初中数学竞赛辅导讲义.docx
- 文档编号:26173122
- 上传时间:2023-06-17
- 格式:DOCX
- 页数:63
- 大小:557.32KB
初中数学竞赛辅导讲义.docx
《初中数学竞赛辅导讲义.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学竞赛辅导讲义.docx(63页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中数学竞赛辅导讲义
初中数学竞赛辅导讲义(初三)
第一讲分式的运算
[知识点击]
1、分部分式:
真分式化为另几个真分式的和,一般先将分母分解因式,后用待定系数法进行。
2、综合除法:
多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算,可列竖式来进行。
3、分式运算:
实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]
例1•化简x^4r^+厂只+厂九
1+1—
(x2)(x3)(x3)(x4)
11,1
—十
x1x2x2
1,11
十—
x3x3x4
例2.
xykz
(1)解:
易知:
-一-=-―z=-一z=k贝yxzky
(2)
亠zyx
=2或x+y+z=Oyzkx(3)
(1)+
(2)+(3)得:
(k-2)(x+y+z)=0k
若k=2贝9原式=k3=8
若x+y+z=0,则原式二k3=-1
例3.设
21,求
xmx1
ftx
1422
xmx
的值。
1
解:
显然
2
X0,由已知x
mx1“
=1,
x
贝yx+丄=
x
m+1
422
.xmx1
…2
x
+1)2-2
x
-m2
2
•••原式二一
2m1
=(m+1)2-2-m2=2m-1
例4.已知多项式3x3+ax2+3x+1能被x2+1整除,求a的值
解:
1-a=0二a=1
例5:
设n为正整数,求证
1
1
1
1
+
+…
....+
v
131
5
(2n
1)(2n1)
2
证:
左边
=1
(1-
11
-1+••…
•+1-
1)
2
3
3
5
2n1
2n1
1
(1-
1
)
2
2n
1
•••n为正整数,
2n1
•••1-
故左边V
2n1
[小结归纳]
1、部分分式的通用公式:
1
x(xk)
2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法,其优点在于设连比值为K,将连等式化为若
干个等式,把各字母用同一字母的解析式表示,从而给解题带来方便。
3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法,应熟练掌握。
[巩固练习]
1、若分式2m二的值是正整数,则整数m=
m1
2、若a2
a3
a4=a1a3
a4=a1a2
a4,
=a1a2a3
-k
a1
a2
a3
a4
则k=
0
3、已知
a2-3b
2=2ab.(a
>0,b>0),则
a
2b=
a
b
4、已知
a、b、
c是有理数,
且ab-1,-
bc
=1ca_
=-,贝y——
abc
ab3b
c
4ca
5ab
bc
ca
5、若丄
1
-2006,则.
xxyy=
0
x
y
2x6019xy2y
6、实数
a、b满足ab=1,设A=+—
B=』+-
b+1,则
A、
B的关系
1a
1b
1a
1b
7、当a、
b、c为何值时,多项式
x43x3
3x2ax
b能被除数x23x
2整除
8、计算
20072007
20071521
5200772007
9、已知
(x2
x2x3
3x2)(x3)X
求A、B、C的值。
10、若对于
3以外的一切实数
X,
等式
代均成立,
mn二
11、已知a
b
第二讲分式方程及应用
[知识点击]
1、解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程;
2、解分式的方程的常用方法有:
换元法、整体法、通分法等;
3、分式方程广泛应用于生活实际中,要注意未知数的值既要是原方程的根,又要与实际意义相符
[例题选讲]
例1.
解方程组Xy
9
y
5
xy
10
yx
18
66
=n,
2m5n18
9m10n66
易求:
y
可得:
6
n
5
例2.
解方程44
7x5
x1
x84x30
x6x7
解:
原方程可化为
两边分别通分:
(x2)(x1)(x7)(x6),易求:
“=4
1
x2
111
x1x7x6
例3.当m为何值时,关于x的方程2口--—1的解为正数
xx2x1x2
解:
解方程可得:
x=12m,需:
2可得m<1且伊-3
例4.设库池中有待处理的污水a吨,从城区流入库池的污水按每小时b吨的固定流量增加,若同时幵动
2台机组需30小时处理完污水,同时启动4台机组需10小时处理完污水,若要求在5小时内将污水处理完毕,那么至少要同时幵动多少台机组
解:
设1台机组每小时处理污水y吨,要在5小时内处理完污水,至少同时幵动x台机组,贝V:
a30b230y
a30ya5b
a10b410y可得X>7
by5y
a5b5xy
例5.求证对任意自然数n,有1^2$v2
23n
证明:
当n=1时,1v2显然成立。
111n(n1)n1n
[点评归纳]
1、当某个代数式在一个问题中多次反复出现时,我们可以把这个代数式当作一个整体去替换,使问题简化;
2、假分式构成的分式方程一般先分离整数,然后等式两边分别通分可解。
3、解分式方程要注意验根,在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点
[巩固练习]
1、某同学用一架不等臂天平称药品,第一次将左盘放入50g砝码,右盘放药品使天平平衡,第二次将右
盘放入50g砝码,左盘放药品使天平平衡,则两次称得药品总质量()
A、等于100gB、大于100gC、小于100gD、都有可能
2、用大小两部抽水机给麦田浇水,先用两部抽水机一起抽水2小时,再用小抽水机单独抽水1小时即可
浇完,已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的1丄倍,求两部抽水机单独浇完这块
2
麦田各需多少小时
3、解方程三7x2x30=2x3"x236x45
x2x132x27x20
5、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后,其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元,比原乙种原料每斤多1元,问混合后的单价。
7、已知f(x)2x37x2m有因式2x3,则:
m=
第三讲一元二次方程的解法
[知识点击]
1、一元二次方程的常规解法有:
直接幵平方、配方法、因式分解及求根公式法
2、对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。
3、含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。
4、设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。
[例题选讲]
例1.解方程
2
X
2
X
2
X-2X
113
x116
解:
令
2
XX
2
X
y嗨解得
yi
y2
2
X
2
X
号,解得X1
1,X2,3
15
例2.解方程3x25x8-
3x25x1=1
解:
T(3x25x8+-3x25x1)(.3x25x8-3x25x1)=7
•I3x25x8+3x25x1=7①
又3x25x8-3x25x1=1②
①+②:
一3x25x8=4
易知:
X2=1X2=-
3
例3:
已知m是方程X2-2007X+1=0的一个不为0的根
求m2-2006m+竽乙的值m1
解:
Tm为方程的非零根,「・m2-2007m+1=0
可得m2=2007m-1,m+丄=2007,m2+1=2007m
m
原式=2007m-1-2006m+-200L=m+1-1=2007-1=2006
2007mm
例4、设a>b为实数,那么a2+ab+b2-a-2b的最小值为多少
解:
原式:
二a2+(b-1)a+(b2-2b)
=(a+・)2+3(b-1)2-1
24
当a=ob=1时,最小值为-1
例5:
解方程m2(x2-x+1)-m(x2-1)=(m2-1)x
解:
原方程整理为:
m(m-1)x2-(2m2-1)x+m(m+1)=0
[mx-(m+1)[(m-1)x-m]=0
mx=m+1或(m-1)x=m
1)当mHO,mM1时,x1二—1,x2=m
mm1
2)m=0,x=0
3)m=1时x=2
例6:
方程(2007x)2-2006X2008X-1=0的较大根为m,方程2006x2-2007X+1=0的较小根为n,求n-m的值解:
方程①可化为(20072X+1)(X-1)=0
1
X=———X2=1VX2>X•••m=1
20072
方程②可化为(2006X-1')(X-1)=0
1
Xi=--^X2=1
•••XivX2
2006
2006
-1=-
2006
2005
2006
[点评归纳]
1、有的方程某部分重复出现,或经过变形后产生重复出现的式子,可通过换元使方程简化而便于求解。
2、含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程,若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数,这时通常可用平方差公式构造两个无理式的和与它们的差,从而加减消去一个根式,可使方程简化并求解。
3、一元一次方程的根是满足方程的未知数的值,由此得到的等式是许多代数式求值的依据,要灵活运用
[巩固练习]
1、解方程:
2x2^2,-3X--=
xx
2、解方程:
—X7+_X5=
UX32(X41
3、解方程:
x2-|2X-1|-4=
4、三个二次方程ax2+bx+c=O,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0
有公共根,求证a+b+c=0
5、已知a、b、c均为实数,且满足.a22a1+|b+1|+(c+2)2=0
试求方程ax2+cx-b=0的解
6、求证方程(a-b)x2+(b-c)x+c-a=0(a^b)有一个根为1。
7、设方程x2+px+q二的两根为X、%,且11=xi+X2I2=x;+x;
In=X;+xn则当n>3时,求In+PIn-l+qln-2+的值。
8、证明:
不论X为何实数,多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值。
9、已知a2-4a+b2-b+65=0,则a2-4.b=
216
10、已知mn为有理数,方程x+mx+n=0有一个根为J5-2,求m+n的值。
11、已知m2=m+5,n2=n+5,m^n,求m5+n5的值.
12、二次方程a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+3)(x+1)=13、解关于x的方程(m-1)x+2mx+m+3=0
第四讲根的判别式及根与系数的关系
[知识点击]
1、设一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的两根为X、X2,贝Uax2+bx+c=a(X-X1)(X-X2)=ax2-
a(X1+X2)X+aX%
X1+X2=-bX1X2=—这两个式子即为一兀二次方程
aa
根与系数的关系。
要注意,方程有两个实数根是两根关系式存在的前提,即通常要考虑az0、△>0
这两个前提条件。
2、一元二次方程根的判别式源自求根公式,常记作厶二b2-4ac,使用的前提是方程为一元二次方程,即二
次项系数az0,它是解决一元二次方程整数解的工具。
3、使用根的判别式及根与系数的关系时,常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重
要知识与方法。
[例题选讲]
例1:
已知一直角三角形三边分别为a、b、c,/B=90°,那么关于X的方程a(X2-1)-2CX+b(X2+1)
=0的根的情况如何
解:
方程整理为:
(a+b)X2-2CX+b-a=0
△=4(C2+a2-b2)
•••/B=90°•••C2+a2=b2
•••△=0,原方程有两个相等实根
例2:
求所有正实数a,使得方程X2-aX+4a=0仅有正整数根
Xy
-4(
(x
+y)=0
(
x-4)
(y-4)=16
x
4
4
这时x
=y=8a=
x+y
=16
y
4
4
x
4
2
这时
x6
a=
x+y
=18
y
4
8
y12
x
4
1
这时
x5
a=
x+y
=25
y
4
16
y20
例3:
已知12VmV60,且一元二次方程X2-2(m+1)x+m2=0,两个整数根,求整数m,并求这两个整数根。
•••X=m+1±.2m1为整数•••2m+1必为完全平方数
•••V12mV60,二25V2m+1v121v2m+1为奇数
二2m+1=49或2m+1=81
则m1=24时,X=32,%=18
m2=40时,X=50,X2=32
例4:
设a、b、c是互不相等的非零实数,求证三个方程,aX2+2bx+c=0bX2+2cx+a=0
CX2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。
证明
(一):
假设三个方程都有两个相等的实数根。
(1)+
(2)+(3):
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
有a=b=c,这与已知条件矛盾
所以三个方程不可能都有两个相等的实数根•
证明
(二):
Ai+A2+A3=2[(a+b)2+(b-c)2+(c-a)
•••a、b、c为全相等二Ai+A2+A3>0
A1+A2+A3中至少有一个大于0
即至少有一个方程有两个不相等的实数根。
例5:
已知、是方程X2-7X+8=0的两根,且>
不解方程,利用根与系数的关系求-+32的值。
2来构造和差求解
分析:
由+B=72=8直接求-+3B"的值无法下手,这时,我们常用对偶式-+3
+=7
2
=8
22/
-+=(
+)2-2
=72-2
x8=33
(-
)2=(
+)2-4
=72-4
x8=17
=.17
令m2+32,构造M的对偶式N=2+3
M+N=(-+-)+3(2+B2)=100-①
4
M-N=(---)+3(2-2)=-85.17②
4
(①+②)+2得M=4038517
8
[点评归纳]
1运用一元二次方程根的判别式时,常与配方法结合使用,这时应考虑非负数的性质
4、运用根与系数的关系求整数解时,因式分解法及分离整数法是求不定方程整数解的常用方法。
5、利用对偶式构造和差法是代数式求值时重要的变形技巧,应灵活运用。
[巩固练习]
1、方程X2+PX+q=0的两个根都是正整数,且P+q=1996,试问方程较大根与较小根之比为多少
2、已知一元二次方程aX2+bx+c=0(ac丰0)有两个异号实根m和n,且mV|m|,那么二次方程CX2+
(m-n)ax-a=0的根的情况是()
A、没有实根B、两根同正C、两根同负D、两根异号
3、关于X的二次方程2X2-5X-a=0的两根之比,X:
X2=2:
3
则Xi-X2=4、若方程X2-4(m-1)X+3m2-2m+4K=0,对于任意有理数m都有有理根,求实数K的值
5、求方程x+y=X2—xy+y2+1的实数解6、若对于任何实数a,关于X的方程,X2-2ax-a+2b=0都有实根则实数b的取值范围是()
7、若m是不为0的整数,当二次方程mX2-(m-1)X+1=0有有理根时,则m=()
8、方程|X2-5X|=a有且只有相异二实根,求a的取值范围
9、关于X的方程aX2+2(a-3)x+(a-2)至少有一个整数解且a是整数,求a的值。
10、已知X、X是关于X的方程4X2-(3m-5)x-6m2=0的两个实根,且|丕|=-试求m的值.
x22
11、设方程4X2-2X-3=0的两个根为m、n,求4m2+2n的值.
12、若a、b、c都是实数,且a+b+c=0,abc=1贝U
a、b、c中必有一个大于-.
2
13、设a2+2a-1=0b4-2b2-1=0且ab2工1贝9(ab?
"1)2007二
14、已知a>b为整数,且a>b,方程3X2+3(a+b)X+4ab=0的两根、满足关系式(+1)
+(+1)=(+1)(+1),试求所有的整数对(a、b)
15、关于X的方程,X2+(a-6)X+a=0的两根均为整数,求a.
16、已知X、X2是方程4aX2-4ax+a+4=0的两个实根
(1)是否能适当选取a的值,使是(X-2X2)(X2-2X1)的值为-
4
22
(2)求使生+生二的值为整数的整数a的值.
x1x2
17、求证:
对于任意一矩形A总存在矩形B,使得矩形A和矩形B的周长之比和面积之比都等于常数K(其中K>1)
第五讲:
一元二次方程的应用
[知识点击]
1、一元二次方程的应用问题,诸如:
数字问题、面积问题、增长率问题、方案设计问题等,综合运用一
元二次方程的有关知识,是各类考试与竞赛的重要考点,须认真领会。
2、形如AX2+Bxy+cy2+DX+Ey+F的各项式叫做关于X、y的二元二次多项式,常见的分解方法有双十字相乘
法、待定前数法、公式法等。
公式法是先将原式整理成关于X(或y)的二次三项式,再运用求根公式。
3、非一次不定方程主要掌握两种情况:
二次三项式左边分解成两个因式的乘积,右边分解因数求整数解;
分式不定方程,采用整数离析法求整数解。
4、可化为一元二次方程的分式方程要注意方程的特点进行有效的变形,像X+l=a+丄这类特殊类型的方
xa
程,显然a1时,Xi=a与X,=-就是它的两个根。
无理方程通过配方、换元、分解转化为有理方程来
a
解。
[例题选讲]
例1:
m为何值时,二次三项式x2+2x-2+m(x2-2x+1)是完全平方式
解:
原式=(m+1)X2+2(1—m)x+(m—2)
令△=(),即4(1-m)2-4(m+1)(m-2)=0解得m=3
例2:
分解因式X2+xy-2y2-x+7y-6
解:
X2+xy-2y2=(x—y)(x+2y)
•■-设原式=(x—y+m)(x+2y+n)
=X2+xy-2y2=(m+n)x+(2m—n
mm1
比较对应项系数2mn72
m3
mn6
••原式=(x—y+2)(x+2y—3)
例3:
在矩形地ABC冲央修建一矩形EFGH花圃,使其面积为这块地面积的一半,且花圃四周的道路宽相等,今无测量工具,只有无刻度的足够长的绳子一条,如何量出道路的宽度
解:
设道路宽X,AB=a,AD=b,(a>b),贝U
12
(a-2X)(b-2X)二一ab,8x-4(a+b)x+ab=0
2
解得x=一[(a+b)±a2b2]
4
若乂=—[(a+b)+a2b2],则x>一(b+b+2b)>—
442
这不可能,舍去这个根。
则乂=1[(a+b)—a2b2]
4
量法是:
用绳量出AB+BC(即a+b之长),从中减法BD(即..a2b2);将剩下的绳长对折两次即
得到道路宽度X。
例4:
m为何值时,关于X的分式方程—_+―+2=0只有一个根
x1xm
解:
原方程整理为2x2-(1-m)x=O
(1)当厶=(1-m)2=0时,m=1,方程有两个等根x=0经验符合题意
(2)当mH1时,Xi=0X2=旦」有一个为增根
2
代入公分母(X+1)(X-m)中可得m=0式m=-1
所以m=-1或m=0或m=1时,原方程只有一个实根。
例5:
解方程4x=12寸
7Vx
—io
解:
令y=4x则y二•y2-7y+12=0yi=3y2=4
7y
代入y=4x得:
x1=81x2=256
例6:
xy表示一个十位数字为X,个位数字为y的两位整数,且xiy满足条件X2-y2=5X,则此两位
整数是多少
解:
由X2-y2=5X得y2=x(x-5)
Tx、y均为整数,二5x9
经验证,只有当x=5时,y=0,两位数为50
x=9时,y=6,两位数为96
例7:
方程X2+PX+q=0的两根均为正整数,且p+q=28,求方程的两根。
解:
设X2+PX+q=0的两根为Xi,x2.则xi+x2=-Pxi+x2=q
代入p+q=28中(xi-1)(x2-1)=29
由X111
x2129
得x12由x1129得x13°所以原方程两根为2、30
x230
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 数学 竞赛 辅导 讲义
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)