浙江省中考数学专题复习专题八图形折叠问题训练.docx
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浙江省中考数学专题复习专题八图形折叠问题训练
专题八图形折叠问题
专题类型突破
类型一折叠三角形
:
:
;『「(2018-浙江台州中考)如图,等边三角形ABC边长是定值,点0是它的外心,过点0任意作一条直线分别交ABBC于点D,E.将厶BDE沿直线DE折叠,得到△B'DE若B'D,B'E分别交AC于点F,G连结OF,0G则下列判断错误的是()
A.AADF^ACGE
B.AB'FG的周长是一个定值
C.四边形FOEC的面积是一个定值
D.四边形OGBF的面积是一个定值
【分析】A.根据等边三角形ABC的外心的性质可知A0平分/BAC根据角平分线的定理和逆定理得F0平
分/DFG由外角的性质可证明/D0F=60°,同理可得/E0G=60°,/F0G=60°=/D0F=ZE0G再根据三角形全等的性质可得△ADF^ACGE
B.根据△D0F^AG0^AG0E得DF=GF=GE所以△ADF^AB'GF^ACGE可得结论;
C.根据S四边形F0EG=S^0CF^SZCE判断即可;
1
D.将S四边形0GBF=S^0AC一S^0FG,根据Smfg=2-FG-0HFG变化,故△0FG的面积变化,从而四边形0GBF的面积也变化,可作判断.
【自主解答】
筋命题研兗专幫点拨
三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等,解题的关键是抓住折叠的本质是轴对称,轴对称是全等变换,找出相等的角和线段.
类型二折叠平行四边形
■:
L(2018-山东淄博中考)在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,A»3,将厶ACD沿对角线AC折
【自主解答】
勒命题研兗专電点拨
关于平行四边形折叠问题,解答时需要关注:
在折叠前后,折痕两边能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应线段、对应角相等,与特殊的平行四边形相比,它缺少了特殊的条件.
1.(2018-甘肃兰州中考)如图,将?
ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,交BC于点F.若/ABD=
48°,/CFD=40°,则/E为()
A.102°B.112°C.122°D.92
类型三折叠菱形
审门(2018-山东烟台中考)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示,点0为对角线的交点,过点0
折叠菱形,使B,B'两点重合,MN是折痕.若B'M=1,贝UCN的长为()
【分析】连结ACBD,利用菱形的性质得0C=^AC^3,0D=^BD=4,ZCOD=90°,再利用勾股定理计算
出CD=5,接着证明△OBIWAODN得到DN=BM,然后根据折叠的性质得BM=B'M=1,从而有DN=1,于是计算CD-DN即可.
【自主解答】
筋命题研兗专唸点拨
折叠是轴对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.对于菱形的折叠,
还要明确菱形的基本性质,在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析.
2.(2018•贵州遵义中考)如图,在菱形ABCD中,/ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD
类型四折叠矩形
|:
-1(2018-浙江杭州中考)折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:
①把△ADE翻折,点A落在
CDG翻折,点C落在线段AE
DC边上的点F处,折痕为DE点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△
上的点H处,折痕为DG点G在BC边上.若AB=AD+2,EH=1,贝UAD-
【分析】设AD=x,则AB=x+2,利用折叠的性质得DF=AD,EA=EF,/DFE=ZA=90°,则可判断四边
形AEFD为正方形,所以AE=AD-x,再根据折叠的性质得DH=DC=x+2,则AH=AE—HE=x—1,然后根
222
据勾股定理得到x+(x—1)-(x+2),再解方程求出x即可.
【自主解答】
㉛命题研兗专家点拨
此类问题中,运用的知识点比较多,综合性强,如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等,抓住翻折前后两个图形是全等的,把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键.
4.(2018-湖北宜宾中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点,将△CBE沿CE折叠,使点B落在矩形内点F处,下列结论正确的是(写出所有正确结论的序号).
1当E为线段AB中点时,AF//CE
9
2当E为线段AB中点时,AF=
5
13-2(13
3当A,F,C三点共线时,AE=-^―;
4当A,F,C三点共线时,△CEF^AAEF.
类型五折叠正方形
:
3>(2018-江苏宿迁中考)如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点E,F分别在边ABCD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点AD重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x.
1
(1)当AMh3时,求x的值;
3
⑵随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?
如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值;
⑶设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.
【分析】
(1)利用勾股定理构建方程,即可解决问题;
⑵设AWy,贝UBE=Egx,MD=1—y,在Rt△AEM中,由勾股定理得出x,y的关系式,可证
Rt△AEMhRtADMP根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长;
⑶作FFUAB于H.则四边形BCFH是矩形.连结BM交EF于0,交FH于K.根据梯形的面积公式构建二次函数,禾U用二次函数的性质解决最值问题即可.
【自主解答】
③命题研究专電点拨
正方形的折叠同其他图形一样,要关注勾股定理、全等图形、相似等相关知识,但由于正方形的特点,所以有关正方形的折叠问题有着其他图形没有的特殊性,解题时应关注正方形本身具有的特点.
5•综合与实践
问题背景
折纸是一种许多人熟悉的活动,将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的,但将一边三等分就不是那么容易了,近些年,经过人们的不懈努力,已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法,最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法,现在被数学界称之为芳贺折纸三定理•其中,芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图1):
操作1:
将正方形ABC%折,使点A与点D重合,点B与点C重合.再将正方形ABCD展开,得到折痕EF;操作2:
再将正方形纸片的右下角向上翻折,使点C与点E重合,边BC翻折至B'E的位置,得到折痕MNB'E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点,即AP:
PB=2:
1.
AEDAED
图3
解决问题
(1)在图1中,若EF与MN交于点Q连结CQ.求证:
四边形EQCM是菱形;
⑵请在图1中证明AP:
PB=2:
1.
发现感悟
若E为正方形纸片ABCD勺边AD上的任意一点,重复“问题背景”中操作2的折纸过程,请你思考并解决
如下问题:
丄甘卄DEAP
⑷如图3,若ae=3,则BP=
⑸根据问题
(2),(3),(4)给你的启示,你能发现一个更加一般化的结论吗?
请把你的结论写出来,不要求证明.
B.32
类型六折叠圆附(2018•湖北武汉中考)如图,在OO中,点C在优弧AB上,将BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.
A.23
【分析】连结ODACDC,OBOC作CE!
AB于E,OF1CE于F,利用垂径定理、勾股定理、折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及正方形的性质即可求解.
【自主解答】
【变式训塚]
D.2cm
参考答案
类型一
【例1】A.如图,连接OAOC.
•••点0是等边三角形ABC的外心,
•••A0平分/BAC
•••点0到ABAC的距离相等.
由折叠得DO平分/BDB,
•••点0到ABDB的距离相等,
•••点0到DB,AC的距离相等,
1
•F0平分/DFG/DF0=Z0FG=勺(/FAD^ZADF).
1
由折叠得ZBD吕Z0DF=2(ZDAHZAFD),
•/OFDFz
〈ODF=!
(/FAD^ZADF+/DAF+/AFD—120°,
•••/DOM60°
同理可得/EOM60°,
•••/FOG=60°=/DOF=ZEOG
•••△DOF^AGO^AGOE
•OD=OGOE=OF,/OG=/OD=/ODB/OFG=/OEM/OEB
•△OAD^AOCG△OAF^AOCE
•AD=CGAF=CE,ADF^ACGE故选项A正确;
B.v^DOF^^GO^AGOE
DF=GF=GE,
•△ADF^AB'GF^ACGE•B'G=AD,
•
△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC(定值),故选项B正确;
D.S四边形ogbf=Saofg+Sab'gf=Saofd+Saadf
S四边形ofad—Saoa[d+Saoaf
=Saocg+Saoaf—Saoac—Saofg
如图,过O作OHLAC于H,
1
•Saofg=2•FG"OH
由于OH是定值,FG变化,故厶OFG的面积变化,从而四边形OGBF的面积也变化,故选项D不一定正确.故选D.
类型二
【例2】•••四边形ABCD是平行四边形,
•AD//BCCD=AB=2.
由折叠知/DAC=/EAC.
•••/DAC=/ACB•/ACB=/EAC
•OA=OC.
•/AE过BC的中点Q
1
•••AO=@BC,
•••/BAC=90°,
•••/ACD=90°.
由折叠知/AC吕90°,
•E,C,D共线,则DG4,
•△ADE的周长为3+3+4=10.
故答案为10.
变式训练
1.B
类型三
【例3】如图,连结AC,BD.
•••点O为菱形ABCD勺对角线的交点,
CD='32+42=5.
•/AB//CDMB®/NDO.
在厶OBM^n^ODN中,
/MB®/NDO
OB=OD
/BO®/DON
•△OBM^AODN.DNhBM.
MN是折痕,
•••过点O折叠菱形,使B,B'两点重合,
BM=B'M=1,.DI®1,
•Cl®CD-DN=5-1=4.故选D.
变式训练
2.2.83.7
类型四
【例4】设AD=x,则AB®x+2.
F处,
•••把△ADE翻折,点A落在DC边上的点
•DF®AD,EA®EF,/DFE=/A®90°,
•四边形AEFD为正方形,
AE=AD)=x.
•••把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG点G在BC边上,
•••DH=DC=x+2.
•/HE=1,
•AH=AE—HE=x-1.
在Rt△ADH中,TAD2+AH=dH,
222
•x+(x—1)=(x+2),
整理得x—6x—3=0,解得xi=3+23,X2=3—2衬3(舍去),
即AD的长为3+23.
故答案为3+23.
变式训练
4.①②③
类型五
1
【例5】
(1)在Rt△AEM中,AE=1—x,EM=BE=x,AM=-.
3
•/AE2+AlM=EM,
21225
•-(1—x)+(亍)=x,•x=9.
⑵△PDM的周长不变为定值2.理由如下:
设AM=y,贝UBE=EM=x,AE=1—x.
在Rt△AEM中,由勾股定理得AE+aM=EM,
(1—x)2+y2=x2,解得1+y2=2x,
2
•1—y=2(1—x).
•••/EM=90°,/A=ZD,
•Rt△AEMpRt△DMP
AE+EM+AMAE
…DM+M卉DP=DM
1—x+x+y1—x
即=-
即DM+M卉DP—1—y,
1—y2
解得DM+M卉DP=—2,
1—x
•△DMP的周长为2.
⑶如图,作FH!
AB于H.则四边形BCFH是矩形.连结BM交EF于O,交FH于K.
在Rt△AEM中,
AM=x2—(1—x)2=2x—1.
•/B,M关于EF对称,•••BMLEF,
•••/KO=ZKHB.
•••/OK=ZBKHKFO=ZKBH.
•/AB=BC=FH,ZA=ZFHE=90°,
•△ABM2AHFE
EH=AM=2x—1,
CF=BH=x—2x—1,
1
•S=2(BE+CF)•BC
=如+x—2x—1)
1
=2【(2x—1)2-2x—1+1]
1123
=一(2x—1—-)+一.
2■28
13
当,2x—1=㊁时,s有最小值为8.
变式训练
5•解:
(1)由折叠可得CM=EM,/CM◎/EMQ四边形CDEF是矩形,
•CD//EF,CM=ZEQM
•••/EQM=ZEMQ•ME=EQ=MC
又•••MC/QE•四边形EQCM!
平行四边形.
又•••CM=EM•四边形EQCM!
菱形.
⑵如图1,设正方形ABCD的边长为1,CM=x,贝UEM=x,DM=1—x.
A
D
M
在Rt△DEM中,由勾股定理可得eM=ED+dM,即卩x2=
(2)2+(1—x)2,
55
解得x=8,Acm=8,
•••/PEM=Z»90°,
,/DEMMEMD=90°,
•••/AEP=ZDME.
•△AEP^ADME
2
Dm即T=3,解得AP=3,
28
•PB=
i
3,•AP:
PB=2:
1.
(3)4
(4)6
(5)根据问题
(2)
DEAP
(3),⑷,可得当兀=n(n为正整数)时,贝U=2n.
AEBP
理由:
设正方形
ABCD的边长为
在Rt△DEM中,
由勾股定理可得
1,CM=x,贝UEM=x,DM=1—x.eM=ED+DM,
即x2=(話八(1—x)2,
(n+1)2+n2解得x=2(n+1)2,
2n+1
•DM=1-CM=2(+1
2,
由厶AEP^ADME可得AE=DM
n
n+1
2n+1
2n
AP
即=,解得AP=_丄一
12n+12n+1
2
n+12(n+1)
1AP
•PB=时,•bp=2n.
类型六
【例6】如图,连结ODAC,DCOB,OC作CELAB于E,OF1CE于F.
•••D为AB的中点,•••ODLAB
1
•AD=BD=2AB=2.
在Rt△OBD中,OD=(5)2-22=1.
••将BCC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,
•AC和CD所在的圆为等圆,
•AC=CD•AC=DC
•AE=DE=1,易得四边形ODEF为正方形,•OF=EF=1.
在Rt△OCF中,CF=(5)2-12=2,
•CE=CF+EF=2+1=3,而BE=BD+DE=2+1=3,•BC=32.故选B.
变式训练
6.B
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