类比赛的有3人,只参加径赛的有9人.
1.(福建高考)已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是( )
A.N⊆M B.M∪N=M
C.M∩N=ND.M∩N={2}
解析:
选D 因为-2∉M,可排除A;M∪N={-2,1,2,3,4},可排除B;M∩N={2}.
2.已知集合A={x|-1 A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2)D.(2,3) 解析: 选A 将集合A与B在数轴上画出(如图). 由图可知A∪B=(-1,3),故选A. 3.(浙江高考)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=( ) A.[-4,+∞)B.(-2,+∞) C.[-4,1]D.(-2,1] 解析: 选D 由已知得S∩T={x|x>-2}∩{x|-4≤x≤1}={x|-2 4.设A={0,1,2,4,5,7},B={1,3,6,8,9},C={3,7,8},则A∩B=________,(A∩B)∪C=________. 解析: ∵A∩B={1}, ∴(A∩B)∪C={1}∪{3,7,8}={1,3,7,8}. 答案: {1} {1,3,7,8} 5.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x>a}且满足A∩B=∅,则实数a的取值范围为________. 解析: 利用数轴,∵A∩B=∅,∴a≥1. 答案: [1,+∞) 6.已知关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,若A∩B= ,求A∪B. 解: ∵A∩B= ,∴- ∈A且- ∈B. ∴3 2+p -7=0且3· 2-7× +q=0.∴p=-20,q=- . 由3x2-20x-7=0得A= , 由3x2-7x- =0得B= , ∴A∪B= . 一、选择题 1.(四川高考)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B= ( ) A.{b}B.{b,c,d} C.{a,c,d}D.{a,b,c,d} 解析: 选D 依题意得知,A∪B={a,b,c,d}. 2.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( ) A.0B.1C.2D.4 解析: 选D 由已知A∪B={0,1,2,4,16},∴ ∴a=4. 3.如图,图形中的阴影部分表示的是 ( ) A.(A∪C)∩(B∪C) B.(A∪B)∩(A∪C) C.(A∪B)∩(B∪C) D.(A∪B)∩C 解析: 选A 由并集、交集的定义知(A∪C)∩(B∪C)正确. 4.设I={1,2,3,4},A与B是I的子集,若A∩B={1,3},则称(A,B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)( ) A.4B.8C.9D.16 解析: 选C 由题意,可用Venn图表示所有理想配集如下: 所以,符合条件的“理想配集”共有9个. 二、填空题 5.(江苏高考)已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∪B=________. 解析: 集合A,B都是以列举法的形式给出,易得A∪B={1,2,4,6}. 答案: {1,2,4,6} 6.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a的值为________. 解析: 由题意知: a2+4>3,故a+2=3,即a=1,经验证,a=1符合题意.∴a=1. 答案: 1 7.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析: 设两项运动都喜欢的人数为x,画出Venn图得到方程15-x+x+10-x+8=30⇒x=3, ∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15-3=12人. 答案: 12 8.已知集合T是方程x2+px+q=0(p2-4q>0)的解组成的集合,A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且T∩A=∅,T∩B=T,则实数p=________,q=________. 解析: ∵Δ=p2-4q>0,∴方程x2+px+q=0必有两个不等的实数根,即集合T中含有两个元素. ∵A∩T=∅,∴1,3,5,7,9∉T. 又T∩B=T,∴TB. ∴T={4,10},即4和10是方程x2+px+q=0的根. 由韦达定理,得 ∴ 答案: -14 40 三、解答题 9.已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围. 解: ∵A∪B=A,∴B⊆A. 又∵A={x|-2≤x≤5}≠∅, ∴B=∅或B≠∅. 当B=∅时,有m+1>2m-1,∴m<2. 当B≠∅时,如图所示, 由数轴可得 解得2≤m≤3. 综上可得,实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3, 即m≤3. 10.已知集合A={x|x2-mx+m2-19=0},B={y|y2-5y+6=0},C={z|z2+2z-8=0},是否存在实数m,使得A∩B≠∅,A∩C=∅同时成立? 若存在,求出实数m的值;若不存在,则说明理由. 解: 假设存在这样的实数m, ∵B={y|y2-5y+6=0}={2,3}, C={z|z2+2z-8=0}={-4,2}, 又A∩C=∅,∴2∉A,-4∉A. 又A∩B≠∅,∴3∈A,把x=3代入x2-mx+m2-19=0中,解得m=5或m=-2. 当m=5时,A={2,3},与A∩C=∅矛盾,当m=-2时,A={-5,3},符合题意,∴m=-2. 故存在m=-2,使得A∩B≠∅,A∩C =∅同时成立. 第2课时 全集与补集 [核心必知] 1.全集 (1)定义: 在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集. (2)符号表示: 全集通常记作U. 2.补集 (1)定义: 设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集(或余集). (2)符号表示: U中子集A的补集记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}. (3)图示: 用Venn图表示∁UA,如图所示. (4)运算性质: ①A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=∅. ②∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB), ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). [问题思考] 1.任何一个集合都可以作为全集,对吗? 提示: 不对.由全集的定义可知,空集就不能当全集,因为空集不含任何元素. 2.∁UA在U中的补集∁U(∁UA)与集合A有什么关系? 提示: 相等. 3.∁AC与∁BC相等吗? 为什么? 提示: 不一定.依据补集的含义,符号∁AC和∁BC都表示集合C的补集,但是∁AC表示集合C在全集A中的补集,而∁BC表示集合C在全集B中的补集,由于集合A和B不一定相等,所以∁AC与∁BC不一定相等.因此,求集合的补集时,首先要明确全集,否则容易出错. 如集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,1,2,3,4},C={1,3,4},则∁AC={2,5,6,7,8,9},∁BC={0,2},很明显∁AC≠∁BC. 讲一讲 1. (1)(广东高考)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,5},则∁UM=( ) A.UB.{1,3,5} C.{3,4,6}D.{2,4,6} (2)U={x|1≤x≤5,x∈Z},A={x|x2-8x+15=0},B={2,3,4},求∁UA,∁UB. [尝试解答] (1)选C 由于U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,5},从而∁UM={3,4,6}. (2)法一: U={x|1≤x≤5,x∈Z}={1,2,3,4,5},A={3,5}, ∴∁UA={1,2,4},∁UB={1,5}. 法二: Venn图表示. ∴∁UA={1,2,4},∁UB={1,5}. 在求集合的补集运算时,①若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍.②若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解. 练一练 1. (1)已知全集U={x|-1≤x≤4},A={x|-1≤x≤1},B={x|0 (2)已知全集U={不大于10的非负偶数},A={0,2,4,6},B={x|x∈A且x<4},求∁UA,A∩(∁UB). 解: (1)∵U={x|-1≤x≤4},A={x|-1≤x≤1}, B={x|0 可知∁UA={x|1 结合数轴(如图). 可知(∁UB)∩A={x|-1≤x≤0}; (2)法一: 由题意知U={0,2,4,6,8,10}, A={0,2,4,6},B={0,2}, ∴∁UA={8,10},∁UB={4,6,8,10}.∴A∩(∁UB)={4,6}. 法二: 可用Venn图: ∴∁UA={8,10},A∩(∁UB)={4,6}. 讲一讲 2. (1)已知全集U={2,0,3-a2},子集P={2,a2-a-2},且∁UP={-1},求实数a; (2)已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A∁RB,求a的取值范围. [尝试解答] (1)∵∁UP={-1},∴-1∈U且-1∉P. ∴ ⇒a=2. 经检验知: a=2适合题意. (2)∁RB={x|x≤1或x≥2}≠∅, ∵A ∁RB, ∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论. ①若A=∅,此时有2a-2≥a,∴a≥2. ②若A≠∅,则有 或 ∴a≤1. 综上所述,a≤1或a≥2. 解决此类问题要充分利用补集的定义,借助题干条件,建立关于参数的方程或不等式(组)求解,必要时可借助数轴或Venn图. 练一练 2.设集合A={|2a-1|,2},B={2,3,a2+2a-3}且∁BA={5},则实数a的值是________. 解析: 由补集的性质可知: ∴ 解得a=2. 答案: 2
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